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    閉區(qū)間套定理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)有趣應(yīng)用

    2018-12-06 07:40:16宣渭峰
    青年與社會(huì) 2018年30期

    摘 要:實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性在數(shù)學(xué)分析、實(shí)分析等課程中是一非?;厩抑匾慕Y(jié)論。傳統(tǒng)的是利用對(duì)角線法證明(0,1)開(kāi)區(qū)間中所有實(shí)數(shù)是不可數(shù)的,從而證明全體實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性。文章主要應(yīng)用實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)等價(jià)命題之一——閉區(qū)間套定理,巧妙地證明了實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性,該結(jié)論將會(huì)激發(fā)學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的學(xué)習(xí)興趣,并有助于學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的理解和掌握。

    關(guān)鍵詞:閉區(qū)間套定理;實(shí)數(shù)集;不可數(shù)

    眾所周知且容易證明,有理數(shù)集是可數(shù)的。自然的一個(gè)猜想就是,任何無(wú)限集合都是可數(shù)的。但是事實(shí)并非如此。德國(guó)數(shù)學(xué)家、集合論的創(chuàng)始人康托有一個(gè)極有意義的發(fā)現(xiàn),就是全體實(shí)數(shù)集(有理數(shù)和無(wú)理數(shù))是不可數(shù)的。也就是說(shuō),全體實(shí)數(shù)與整數(shù)或有理數(shù)相比有一個(gè)根本的不同。同樣是無(wú)限集,但實(shí)數(shù)集屬于更高一級(jí)類(lèi)型的無(wú)限。為人們所廣泛熟悉的連續(xù)統(tǒng),就是實(shí)數(shù)集的基數(shù)(粗略地說(shuō),即實(shí)數(shù)集元素的個(gè)數(shù))。對(duì)于這個(gè)結(jié)論的其中一個(gè)應(yīng)用就是證明了實(shí)數(shù)集中除了代數(shù)數(shù)(任何整系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)根)還存在超越數(shù)(不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù),如圓周率);因?yàn)榇鷶?shù)式是可數(shù)的,但是實(shí)數(shù)集不可數(shù)。

    康托利用對(duì)角線方法最早證明了實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性。主要思路如下:首先建立實(shí)數(shù)集與(0,1)開(kāi)區(qū)間的對(duì)等性(即找到兩個(gè)集合之間一個(gè)一一映射);其次,利用十進(jìn)制法表示(0,1)開(kāi)區(qū)間中所有的實(shí)數(shù),如果所有這些實(shí)數(shù)集可數(shù),它們就與正整數(shù)集對(duì)等,換句話說(shuō),它們就可以排列成一無(wú)窮序列。最后,也是最巧妙的部分,就是通過(guò)對(duì)角線方法構(gòu)造一個(gè)(0,1)開(kāi)區(qū)間中一個(gè)新的實(shí)數(shù),但是我們能說(shuō)明這個(gè)新的實(shí)數(shù)不屬于這個(gè)無(wú)窮序列。這個(gè)矛盾就證明了實(shí)數(shù)集無(wú)法排列成一無(wú)窮序列,也就是說(shuō),實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的。

    雖然康托的證明非常經(jīng)典,但是這個(gè)證明涉及到十進(jìn)制表示法以及新的實(shí)數(shù)的構(gòu)造,對(duì)于初學(xué)者并不容易掌握這個(gè)證明。很自然的問(wèn)題是,是否存在對(duì)角線方法之外的而且更容易為學(xué)生理解的證明?文章將嘗試應(yīng)用閉區(qū)間套定理證來(lái)明實(shí)數(shù)集的不可數(shù)性。閉區(qū)間套定理是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要定理,也是實(shí)數(shù)完備性的六個(gè)等價(jià)命題之一。但同時(shí)也是數(shù)學(xué)分析教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)之一。其中一個(gè)原因,就是閉區(qū)間套定理相關(guān)的應(yīng)用以及練習(xí)較少(事實(shí)上該定理的應(yīng)用非常廣泛)。我們所做的嘗試,一面能幫助學(xué)生如何構(gòu)造閉區(qū)間套從而學(xué)會(huì)應(yīng)用閉區(qū)間套定理,另一面這個(gè)證明充滿趣味,將會(huì)激發(fā)學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的學(xué)習(xí)興趣,最終有助于學(xué)生對(duì)閉區(qū)間套定理的理解和掌握。

    一、主要結(jié)論

    首先,讓我們來(lái)回顧閉區(qū)間套定義及閉區(qū)間套定理。

    定義2.1([1])設(shè)閉區(qū)間列{[an,bn]}具有如下性質(zhì):

    (1)[an,bn][an+1,bn+1],n=1,2,L;

