波動方程 給力高考

湖北 朱木清

物理《選修3 - 4》，例析彈簧振子和單擺模型，介紹了簡諧運動規(guī)律表達式(也叫振動方程)。結(jié)合繩波和彈簧波模型，講解了機械波的形成機理與過程：沿著波的傳播方向，介質(zhì)中相鄰質(zhì)點間相互作用，前面的質(zhì)點依次帶動后面的質(zhì)點振動，后一質(zhì)點總是重復(fù)前一質(zhì)點的振動狀態(tài)，“滯后”一定的時間和相位。

一、平面簡諧波的波動方程

設(shè)Ox軸上有一平面簡諧波傳播，波速為v，已知其中某質(zhì)點(可能是波源，也可能不是，稱為始點)偏離平衡位置的位移y0與時間t關(guān)系為

y0=Acosωt

二、波動方程在高考中的應(yīng)用

(ⅰ)波速及波的傳播方向；

(ⅱ)質(zhì)點Q的平衡位置的x坐標。

甲

乙

【解析】(ⅰ)由圖1甲知波長λ=36 cm

由圖1乙知周期T=2 s

(ⅱ)P、Q平衡位置間距離不是特殊值，故適用波動方程求解。由圖1乙，設(shè)質(zhì)點Q的偏離平衡位置的位移與時間關(guān)系式為yQ=Asinωt

故yQ=Asinπt

偏離平衡位置的位移與時間的關(guān)系式分別為

故質(zhì)點Q的平衡位置的x坐標xQ=9 cm。

【拓展】如表1，仿照對質(zhì)點Q的描述，完成質(zhì)點O和P的對應(yīng)分析。

表1

表2

(ⅰ)簡諧波的周期、波速和波長；

(ⅱ)質(zhì)點O的位移隨時間變化的關(guān)系式。

t=1 s時，質(zhì)點A第一次回到平衡位置

得周期T=4 s

波長λ=vT=30 cm

t=0時刻波形圖如圖3所示。

圖3

(ⅱ)t=0時，質(zhì)點O位于y=4 cm處

得振幅A=8 cm

故質(zhì)點O的位移隨時間變化關(guān)系式為

解法二：(ⅰ)t=0時，質(zhì)點A位于波峰位置

t=1 s時，A處質(zhì)點第一次回到平衡位置

t=1 s時，A第一次到平衡位置

波長λ=vT=30 cm。

(ⅱ)設(shè)質(zhì)點O的振動方程為

y=Asin(ωt+φ0)

又t=0時，質(zhì)點O的位移為y=4 cm，4=Asin(0+φ0)

得質(zhì)點O的位移隨時間變化關(guān)系式