圖象法解一類“疊加體”模型

貴州 陳衛(wèi)國(guó)

高中物理中有一類常見且重要的“疊加體”問題，用常規(guī)物理解法計(jì)算量很大，且容易出錯(cuò)?，F(xiàn)試用圖象法分析解答，以得到一種直觀、簡(jiǎn)便的解題方法。

一、“疊加體”模型

A、B兩物體的質(zhì)量分別為mA和mB，A物體可視為質(zhì)點(diǎn)，B物體長(zhǎng)為l。兩物體在水平地面上靜止且A疊放在B上。A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μAB，B與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μB。最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。對(duì)A或B施加水平拉力F，A、B物體可能出現(xiàn)由靜止過渡到同步加速到異步加速，直至二物體發(fā)生分離。

二、“疊加體”模型的兩種典型情況

模型一F作用在A上，A在B的左端，如圖1

判斷“疊加體”物體能否發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)的方法

圖1

1.共同加速度a0：“疊加體”類物體在外力作用下相對(duì)靜止且同步前進(jìn)的加速度

A、B水平受力分析如圖2

圖2

2.臨界加速度a1：“疊加體”類物體彼此有相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)，水平無拉力物體僅在滑動(dòng)摩擦力作用下前進(jìn)的加速度

A、B水平受力分析如圖3、圖4

圖3

圖4

3.“疊加體”類物理問題，一旦它們初始條件確定，其運(yùn)動(dòng)情況是確定的。我們只需比較“共同加速度a0”和“臨界加速度a1”即可確定“疊加體”物體是否相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)。

如果a0≤a1，“疊加體”中兩個(gè)物體將相對(duì)靜止，整體共同靜止或前進(jìn)。

如果a0>a1，“疊加體”中兩個(gè)物體將相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)，各自加速前進(jìn)。但施加F的物體加速度較大。持續(xù)下去，A將從B的右端沖出。

模型二F作用在B上，A在B的右端，如圖5

判斷“疊加體”物體能否發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)的方法

圖5

1.共同加速度a0：“疊加體”類物體在外力作用下彼此相對(duì)靜止且同步前進(jìn)的加速度

A、B水平受力分析如圖6

圖6

2.臨界加速度a1：“疊加體”類物體彼此有相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)，水平無拉力物體僅在滑動(dòng)摩擦力作用下前進(jìn)的加速度

A、B水平受力分析如圖7、圖8

圖7

圖8

3.“疊加體”類物理問題，一旦它們的初始條件確定，其運(yùn)動(dòng)情況是確定的。我們只須比較“共同加速度a0”和“臨界加速度a1”即可確定“疊加體”物體是否相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)。

如果a0≤a1，“疊加體”中兩個(gè)物體將相對(duì)靜止，整體共同靜止或前進(jìn)。

如果a0>a1，“疊加體”中兩個(gè)物體將相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)，各自加速前進(jìn)。但施加F的物體加速度較大。持續(xù)下去，A將從B的左端沖出。

【總結(jié)】對(duì)于上述“疊加體”物理模型，必須先由所給參數(shù)根據(jù)“共同加速度a0”與“臨界加速度a1”關(guān)系判斷A、B物體是否有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。如果A、B相對(duì)靜止，則整體分析；如果A、B有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，須隔離A、B物體，進(jìn)而分析A、B運(yùn)動(dòng)情況。

三、圖象法解“疊加體”物理模型

1.在模型一中，“疊加體”所給參數(shù)確定，F(xiàn)由0逐漸增大的過程中，A、B物體將由對(duì)地靜止逐漸過渡到同步加速，最后兩物體將發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)。在上述過程中，A、B物體發(fā)生錯(cuò)位時(shí)的F臨界值必須滿足a0=a1，即

F≤F′時(shí)，A、B將相對(duì)靜止

F>F′時(shí)，A、B將相對(duì)運(yùn)動(dòng)

(1)A、B一直對(duì)地靜止，F(xiàn)滿足0≤F≤μB(mA+mB)g

(2)A、B共同前進(jìn)，但未發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，共同加速度

(3)A、B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)后，各自加速度分別為

(4)如F確定，A、B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)到二者分離，相對(duì)加速度Δa=aA-aB

發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)至二者分離有

(5)“疊加體”A、B全程運(yùn)動(dòng)如圖9

圖9

其中，疊加體A、B在t1時(shí)刻同步開始加速；在t2時(shí)刻二者將發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)；在t3時(shí)刻二者將分離。

二者相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，B做勻加速直線運(yùn)動(dòng)如圖直線ab，且ab直線是t1至t2段曲線在t2時(shí)刻的切線。圖中陰影面積為B物體長(zhǎng)度，即Sabc=l。

上述過程中產(chǎn)生的熱量為

Q=fB/A·Sabc=μABmAg·l，最終A由B的右端滑出。

2.在模型二中，“疊加體”所給參數(shù)確定，F(xiàn)由0逐漸增大的過程中，A、B物體將由對(duì)地靜止逐漸過渡到同步加速，最后兩物體將發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)。在上述過程中，A、B物體發(fā)生錯(cuò)位時(shí)的F臨界值必須滿足a0=a1，即

