函數(shù)周期性及其應(yīng)用

■羅啟明

惠州工程職業(yè)學(xué)院

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，函數(shù)的周期性是函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)之一。對函數(shù)的周期性的是在研究三角函數(shù)的性質(zhì)時(shí)給出的，對于一般函數(shù)的周期性沒有進(jìn)一步的介紹，因此一般函數(shù)的周期性的推導(dǎo)和應(yīng)用成為很多學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。本文通過對一般函數(shù)的周期性進(jìn)行推導(dǎo)及應(yīng)用，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力和應(yīng)用函數(shù)思想研究問題、講解問題能力。

1 周期性的定義

對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫周期函數(shù)。非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。

周期函數(shù)的周期不止。如果非零常數(shù)T是一個(gè)函數(shù)的周期，那么nT(n∈Z且n≠0)都是這個(gè)函數(shù)的周期。如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫f(x)的最小正周期。周期通常指的是最小正周期。

2 函數(shù)周期性判定的幾個(gè)常見結(jié)論

2.1 若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x-a)，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=2|a|。其中 a≠0。

同理可得：若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x-b)，則f(x)是周期函數(shù)，周期 T=|a+b|。其中 a≠0。

2.2 若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=-f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=2|a|。其中 a≠0。

2.5 若函數(shù)f(x)的圖像分別關(guān)于直線x=a，x=b對稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=2|a-b|。其中a≠b。

推導(dǎo)：由條件得f(x)=f(2a-x)，f(x)=f(2b-x)，于是得f(2ax)=f(2b-x)，將上式中的x用2b-x替換后得f(2a-2b+x)=f(x)，所f(x)以周期 T=2|a-b|。其中 a≠b。

特別地，若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且圖像關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=2|a|。其中a≠0。

2.6 若函數(shù)f(x)的圖像分別關(guān)于點(diǎn)(a,0)，(b,0)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=2|a-b|。其中a≠b。

推導(dǎo)：由條件得f(x)=-f(2a-x)，f(x)=-f(2b-x)，于是得f(2a-x)=f(2b-x)，將上式中的x用2b-x替換后得f(2a-2b+x)=f(x)，所f(x)以周期 T=2|a-b|。其中 a≠b。

2.7 若函數(shù)f(x)的圖像分別關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x=b對稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=4|a-b|。其中a≠b。

推導(dǎo)：由條件得f(x)=-f(2a-x)，f(x)=f(2b-x)，于是得f(2a-x)=-f(2b-x)，將上式中的x用2b-x替換后得f(2a-2b+x)=-f(x)，所f(x)以周期 T=4|a-b|。其中 a≠b。

特別地，若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線x=a對稱，則f(x)是周期函數(shù)，周期T=4|a|。其中a≠0。

對于5、6、7三條結(jié)論，可以利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)圖像來進(jìn)行理解和記憶。

3 函數(shù)周期性的應(yīng)用舉例

例1 設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)=（ ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

解 析：∵f(x+2)=-f(x) ∴f(x+4)=f(x)

∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)∴f(6)=f(2+4)=f(2)

∵f(x+2)=-f(x)，且f(x)是R上的奇函數(shù)

∴f(2)=-f(0)=0，故選答案B

點(diǎn)評：

例2 若函數(shù)f(x)的最小正周期4，而f(2+x)=f(2-x)對于一切x∈R成立，則f(x)（ ）

是奇函數(shù)而非偶函數(shù) B. 是偶函數(shù)而非奇函數(shù)

是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D. 不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

解 析：∵T=4，且f(2+x)=f(2-x)（x∈R）

∴f(x)=f(4+x)=f(2+2+x)=f(2-2-x)=f(-x)

即 f(x)=f(-x)∴f(x)是偶函數(shù)，故選答案B

例3已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，且x∈[3,4]時(shí)，f(x)=2x-1，則x∈[14,15]時(shí)，f(x)的解析式為

解析：當(dāng)x∈[-4,-3]時(shí)，-x∈[3,4] ∴f(-x)=-2x-1

又f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)=2x-1，即x∈[-4,-3]時(shí)，f(x)=2x-1

由條件得f(-x)=f(x)及f(x)=f(2-x)，于是f(-x)=f(2-x)

∴f(x)=f(2+x)∴f(x)是以2為周期的周期函數(shù)

當(dāng)x∈[14,15]時(shí)，18-x∈[-4,-3]，∴f(x-18)=-2(x-18)-1

又f(x-18)=f(x)∴x∈[14,15]時(shí)，f(x)=-2x+35

A. f(sinα)＜f(cosβ) B. f(sinα)＞f(cosβ)C. f(sinα)=f(cosβ) D. 以上答案均有可能

∴ 是周期為2的周期函數(shù)

∴f(2017)=f(2018-1)=f(-1)，f(2018)=f(0)

∵f(x)在區(qū)間(2017,2018)上單調(diào)遞增，

∴f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增。

又f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減

∵α,β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角