• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    閉區(qū)間套定理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)有趣應(yīng)用

    2018-12-06 07:40:16宣渭峰
    青年與社會(huì) 2018年30期

    摘 要:實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性在數(shù)學(xué)分析、實(shí)分析等課程中是一非?;厩抑匾慕Y(jié)論。傳統(tǒng)的是利用對(duì)角線法證明(0,1)開(kāi)區(qū)間中所有實(shí)數(shù)是不可數(shù)的,從而證明全體實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性。文章主要應(yīng)用實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)等價(jià)命題之一——閉區(qū)間套定理,巧妙地證明了實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性,該結(jié)論將會(huì)激發(fā)學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的學(xué)習(xí)興趣,并有助于學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的理解和掌握。

    關(guān)鍵詞:閉區(qū)間套定理;實(shí)數(shù)集;不可數(shù)

    眾所周知且容易證明,有理數(shù)集是可數(shù)的。自然的一個(gè)猜想就是,任何無(wú)限集合都是可數(shù)的。但是事實(shí)并非如此。德國(guó)數(shù)學(xué)家、集合論的創(chuàng)始人康托有一個(gè)極有意義的發(fā)現(xiàn),就是全體實(shí)數(shù)集(有理數(shù)和無(wú)理數(shù))是不可數(shù)的。也就是說(shuō),全體實(shí)數(shù)與整數(shù)或有理數(shù)相比有一個(gè)根本的不同。同樣是無(wú)限集,但實(shí)數(shù)集屬于更高一級(jí)類(lèi)型的無(wú)限。為人們所廣泛熟悉的連續(xù)統(tǒng),就是實(shí)數(shù)集的基數(shù)(粗略地說(shuō),即實(shí)數(shù)集元素的個(gè)數(shù))。對(duì)于這個(gè)結(jié)論的其中一個(gè)應(yīng)用就是證明了實(shí)數(shù)集中除了代數(shù)數(shù)(任何整系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)根)還存在超越數(shù)(不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù),如圓周率);因?yàn)榇鷶?shù)式是可數(shù)的,但是實(shí)數(shù)集不可數(shù)。

    康托利用對(duì)角線方法最早證明了實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性。主要思路如下:首先建立實(shí)數(shù)集與(0,1)開(kāi)區(qū)間的對(duì)等性(即找到兩個(gè)集合之間一個(gè)一一映射);其次,利用十進(jìn)制法表示(0,1)開(kāi)區(qū)間中所有的實(shí)數(shù),如果所有這些實(shí)數(shù)集可數(shù),它們就與正整數(shù)集對(duì)等,換句話說(shuō),它們就可以排列成一無(wú)窮序列。最后,也是最巧妙的部分,就是通過(guò)對(duì)角線方法構(gòu)造一個(gè)(0,1)開(kāi)區(qū)間中一個(gè)新的實(shí)數(shù),但是我們能說(shuō)明這個(gè)新的實(shí)數(shù)不屬于這個(gè)無(wú)窮序列。這個(gè)矛盾就證明了實(shí)數(shù)集無(wú)法排列成一無(wú)窮序列,也就是說(shuō),實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的。

    雖然康托的證明非常經(jīng)典,但是這個(gè)證明涉及到十進(jìn)制表示法以及新的實(shí)數(shù)的構(gòu)造,對(duì)于初學(xué)者并不容易掌握這個(gè)證明。很自然的問(wèn)題是,是否存在對(duì)角線方法之外的而且更容易為學(xué)生理解的證明?文章將嘗試應(yīng)用閉區(qū)間套定理證來(lái)明實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性。閉區(qū)間套定理是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要定理,也是實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)等價(jià)命題之一。但同時(shí)也是數(shù)學(xué)分析教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)之一。其中一個(gè)原因,就是閉區(qū)間套定理相關(guān)的應(yīng)用以及練習(xí)較少(事實(shí)上該定理的應(yīng)用非常廣泛)。我們所做的嘗試,一面能幫助學(xué)生如何構(gòu)造閉區(qū)間套從而學(xué)會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間套定理,另一面這個(gè)證明充滿趣味,將會(huì)激發(fā)學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的學(xué)習(xí)興趣,最終有助于學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的理解和掌握。

