基于貝葉斯推斷的裂紋梁損傷參數(shù)識(shí)別

梁崗　沈奎雙　馬玉付

摘要：

針對(duì)在結(jié)構(gòu)損傷診斷過(guò)程中存在的不確定性和對(duì)稱結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)難以識(shí)別的問(wèn)題，以梁損傷前后兩階頻率變化平方比為基礎(chǔ)損傷指標(biāo)，采用對(duì)基礎(chǔ)損傷指標(biāo)進(jìn)行積分處理的方法，構(gòu)建新的損傷指標(biāo)。基于貝葉斯結(jié)構(gòu)損傷診斷理論，建立損傷參數(shù)的后驗(yàn)概率分布。采用馬爾科夫鏈蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo， MCMC）方法解決貝葉斯方程中存在的高維積分問(wèn)題。仿真和算例分析說(shuō)明，該方法可實(shí)現(xiàn)對(duì)損傷參數(shù)的有效估計(jì)。

關(guān)鍵詞：

貝葉斯推斷； 簡(jiǎn)支梁； 裂紋； 損傷識(shí)別； 馬爾科夫鏈蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo， MCMC）方法

中圖分類號(hào)： U653.921； TH215

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Abstract：

In order to solve the problems of the uncertainty in the process of structural damage diagnosis and the difficulty in identifying damage parameters of symmetrical structure， the two order frequencychange square ratio of beam before and after damage is taken as the basic damage index， and a new damage index is constructed by integrating the basic damage index. The posterior probability distribution of damage parameters is established based on the Bayesianian structural damage diagnosis theory. The Markov chain Monte Carlo （MCMC） method is adopted to solve the problem of high dimensional integral in Bayesianian equations. Simulation and example analysis show that the method can effectively estimate damage parameters.

Key words：

Bayesianian inference； simply supported beam； crackle； damage identification； Markov chain Monte Carlo （MCMC） method

0引言

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，港口碼頭的建設(shè)取得了很大的成就，港口起重機(jī)在起重運(yùn)輸領(lǐng)域中的作用日益增強(qiáng)。橋式起重機(jī)作為應(yīng)用廣泛的起重運(yùn)輸設(shè)備，在日常工作中要承受高載荷以及頻繁而劇烈的振動(dòng)沖擊，其主梁結(jié)構(gòu)經(jīng)常發(fā)生裂紋損傷現(xiàn)象，安全運(yùn)行存在極大的隱患。因此，為保證起重機(jī)的安全運(yùn)行并對(duì)其健康狀況進(jìn)行監(jiān)測(cè)，對(duì)主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別研究尤為重要。

結(jié)構(gòu)損傷會(huì)使結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性發(fā)生變化，在結(jié)構(gòu)損傷前后分別測(cè)試結(jié)構(gòu)的模態(tài)值，利用損傷指標(biāo)方法能有效識(shí)別出結(jié)構(gòu)的損傷。由于工程中存在著許多不確性定因素，例如溫度的變化、力振幅的變化、動(dòng)力測(cè)試噪聲等，實(shí)測(cè)值與真實(shí)值之間總存在著誤差，從而導(dǎo)致?lián)p傷識(shí)別問(wèn)題成為不確定性問(wèn)題[1]。因此，必須在確定性損傷識(shí)別研究的基礎(chǔ)上，建立一種能比較合理地反映不確定性損傷識(shí)別概率的方法。BECK等[2]和KATAFYGIOTIS等[3]于1998年提出了基于貝葉斯模型修正及統(tǒng)計(jì)推斷的基本框架，在此框架下VANIK等[4]建立了基于概率統(tǒng)計(jì)的健康監(jiān)測(cè)方法。易偉建等[5]和李小華等[6]基于貝葉斯基本原理和

馬爾科夫鏈蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo， MCMC）方法，對(duì)多層框架結(jié)構(gòu)的局部加強(qiáng)的損傷情況進(jìn)行了結(jié)構(gòu)損傷診斷研究。房長(zhǎng)宇等[7]考慮模型誤差和測(cè)試噪聲的影響，在基于動(dòng)力響應(yīng)的損傷識(shí)別中引入了貝葉斯估計(jì)理論，對(duì)軸力作用下的帶損傷混凝土梁段進(jìn)行了損傷識(shí)別。