    (2)limn→∞(bn-an)=0。

    則稱(chēng){[an,bn]}為閉區(qū)間套。

    定理2.2([1])若{[an,bn]}是一閉區(qū)間套,則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)ξ,使得ξ[an,bn],n=1,2,L即an≤ξ≤bn,n=1,2,L。

    以下例子說(shuō)明閉區(qū)間套定理中閉區(qū)間不能減弱為開(kāi)區(qū)間,否則結(jié)論可能不成立。

    例2.3 開(kāi)區(qū)間列{(0,1/n)}是一區(qū)間套且滿足limn→∞(1/n-0)=0,但不存在實(shí)數(shù)系中一點(diǎn)ξ滿足ξ(0,1/n),n=1,2,L。

    下面給出可數(shù)集和不可數(shù)集的定義。

    定義2.4([2])凡和正整數(shù)集對(duì)等(兩集合之間存在一一映射)的集合都稱(chēng)為可數(shù)集合。

    定義2.5([2])不是可數(shù)集的無(wú)限集合稱(chēng)為不可數(shù)集。

    下面我們證明文章的主要結(jié)論。

    定理2.6 實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集。

    證:(反證法)假設(shè)實(shí)數(shù)集不是不可數(shù)集,則實(shí)數(shù)集必為可數(shù)集。由定義2.4知,實(shí)數(shù)集與正整數(shù)集對(duì)等,則實(shí)數(shù)集可排列成一個(gè)無(wú)窮序列,因此不失一般性,我們不妨設(shè)實(shí)數(shù)集為A={a1,a2,L anL}?,F(xiàn)在我們?cè)赱0,1]中構(gòu)造閉區(qū)間套。

    第一步,將[0,1]分成三等分,即[0,1/3],[1/3,2/3],[2/3,1]。顯然對(duì)于a1而言,至多同時(shí)屬于上述兩個(gè)閉區(qū)間,則我們可取得一閉區(qū)間不會(huì)包含a1,且記該閉區(qū)間為I1,長(zhǎng)度為1/3。

    第二步,將I1同樣分成三等分。(例如若I1=[1/3,2/3],則三等分之后得到三個(gè)閉區(qū)間為[1/3,4/9],[4/9,5/9],[5/9,2/3])顯然對(duì)于a2而言,至多同時(shí)屬于兩個(gè)閉區(qū)間,則我們可取得一閉區(qū)間不會(huì)包含a2,記該閉區(qū)間為I2,長(zhǎng)度為1/9,且滿足I2I1。

    延續(xù)這個(gè)方式下去,我們可得到一列閉區(qū)間列{In}滿足以下性質(zhì):

    (1)InIn+1,n=1,2,L,

    (2)In的區(qū)間長(zhǎng)度為1/2n,n=1,2,L,

    (3)an In,n=1,2,L。

    由(1)和(2)可知,{In}形成一閉區(qū)間套。則有閉區(qū)間套定理知,在實(shí)數(shù)集中存在一點(diǎn)ξA,滿足ξIn≥1In。另一方面,因ξA,故可設(shè)ξ=ak,其中k為正整數(shù)。由(3)知,ξ=ak Ik,進(jìn)而ξ In≥1In。矛盾!這個(gè)證明了實(shí)數(shù)集不能排列成一個(gè)無(wú)窮序列,故實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的。證明完畢!

    推論2.7 無(wú)理數(shù)是不可數(shù)集。

    證:(反證法)假設(shè)結(jié)論不成立,即無(wú)理數(shù)集是可數(shù)集。眾所周知,有理數(shù)集是可數(shù)集。因?yàn)榭蓴?shù)個(gè)可數(shù)集的并仍舊是可數(shù)集[2],所以實(shí)數(shù)集作為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的并是可數(shù)的,與定理2.6矛盾。證明完畢!

    二、結(jié)語(yǔ)

    閉區(qū)間套定理固然是教學(xué)難點(diǎn)之一,初學(xué)者亦很難構(gòu)造閉區(qū)間套來(lái)應(yīng)用該定理。但是筆者認(rèn)為,只要在教學(xué)過(guò)程中,多穿插一些有趣的應(yīng)用,不僅能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和分析思維,同時(shí)也能激發(fā)其強(qiáng)烈的求知欲和學(xué)習(xí)興趣。

    參考文獻(xiàn)

    [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上[M].高等教育出版社,2010:1-344.

    [2] 程其襄,張奠宇,魏國(guó)強(qiáng),等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].高等教育出版社,2015:1-347.

    作者簡(jiǎn)介:宣渭峰(1984.02- ),男,漢族,浙江寧波人,博士,講師,研究方向:一般拓?fù)洹?/p>

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