得F″=μAB(mA+mB)g+μB(mA+mB)g

F≤F″時(shí)，A、B將相對(duì)靜止

F>F″時(shí)，A、B將相對(duì)運(yùn)動(dòng)

(1)A、B一直對(duì)地靜止，F(xiàn)滿足條件為0≤F≤μB(mA+mB)g。

(2)A、B共同前進(jìn)，但未發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，共同加速度

(3)A、B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)后，各自加速度分別為

(4)如F確定，A、B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)到二者分離，相對(duì)加速度為Δa=aB-aA

發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)至二者分離有

(5)“疊加體”A、B全程運(yùn)動(dòng)如圖10

圖10

其中，疊加體A、B在t1時(shí)刻同步開始加速；在t2時(shí)刻二者將發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)；在t3時(shí)刻二者將分離。

二者相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)如圖直線ab，且ab直線是t1至t2段曲線在t2時(shí)刻的切線。圖中陰影面積為B物體長(zhǎng)度，即Sabc=l。

上述過程中產(chǎn)生的熱量為

Q=fB/A·Sabc=μABmAg·l，最終A由B的左端滑出。

綜合上述1和2的兩種情況，我們有疊加體系統(tǒng)臨界問題的求解思路：

四、“疊加體”物理模型延伸拓展

1.在模型一中，F(xiàn)作用在A上，A在B的左端，如圖11

圖11

(1)如果mA→∞，正常情況下，F(xiàn)<μB(mA+mB)g，系統(tǒng)將全程靜止，“疊加體”問題轉(zhuǎn)化為“單體”問題。

在A、B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，各自加速度分別為

在A、B將發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)時(shí)，臨界F滿足

2.在模型二中，F(xiàn)作用在B上，A在B的右端，如圖12

圖12

(1)如果mA→∞，正常情況下，F(xiàn)<μB(mA+mB)g，系統(tǒng)將全程靜止，“疊加體”問題轉(zhuǎn)化為“單體”問題。

(2)如果mB→∞，正常情況下，F(xiàn)<μB(mA+mB)g，系統(tǒng)將全程靜止，“疊加體”問題轉(zhuǎn)化為“單體”問題。

在A、B發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，各自加速度分別為

在A、B將發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(錯(cuò)位)時(shí)，臨界F滿足

得F′=μAB(mA+mB)g

五、可化為“疊加體”物理模型的問題

【例題】一小圓盤靜止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一邊與桌的AB邊重合，如圖13所示，已知盤與桌布間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1，盤與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2?，F(xiàn)突然以恒定加速度a將桌布抽離桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB邊。若圓盤最后未從桌面掉下，則加速度a滿足的條件是什么？(以g表示重力加速度)

圖13

解法一：公式法

令圓盤質(zhì)量m，桌長(zhǎng)l，桌布從圓盤下抽出過程中，盤以加速度a1勻加速運(yùn)動(dòng)，有

μ1mg=ma1

①

桌布抽出后，盤在桌面上以a2勻減速運(yùn)動(dòng)，有

μ2mg=ma2

②

令盤剛離開桌布時(shí)的速度為v1，盤在桌布上相對(duì)運(yùn)動(dòng)耗時(shí)t1，移動(dòng)的距離為x1，盤離開桌布后在桌面上再運(yùn)動(dòng)距離x2后停下，盤在桌面上相對(duì)運(yùn)動(dòng)耗時(shí)t2，有

③

盤沒有從桌面上掉下的臨界條件是

④

桌布從盤下抽出勻加速運(yùn)動(dòng)加速度為a，令盤、桌布分離時(shí)桌布速度v2，在這段時(shí)間內(nèi)桌布移動(dòng)距離x，有

⑤

解法二：圖象法

分析題意有在桌布以加速度a勻加速前進(jìn)；盤先在桌布上以加速度a1勻加速前進(jìn)，后脫離桌布以加速度a2在桌面上勻減速前進(jìn)，臨界條件為盤到桌面邊緣時(shí)，速度恰為0，有

圖14

如圖14，令圓盤質(zhì)量m，桌長(zhǎng)l，桌布從圓盤下抽出過程中，盤以加速度a1勻加速運(yùn)動(dòng)，有

μ1mg=ma1

得a1=μ1g

桌布抽出后，盤在桌面上以a2勻減速運(yùn)動(dòng)，有

μ2mg=ma2

得a2=μ2g

在圓盤恰從桌布滑出時(shí)，圓盤相對(duì)桌布位移為

在圓盤由開始恰好到桌面邊緣過程中，圓盤相對(duì)桌面位移為

對(duì)于圓盤運(yùn)動(dòng)分析，有

v1=a1t1=a2t2

①

②

( )

圖15

A．當(dāng)

F

<2

μmg

時(shí)，

A

、

B

都相對(duì)地面靜止

C．當(dāng)F>3μmg時(shí)，A相對(duì)B滑動(dòng)

【答案】BCD