因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率的測(cè)量精度遠(yuǎn)高于振型的測(cè)量精度，而且頻率的測(cè)量方法比較簡(jiǎn)單，所以本文通過(guò)測(cè)試結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率的改變來(lái)識(shí)別結(jié)構(gòu)的損傷。以單裂紋簡(jiǎn)支梁為例，基于傳遞矩陣法[8]推導(dǎo)出裂紋梁的頻率特征方程，由此求出裂紋梁的低階固有頻率。以梁損傷前后兩階頻率變化平方比為基礎(chǔ)損傷指標(biāo)，對(duì)簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)在對(duì)稱位置的裂紋損傷難以正確識(shí)別的問(wèn)題[9]，采用對(duì)基礎(chǔ)損傷指標(biāo)進(jìn)行積分處理的方法，構(gòu)建新的損傷指標(biāo)?；谪惾~斯推斷理論分別建立損傷位置參數(shù)和損傷深度參數(shù)的后驗(yàn)概率分布，針對(duì)貝葉斯方程中分母維數(shù)高、積分困難的問(wèn)題，采用MCMC方法，得到損傷位置參數(shù)和損傷深度參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)值，驗(yàn)證該方法的有效性。裂紋梁損傷參數(shù)識(shí)別研究思路框圖見(jiàn)圖1。

1裂紋梁頻率特征方程推導(dǎo)

L，截面寬度和高度分別為b和h，其外側(cè)邊緣距離梁左端L0處有一深度為a的裂紋。彈性模量為E，截面慣性矩為I，密度為ρ，泊松比為ν。下面用傳遞矩陣法推導(dǎo)單裂紋簡(jiǎn)支梁的頻率特征方程。

2貝葉斯推斷和MCMC方法

2.1貝葉斯推斷

貝葉斯推斷是貝葉斯統(tǒng)計(jì)的核心，離散型隨機(jī)變量的貝葉斯公式如下：

2.2馬爾科夫過(guò)程

在式（2）中，

h（x）與樣本觀測(cè)值x有關(guān)，一般的蒙特卡洛模擬難以有效計(jì)算。MCMC方法通過(guò)在蒙特卡洛模擬中引進(jìn)Metropolis準(zhǔn)則，將模擬過(guò)程看成一個(gè)馬爾科夫過(guò)程，模擬采樣最終收斂于式（2）定義的概率分布。定義隨機(jī)變量x的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

為

P（i，j）=P（i→j）=P（Xt+1=sjXt=si）

它只取決于隨機(jī)變量取值的當(dāng)前狀態(tài)，與過(guò)程無(wú)關(guān)。以此轉(zhuǎn)移概率定義的隨機(jī)變量x將最終達(dá)到一個(gè)靜態(tài)分布π，與x的初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，滿足π=πP，此時(shí)存在局部平衡：

P（j→k）π*j=P（k→j）π*k

它是π存在的充分條件。

2.3MetropolisHastings （MH）抽樣算法

MH抽樣算法[11]的基本思想是：假定要從目標(biāo)概率密度函數(shù)

p（θ）（-∞<θ<+∞）中抽樣，用MH抽樣算法可以得到一條馬爾科夫鏈，產(chǎn)生一條真值序列：

θ（1）→θ（2）→…→θ（t）→…

其中，θ（t）代表馬爾科夫鏈中時(shí)刻t的狀態(tài)。樣本開始收斂前的迭代次數(shù)稱為燃燒期，當(dāng)經(jīng)過(guò)k步燃燒期以后，抽樣得到的序列可以近似反映目標(biāo)分布p（θ），即通過(guò)平穩(wěn)的馬爾科夫鏈來(lái)近似等效替代未知的后驗(yàn)分布。具體的步驟如下：

（1）令t=1，產(chǎn)生初始值θ（0），令θ（t）=θ（0）。

（2）利用當(dāng)前θ（t）值，從建議分布q（θ*|θ（t））中產(chǎn)生一個(gè)候選參數(shù)θ*。

（3）計(jì)算接受率：

ε=min1，p（θ*）p（θ（t））

（4）從均勻分布U（0，1）中產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)u。

（5）判斷是否接受候選參數(shù)：若ε≥u則接受候選參數(shù)，即θ（t+1）=θ*；若ε

（6）重復(fù)步驟（2）～（5），直至產(chǎn)生一個(gè)收斂序列，終止循環(huán)：t=T。

MH抽樣算法是一種簡(jiǎn)單有效的數(shù)值模擬算法，能夠解決從未知的后驗(yàn)分布中生成隨機(jī)樣本的問(wèn)題。選擇合理的建議分布對(duì)抽樣的收斂效果有重要的影響。

3裂紋梁損傷參數(shù)識(shí)別

3.1基于頻率變化平方比積分的損傷指標(biāo)

文獻(xiàn)[12]表明：當(dāng)某一單元出現(xiàn)損傷或各損傷單元損傷深度相同時(shí)，結(jié)構(gòu)損傷前后兩階頻率變化的平方比