    一、主要結(jié)論

    首先,讓我們來(lái)回顧閉區(qū)間套定義及閉區(qū)間套定理。

    定義2.1([1])設(shè)閉區(qū)間列{[an,bn]}具有如下性質(zhì):

    (1)[an,bn][an+1,bn+1],n=1,2,L;

    (2)limn→∞(bn-an)=0。

    則稱(chēng){[an,bn]}為閉區(qū)間套。

    定理2.2([1])若{[an,bn]}是一閉區(qū)間套,則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)ξ,使得ξ[an,bn],n=1,2,L即an≤ξ≤bn,n=1,2,L。

    以下例子說(shuō)明閉區(qū)間套定理中閉區(qū)間不能減弱為開(kāi)區(qū)間,否則結(jié)論可能不成立。

    例2.3 開(kāi)區(qū)間列{(0,1/n)}是一區(qū)間套且滿足limn→∞(1/n-0)=0,但不存在實(shí)數(shù)系中一點(diǎn)ξ滿足ξ(0,1/n),n=1,2,L。

    下面給出可數(shù)集和不可數(shù)集的定義。

    定義2.4([2])凡和正整數(shù)集對(duì)等(兩集合之間存在一一映射)的集合都稱(chēng)為可數(shù)集合。

    定義2.5([2])不是可數(shù)集的無(wú)限集合稱(chēng)為不可數(shù)集。

    下面我們證明文章的主要結(jié)論。

    定理2.6 實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集。

    證:(反證法)假設(shè)實(shí)數(shù)集不是不可數(shù)集,則實(shí)數(shù)集必為可數(shù)集。由定義2.4知,實(shí)數(shù)集與正整數(shù)集對(duì)等,則實(shí)數(shù)集可排列成一個(gè)無(wú)窮序列,因此不失一般性,我們不妨設(shè)實(shí)數(shù)集為A={a1,a2,L anL}?,F(xiàn)在我們?cè)赱0,1]中構(gòu)造閉區(qū)間套。

    第一步,將[0,1]分成三等分,即[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]。顯然對(duì)于a1而言,至多同時(shí)屬于上述兩個(gè)閉區(qū)間,則我們可取得一閉區(qū)間不會(huì)包含a1,且記該閉區(qū)間為I1,長(zhǎng)度為1/3。

    第二步,將I1同樣分成三等分。(例如若I1=[1/3,2/3],則三等分之后得到三個(gè)閉區(qū)間為[1/3,4/9],[4/9,5/9],[5/9,2/3])顯然對(duì)于a2而言,至多同時(shí)屬于兩個(gè)閉區(qū)間,則我們可取得一閉區(qū)間不會(huì)包含a2,記該閉區(qū)間為I2,長(zhǎng)度為1/9,且滿足I2I1。

    延續(xù)這個(gè)方式下去,我們可得到一列閉區(qū)間列{In}滿足以下性質(zhì):

    (1)InIn+1,n=1,2,L,

    (2)In的區(qū)間長(zhǎng)度為1/2n,n=1,2,L,

    (3)an In,n=1,2,L。

    由(1)和(2)可知,{In}形成一閉區(qū)間套。則有閉區(qū)間套定理知,在實(shí)數(shù)集中存在一點(diǎn)ξA,滿足ξIn≥1In。另一方面,因ξA,故可設(shè)ξ=ak,其中k為正整數(shù)。由(3)知,ξ=ak Ik,進(jìn)而ξ In≥1In。矛盾!這個(gè)證明了實(shí)數(shù)集不能排列成一個(gè)無(wú)窮序列,故實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的。證明完畢!

