關(guān)于復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義

段江梅

（昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 昭通 657000）

1 引言

在復(fù)變函數(shù)中，復(fù)指數(shù)函數(shù)ez是最主要也是最簡單的初等函數(shù).因此復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義及其性質(zhì)是初等函數(shù)中的重點研究對象.在經(jīng)典教材鐘玉泉編《復(fù)變函數(shù)論》及B.B.沙巴特編《復(fù)分析導(dǎo)論》中給出指數(shù)函數(shù)的定義.

定義1 對于任何復(fù)數(shù)z=x+iy，用關(guān)系式

來規(guī)定指數(shù)函數(shù)ez.

定義2 用極限關(guān)系來定義指數(shù)函數(shù)ez

下面給出這兩種定義的構(gòu)造形式.

2 復(fù)指數(shù)函數(shù)的定義

2.1 定義1的構(gòu)造形式

（1）當(dāng)y=0 時，f(z)=ex，這個函數(shù)就是實指數(shù)函數(shù).

（2）f(z)在z平面上解析，且

這四個偏導(dǎo)數(shù)在z平面上處處連續(xù)，且滿足方程，因此在z平面上解析，并且實指數(shù)函數(shù)具有類似的性質(zhì).

（3）進(jìn)一步，還易驗證：

實指數(shù)函數(shù)同樣具有類似的性質(zhì).

事實上，由條件（1）（3）知

又因f(z)在z平面上解析，故由C.-R.方程得

這是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，方程的通解為

其中c1，c2為任意常數(shù).

2.2 定義2的構(gòu)造形式

像在實分析中一樣以極限關(guān)系來定義指數(shù)函數(shù)ez：

下面證明這個極限對于任意z∈C的存在性.

為此令z=x+iy，并注意到，由冪的提升規(guī)律有

由此看出，存在

這意味著極限（4）存在，并且可以寫為極坐標(biāo)形式：