（dωi）2（dωj）2只與損傷位置有關(guān)，與損傷深度無(wú)關(guān)，故可以將其定義為損傷位置指標(biāo)。不考慮結(jié)構(gòu)損傷引起的質(zhì)量變化時(shí)，（dωi）2ωi2只與損傷深度有關(guān)，故可以將其定義為損傷深度指標(biāo)。

由于簡(jiǎn)支梁為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，如果選擇上述損傷指標(biāo)，則在對(duì)稱位置上損傷指標(biāo)的值相同，識(shí)別結(jié)果不唯一，導(dǎo)致?lián)p傷參數(shù)無(wú)法識(shí)別。采用把原損傷指標(biāo)對(duì)損傷參數(shù)進(jìn)行積分處理的方法，保證了損傷指標(biāo)與損傷參數(shù)的對(duì)應(yīng)是唯一的，這樣可以根據(jù)損傷指標(biāo)有效地識(shí)別出損傷位置參數(shù)和損傷深度參數(shù)。損傷位置指標(biāo)為

DL=

∫β0（dωi）2（dωj）2dβ，β為損傷位置參數(shù)，DL表征裂紋損傷位置參數(shù)的識(shí)別參量；損傷深度指標(biāo)為DS=∫α0（dωi）2ωi2dα，α為損傷深度參數(shù)，DS

表征裂紋損傷深度參數(shù)的識(shí)別參量。

3.2先驗(yàn)分布

對(duì)于裂紋損傷

位置參數(shù)β和損傷深度參數(shù)α的先驗(yàn)概率分布，其選擇依據(jù)主要是經(jīng)驗(yàn)和相關(guān)文獻(xiàn)資料。α和β在工程實(shí)踐中為無(wú)信息先驗(yàn)分布，本文按照貝葉斯假設(shè)確定其先驗(yàn)分布。貝葉斯假設(shè)中的無(wú)信息先驗(yàn)分布指當(dāng)參數(shù)θ的取值區(qū)間Θ和參數(shù)的含義已知、參數(shù)θ的其他信息均未知時(shí)，貝葉斯假設(shè)把取值區(qū)間Θ上的均勻分布視為θ的先驗(yàn)分布。按照此假設(shè)，損傷位置參數(shù)β和損傷深度參數(shù)α的先驗(yàn)分布為

3.3似然函數(shù)

由于工程中存在許多不確定性因素，例如溫度的變化、力振幅的變化、動(dòng)力測(cè)試噪聲等，固有頻率的測(cè)試值與真實(shí)值之間總存在著誤差，測(cè)試值與理論計(jì)算值的誤差符合線性模型：

4算例分析

4.1損傷指標(biāo)的建立

設(shè)有一單裂紋簡(jiǎn)支梁模型，模型的幾何參數(shù)和材料常數(shù)為：跨度L=1 m，截面寬度b=0.05 m，截面高度h=0.005 m，彈性模量E=207 GPa，密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比ν=0.3。根據(jù)式（1）計(jì)算得出損傷位置參數(shù)、損傷深度參數(shù)與損傷前后兩階頻率變化平方比的關(guān)系，見(jiàn)圖3。圖4為去除中間較大數(shù)據(jù)后損傷指標(biāo)與損傷參數(shù)的關(guān)系圖。

從圖3和4可以看出，損傷前后兩階頻率變化平方比在損傷位置參數(shù)0.5處呈現(xiàn)對(duì)稱性，這與簡(jiǎn)支梁屬于對(duì)稱結(jié)構(gòu)有關(guān)，對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱位置處發(fā)生相同的損傷將引起相同的頻率變化量。為解決對(duì)稱結(jié)構(gòu)引起的損傷參數(shù)難以識(shí)別的問(wèn)題，以損傷位置參數(shù)為自變量，對(duì)損傷前后兩階頻率變化平方比進(jìn)行積分處理，這樣可以實(shí)現(xiàn)兩者之間保持單調(diào)性，能有效識(shí)別對(duì)稱結(jié)構(gòu)的損傷情況。

圖5給出了損傷深度參數(shù)α分別為0.1、0.3和

0.5時(shí)，損傷指標(biāo)與損傷位置參數(shù)的關(guān)系。從圖5可以看出，不同的損傷深度參數(shù)，其損傷指標(biāo)與損傷位置參數(shù)的曲線在中間點(diǎn)呈現(xiàn)對(duì)稱且均在水平軸上方。圖6是損傷指標(biāo)的積分值與損傷參數(shù)的關(guān)系圖，兩個(gè)變量之間保持單調(diào)性，因此對(duì)損傷指標(biāo)進(jìn)行積分處理可以實(shí)現(xiàn)對(duì)損傷參數(shù)的有效識(shí)別。