    推論2.7 無(wú)理數(shù)是不可數(shù)集。

    證:(反證法)假設(shè)結(jié)論不成立,即無(wú)理數(shù)集是可數(shù)集。眾所周知,有理數(shù)集是可數(shù)集。因?yàn)榭蓴?shù)個(gè)可數(shù)集的并仍舊是可數(shù)集[2],所以實(shí)數(shù)集作為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的并是可數(shù)的,與定理2.6矛盾。證明完畢!

    二、結(jié)語(yǔ)

    閉區(qū)間套定理固然是教學(xué)難點(diǎn)之一,初學(xué)者亦很難構(gòu)造閉區(qū)間套來(lái)應(yīng)用該定理。但是筆者認(rèn)為,只要在教學(xué)過(guò)程中,多穿插一些有趣的應(yīng)用,不僅能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和分析思維,同時(shí)也能激發(fā)其強(qiáng)烈的求知欲和學(xué)習(xí)興趣。

    參考文獻(xiàn)

    [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上[M].高等教育出版社,2010:1-344.

    [2] 程其襄,張奠宇,魏國(guó)強(qiáng),等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].高等教育出版社,2015:1-347.

    作者簡(jiǎn)介:宣渭峰(1984.02- ),男,漢族,浙江寧波人,博士,講師,研究方向:一般拓?fù)洹?/p>

    69精品国产乱码久久久| 777米奇影视久久| 日韩av免费高清视频| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 18+在线观看网站| 亚洲av日韩在线播放| 搡女人真爽免费视频火全软件| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 亚洲国产色片| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 亚洲成色77777| 观看av在线不卡| 亚洲国产精品一区三区| 日韩中文字幕欧美一区二区 | 超碰97精品在线观看| 久久精品aⅴ一区二区三区四区 | 国产av国产精品国产| 亚洲精品第二区| 国产免费又黄又爽又色| 国产成人精品无人区| 色吧在线观看| 在线观看免费高清a一片| 热re99久久精品国产66热6| 一区二区日韩欧美中文字幕| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 国产精品一区二区在线不卡| 97人妻天天添夜夜摸| videos熟女内射| 亚洲三级黄色毛片| 午夜福利,免费看| 天堂中文最新版在线下载| 大香蕉久久成人网| 观看美女的网站| 国产日韩欧美视频二区| 深夜精品福利| 99香蕉大伊视频| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 90打野战视频偷拍视频| 日韩不卡一区二区三区视频在线| av国产久精品久网站免费入址| 国产爽快片一区二区三区| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀 | 精品卡一卡二卡四卡免费| 飞空精品影院首页| videosex国产| 中国三级夫妇交换| 我要看黄色一级片免费的| 精品人妻一区二区三区麻豆| 国产精品一区二区在线观看99| 亚洲熟女精品中文字幕| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 欧美 日韩 精品 国产| 亚洲精品美女久久av网站| 在线观看免费日韩欧美大片| 丰满迷人的少妇在线观看| 午夜老司机福利剧场| 三上悠亚av全集在线观看| 深夜精品福利| 免费在线观看黄色视频的| 亚洲 欧美一区二区三区| 激情视频va一区二区三区| 1024香蕉在线观看| 成人毛片a级毛片在线播放| 在线观看免费日韩欧美大片| 久久久久久久精品精品| 美女国产高潮福利片在线看| 美女中出高潮动态图| 成人毛片60女人毛片免费| 国产精品人妻久久久影院| 婷婷色综合www| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 叶爱在线成人免费视频播放| 2018国产大陆天天弄谢| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 两个人免费观看高清视频| 国产精品 国内视频| 2018国产大陆天天弄谢| 久久精品久久久久久久性| 国产伦理片在线播放av一区| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 美女福利国产在线| 91成人精品电影| 熟女电影av网| 色哟哟·www| 欧美日韩精品网址| 蜜桃在线观看..| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 宅男免费午夜| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 亚洲 欧美一区二区三区| 一区二区三区激情视频| 亚洲第一青青草原| 人人妻人人澡人人看| 亚洲成人手机| 精品国产一区二区三区四区第35| 男女边摸边吃奶| 伦理电影免费视频| 亚洲精品在线美女| 色网站视频免费| 中国三级夫妇交换| 欧美成人午夜精品| 欧美最新免费一区二区三区| 一级毛片 在线播放| 又黄又粗又硬又大视频| 日韩精品免费视频一区二区三区| 精品人妻偷拍中文字幕| 久久影院123| 成人二区视频| 香蕉丝袜av| 国产男人的电影天堂91| 亚洲欧美一区二区三区国产| 在线天堂中文资源库| 日韩不卡一区二区三区视频在线| 美女国产高潮福利片在线看| 老汉色av国产亚洲站长工具| 爱豆传媒免费全集在线观看| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 欧美人与善性xxx| 又大又黄又爽视频免费| 美女国产高潮福利片在线看| 亚洲精品美女久久av网站| 亚洲美女视频黄频| 水蜜桃什么品种好| 五月开心婷婷网| 色婷婷av一区二区三区视频| av女优亚洲男人天堂| 少妇的逼水好多| 91国产中文字幕| 日韩成人av中文字幕在线观看| 美女视频免费永久观看网站| 久久毛片免费看一区二区三区| 人体艺术视频欧美日本| 五月伊人婷婷丁香| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 男人爽女人下面视频在线观看| 亚洲少妇的诱惑av| 深夜精品福利| a级毛片在线看网站| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 国产乱来视频区| 亚洲精品美女久久av网站| 日韩一卡2卡3卡4卡2021年| 亚洲精品日本国产第一区| 考比视频在线观看| 日本wwww免费看| 热99国产精品久久久久久7| 考比视频在线观看| 日韩不卡一区二区三区视频在线| 久久精品夜色国产| 国产探花极品一区二区| 国产精品人妻久久久影院| 秋霞在线观看毛片| 人体艺术视频欧美日本| 黑人欧美特级aaaaaa片| 乱人伦中国视频| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 亚洲色图综合在线观看| 成年动漫av网址| 黄片无遮挡物在线观看| 高清欧美精品videossex| 午夜福利乱码中文字幕| 亚洲欧洲国产日韩| 久久精品夜色国产| 看免费成人av毛片| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 超碰97精品在线观看| 亚洲人成77777在线视频| 大码成人一级视频| 18禁观看日本| 久久99一区二区三区| 制服人妻中文乱码| videos熟女内射| 亚洲精品视频女| 久久精品久久精品一区二区三区| 国产精品香港三级国产av潘金莲 | 在线看a的网站| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 久久久久久久亚洲中文字幕| 免费观看a级毛片全部| 久久国内精品自在自线图片| 成年美女黄网站色视频大全免费| 天美传媒精品一区二区| 亚洲少妇的诱惑av| 哪个播放器可以免费观看大片| 日韩欧美精品免费久久| 欧美人与善性xxx| 成人国产av品久久久| 卡戴珊不雅视频在线播放| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 亚洲av国产av综合av卡| 卡戴珊不雅视频在线播放| 日韩电影二区| 极品人妻少妇av视频| 丝袜脚勾引网站| 欧美日本中文国产一区发布| 多毛熟女@视频| 飞空精品影院首页| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 欧美人与性动交α欧美软件| 欧美日本中文国产一区发布| 国产亚洲最大av| 亚洲图色成人| 母亲3免费完整高清在线观看 | 中文字幕亚洲精品专区| 男女啪啪激烈高潮av片| 多毛熟女@视频| 午夜91福利影院| 各种免费的搞黄视频| 免费av中文字幕在线| 妹子高潮喷水视频| av有码第一页| 99热网站在线观看| 成人国产麻豆网| 女人精品久久久久毛片| 精品国产国语对白av| 