4.2樣本值獲取

用計(jì)算機(jī)進(jìn)行仿真，測(cè)試值以生成正態(tài)分布隨

機(jī)數(shù)的方式產(chǎn)生，理論值作為均值，標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)為0.1。設(shè)梁上有一裂紋，損傷位置參數(shù)β=0.4，損傷深

度參數(shù)α=0.35，對(duì)應(yīng)的第一階和第二階固有頻率分別為73.558 rad/s和295.121 rad/s，各取10組樣本值，樣本數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

4.3基于MH算法的抽樣過(guò)程

根據(jù)MH抽樣算法，選取建議分布為正態(tài)分布，

β～N（β（t），σβ2），α～N（α（t），σα2），其中β和α為候選參數(shù)，β（t）和α（t）為上一次的迭代值，σβ2和σα2

為方差，這里選取（σβ2σα2）=（0.050.1）。在利用MCMC方法進(jìn)行抽樣前，必須對(duì)目標(biāo)參數(shù)賦予初始值。選取不同的初始值，對(duì)后驗(yàn)均值最終的收斂沒(méi)有任何影響，因此初始值的選取是任意的，可以根據(jù)相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)確定。隨著迭代次數(shù)的增加，樣本值最終會(huì)收斂于目標(biāo)分布。

當(dāng)損傷位置參數(shù)β和損傷深度參數(shù)α目標(biāo)值分別為0.40和0.35時(shí)，設(shè)置其初始值分別為β=0.10，0.70，0.90和α=0.10，0.60，0.90，迭代次數(shù)N的最大值為2 000，通過(guò)仿真得到β和α的識(shí)別結(jié)果（馬爾科夫鏈），見(jiàn)圖7。

從圖7可以看出，損傷位置參數(shù)和損傷深度參數(shù)取不同初始值時(shí)其識(shí)別結(jié)果均能達(dá)到預(yù)設(shè)目標(biāo)值，預(yù)設(shè)初始值與目標(biāo)值的距離將決定燃燒期的長(zhǎng)度。損傷位置參數(shù)和損傷深度參數(shù)的馬爾科夫鏈均趨于預(yù)設(shè)目標(biāo)值，且當(dāng)?shù)螖?shù)增加時(shí)波動(dòng)較小，因此兩個(gè)參數(shù)的馬爾科夫鏈均是收斂的，達(dá)到了損傷識(shí)別的效果。

4.4損傷參數(shù)的識(shí)別結(jié)果

為降低所選初始值的影響，先去除前10%的后驗(yàn)樣本，然后對(duì)后驗(yàn)樣本進(jìn)行頻數(shù)統(tǒng)計(jì)，所得損傷位

置參數(shù)和損傷深度參數(shù)的后驗(yàn)分布頻數(shù)直方圖見(jiàn)圖8。損傷位置參數(shù)集中在（0.39，0.41）區(qū)間內(nèi)，其中0.40對(duì)應(yīng)的頻數(shù)最高；損傷深度參數(shù)集中在（0.34，0.36）區(qū)間內(nèi)，其中0.35對(duì)應(yīng)的頻數(shù)最高。兩個(gè)參數(shù)的后驗(yàn)分布頻數(shù)直方圖在它們?nèi)〔煌某跏贾禃r(shí)都保持“瘦高”形狀，類似正態(tài)分布，這與似然函數(shù)選取為正態(tài)分布的情形基本吻合。

5結(jié)論

本文用傳遞矩陣法推導(dǎo)了單裂紋簡(jiǎn)支梁頻率特征方程，針對(duì)對(duì)稱結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)難以識(shí)別的問(wèn)題，采用對(duì)裂紋梁損傷前后頻率變化平方比的基礎(chǔ)損傷指標(biāo)進(jìn)行積分處理的方法，建立新的損傷指標(biāo)。應(yīng)用貝葉斯結(jié)構(gòu)損傷診斷理論構(gòu)建了損傷位置參數(shù)和損傷深度參數(shù)的后驗(yàn)函數(shù)。采用馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）方法解決了后驗(yàn)分布中存在高維積分難的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了對(duì)損傷參數(shù)的識(shí)別與估計(jì)。通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)支裂紋梁的損傷估算和分析，驗(yàn)證了該方法的有效性，從而為梁類工程結(jié)構(gòu)的損傷診斷和健康監(jiān)測(cè)提供了參考。

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（編輯賈裙平）