人妻少妇偷人精品九色| 免费在线观看完整版高清| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 国产激情久久老熟女| 人妻系列 视频| 欧美黄色片欧美黄色片| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 亚洲内射少妇av| 黄片播放在线免费| 国产亚洲一区二区精品| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 国产成人精品福利久久| 亚洲第一区二区三区不卡| 日韩中字成人| 夫妻午夜视频| 超碰成人久久| 新久久久久国产一级毛片| 午夜福利,免费看| 街头女战士在线观看网站| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 久热久热在线精品观看| 国产精品.久久久| 精品一区二区免费观看| 欧美人与性动交α欧美软件| 一区福利在线观看| 女人精品久久久久毛片| 亚洲美女搞黄在线观看| 婷婷色综合大香蕉| 久久久久久免费高清国产稀缺| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 日日摸夜夜添夜夜爱| 亚洲第一av免费看| 国产一区二区在线观看av| 韩国av在线不卡| 成人亚洲精品一区在线观看| 国产亚洲最大av| 久久久国产欧美日韩av| 男女边摸边吃奶| 一二三四中文在线观看免费高清| 国产毛片在线视频| 精品一区在线观看国产| 日韩电影二区| 亚洲av成人精品一二三区| 在线免费观看不下载黄p国产| 老司机影院毛片| 日韩成人av中文字幕在线观看| 在线观看免费视频网站a站| 精品国产一区二区久久| 黄色 视频免费看| 欧美日韩av久久| 18+在线观看网站| 国产97色在线日韩免费| 亚洲精品一区蜜桃| 亚洲欧美成人综合另类久久久| av女优亚洲男人天堂| 久久国产精品大桥未久av| 久久综合国产亚洲精品| 欧美变态另类bdsm刘玥| 亚洲精品国产一区二区精华液| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 国产精品偷伦视频观看了| 五月天丁香电影| 性高湖久久久久久久久免费观看| 国产精品女同一区二区软件| 热99久久久久精品小说推荐| 久久久久国产一级毛片高清牌| 中文字幕亚洲精品专区| 欧美精品一区二区免费开放| 韩国av在线不卡| 永久免费av网站大全| 国产精品久久久久久av不卡| 亚洲国产日韩一区二区| 在线观看国产h片| 18禁观看日本| 寂寞人妻少妇视频99o| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 亚洲男人天堂网一区| 欧美中文综合在线视频| 国产色婷婷99| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 午夜精品国产一区二区电影| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 高清欧美精品videossex| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀 | 伊人久久国产一区二区| 视频区图区小说| 韩国高清视频一区二区三区| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 久久久久国产精品人妻一区二区| a级毛片在线看网站| 好男人视频免费观看在线| 亚洲国产精品国产精品| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 天美传媒精品一区二区| 精品少妇黑人巨大在线播放| 观看美女的网站| 午夜免费观看性视频| 国产精品亚洲av一区麻豆 | 精品一品国产午夜福利视频| 欧美xxⅹ黑人| 国产色婷婷99| 交换朋友夫妻互换小说| 国产人伦9x9x在线观看 | 久久精品国产亚洲av高清一级| 色哟哟·www| 国产乱人偷精品视频| 日韩人妻精品一区2区三区| 欧美国产精品一级二级三级| 中文字幕制服av| 国产有黄有色有爽视频| 黑人欧美特级aaaaaa片| 国产成人欧美| 久久久久久久久久久免费av| 亚洲精品乱久久久久久| 人妻人人澡人人爽人人| 天天影视国产精品| 大话2 男鬼变身卡| 午夜激情久久久久久久| 亚洲国产色片| 一区二区日韩欧美中文字幕| av.在线天堂| 爱豆传媒免费全集在线观看| 在现免费观看毛片| 久热这里只有精品99| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 久久综合国产亚洲精品| 尾随美女入室| 久久久久久久久免费视频了| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 制服人妻中文乱码| 1024香蕉在线观看| 欧美中文综合在线视频| 久久毛片免费看一区二区三区| 男女边吃奶边做爰视频| 人妻 亚洲 视频| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看 | 成人毛片a级毛片在线播放| av网站在线播放免费| 国产精品国产三级国产专区5o| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 国产成人aa在线观看| 一级片免费观看大全| 国产片特级美女逼逼视频| 国产福利在线免费观看视频| 日韩 亚洲 欧美在线| 交换朋友夫妻互换小说| 9热在线视频观看99| 最近最新中文字幕大全免费视频 | xxxhd国产人妻xxx| 亚洲精品美女久久av网站| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 天美传媒精品一区二区| 美女高潮到喷水免费观看| av在线播放精品| 九草在线视频观看| 国产免费一区二区三区四区乱码| 岛国毛片在线播放| √禁漫天堂资源中文www| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 桃花免费在线播放| 波多野结衣av一区二区av| 日韩大片免费观看网站| 精品一区二区三卡| 免费av中文字幕在线| 一级爰片在线观看| 2018国产大陆天天弄谢| 精品一区二区三卡| 伦理电影免费视频| 宅男免费午夜| 午夜免费鲁丝| 性高湖久久久久久久久免费观看| 性色avwww在线观看| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 人妻人人澡人人爽人人| 午夜福利网站1000一区二区三区| 一二三四在线观看免费中文在| 男女下面插进去视频免费观看| 亚洲国产精品成人久久小说| 最新的欧美精品一区二区| 国产精品熟女久久久久浪| 高清黄色对白视频在线免费看| 曰老女人黄片| 天天躁夜夜躁狠狠久久av| 国产精品99久久99久久久不卡 | 欧美中文综合在线视频| 久热这里只有精品99| 成年女人毛片免费观看观看9 | 欧美精品亚洲一区二区| 丝袜人妻中文字幕| 青春草国产在线视频| 成人手机av| 蜜桃国产av成人99| 免费在线观看黄色视频的| 乱人伦中国视频| 国产精品亚洲av一区麻豆 | 国产精品久久久久久久久免| 这个男人来自地球电影免费观看 | a级片在线免费高清观看视频| 久久综合国产亚洲精品| 久久毛片免费看一区二区三区| 国产精品亚洲av一区麻豆 | 九九爱精品视频在线观看| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 男男h啪啪无遮挡| kizo精华| 啦啦啦在线观看免费高清www| 久久久精品区二区三区| av网站免费在线观看视频| 亚洲成人手机| 十八禁网站网址无遮挡| 97在线视频观看| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 中文字幕人妻熟女乱码| 美女视频免费永久观看网站| 亚洲国产av影院在线观看| 老女人水多毛片| 精品久久蜜臀av无| 精品一品国产午夜福利视频| 国产综合精华液| 欧美日本中文国产一区发布| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 国产在线免费精品| 精品久久久精品久久久| 人体艺术视频欧美日本| 成年人午夜在线观看视频| 婷婷色麻豆天堂久久| 婷婷色av中文字幕| 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 精品国产一区二区三区四区第35| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 亚洲综合精品二区| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 97精品久久久久久久久久精品| 国产高清不卡午夜福利| 大片免费播放器 马上看| 99国产综合亚洲精品| 亚洲精品日本国产第一区| 2022亚洲国产成人精品| 熟妇人妻不卡中文字幕| 午夜激情久久久久久久| kizo精华| av卡一久久| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| a级毛片黄视频| 丝袜人妻中文字幕| 韩国精品一区二区三区| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 亚洲国产精品999| 免费观看无遮挡的男女| 国产成人精品久久久久久| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 亚洲av中文av极速乱| 国产一级毛片在线| 亚洲av.av天堂| 久热这里只有精品99| 精品少妇久久久久久888优播| 久久久久久久久久人人人人人人| 亚洲国产色片| 男人操女人黄网站| 男女午夜视频在线观看| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 蜜桃在线观看..| 国产免费视频播放在线视频| 制服丝袜香蕉在线| 97人妻天天添夜夜摸| 日本av免费视频播放| 久久精品国产亚洲av天美| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 两个人免费观看高清视频| 中国国产av一级| 国产免费现黄频在线看| 男人爽女人下面视频在线观看| 街头女战士在线观看网站| 麻豆精品久久久久久蜜桃| 两性夫妻黄色片| av在线app专区| 男女边吃奶边做爰视频| 老汉色av国产亚洲站长工具| 不卡av一区二区三区| 18在线观看网站| 久久久久久人妻| 国产精品人妻久久久影院| 免费在线观看完整版高清| 99九九在线精品视频| 亚洲av欧美aⅴ国产| 999精品在线视频| 七月丁香在线播放| 久久亚洲国产成人精品v| 精品少妇内射三级| 日韩av不卡免费在线播放| 久久久久久久国产电影| 免费久久久久久久精品成人欧美视频| 精品少妇黑人巨大在线播放| 超碰成人久久| 久久免费观看电影| 亚洲欧美一区二区三区国产| 男女边摸边吃奶| 欧美xxⅹ黑人| 最近手机中文字幕大全| 90打野战视频偷拍视频| 日日爽夜夜爽网站| 99国产精品免费福利视频| 又大又黄又爽视频免费| 免费看av在线观看网站| 大香蕉久久成人网| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 青草久久国产| 性色av一级| 午夜av观看不卡| 一级a爱视频在线免费观看| 日韩av在线免费看完整版不卡| 人妻少妇偷人精品九色| 成人毛片60女人毛片免费| 久久国内精品自在自线图片| 天堂中文最新版在线下载| 99久国产av精品国产电影| 免费观看av网站的网址| 热99国产精品久久久久久7| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 亚洲人成网站在线观看播放| 亚洲av福利一区| 男人舔女人的私密视频| 哪个播放器可以免费观看大片| 国产爽快片一区二区三区| 色婷婷av一区二区三区视频| 成年人午夜在线观看视频| 男的添女的下面高潮视频| 在线观看www视频免费| 超色免费av| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 日本vs欧美在线观看视频| 免费黄频网站在线观看国产| 国产精品三级大全| 国产精品二区激情视频| av在线播放精品| 欧美人与善性xxx| 大片免费播放器 马上看| 寂寞人妻少妇视频99o| 国产黄色视频一区二区在线观看| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 欧美精品国产亚洲| 久久av网站| 黄色怎么调成土黄色| 大香蕉久久网| 国产精品久久久久成人av| 国产成人精品久久二区二区91 | 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 亚洲成人av在线免费| a 毛片基地| 中文欧美无线码| 十八禁高潮呻吟视频| 欧美中文综合在线视频| 亚洲在久久综合| 午夜老司机福利剧场| 美女大奶头黄色视频| 妹子高潮喷水视频| 久久这里只有精品19| 欧美在线黄色| 中国国产av一级| 欧美最新免费一区二区三区| 曰老女人黄片| 69精品国产乱码久久久| 欧美av亚洲av综合av国产av | 97在线视频观看| 国产精品不卡视频一区二区| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 成人亚洲精品一区在线观看| videossex国产| 成年美女黄网站色视频大全免费| 九色亚洲精品在线播放| 午夜av观看不卡| 亚洲精品一区蜜桃| 有码 亚洲区| 宅男免费午夜| av国产精品久久久久影院| 国产精品av久久久久免费| 国产精品嫩草影院av在线观看| freevideosex欧美| 中文字幕制服av| 亚洲成国产人片在线观看| 日韩一区二区视频免费看| 黑人欧美特级aaaaaa片| 女人久久www免费人成看片| 不卡av一区二区三区| 丝袜人妻中文字幕| 久久久久久久国产电影| 日韩三级伦理在线观看| 18+在线观看网站| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 成年美女黄网站色视频大全免费| 一级黄片播放器| 亚洲av成人精品一二三区| 欧美97在线视频|