一次課堂討論的多解思維迸發(fā)

劉洋

【摘要】在一次三角競賽輔導(dǎo)課中，關(guān)于兩個自主招生問題的復(fù)習(xí)引發(fā)了學(xué)生的思考，難能可貴的是學(xué)生對于問題的思考，引起了大家的討論，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種不小的引導(dǎo).

【關(guān)鍵詞】自主招生；三角；思維；討論；齊次式

三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，其相對于一般函數(shù)而言，自變量的選擇是以角度為先，建立對應(yīng)關(guān)系式解決問題.三角相關(guān)的問題在自主招生和競賽中對于學(xué)生而言往往顯得較為困難，因為其技能和公式運用能力要求相對較高，導(dǎo)致學(xué)生往往得分困難.難點在何處呢？筆者以兩個自主招生試題來談一談從一次課堂討論中解決三角問題的思路和想法.

問題1 函數(shù)y=cosθ2+sinθ（θ∈R）的值域是.（請寫出兩種以上的方法）

分析 本題是2012年卓越聯(lián)盟的考題，從試題結(jié)構(gòu)和難度來說，本題是三角相關(guān)知識中難度一般的一道問題，給出的主要目的是想請學(xué)生思考三角函數(shù)值域相關(guān)問題中，多種解決方式的交叉使用，主要請學(xué)生思考解題途徑.要寫出兩種以上的解法并不困難.

生1：可以從斜率的角度思考.我們知道這樣的問題一直可以從直線斜率的角度入手，畫幾何圖對于問題的解決相對簡捷.

如圖所示，從斜率角度簡化，不妨令y=cosθsinθ+2=cosθ-0sinθ-（-2），可看成是圓x2+y2=1上的點到（-2，0）的斜率，由解析幾何有關(guān)知識，可得y∈-33，33，這里圖形化是解決問題的主要方式.

師：很好.本題與中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的三角問題類似，解決方式也比較熟悉，第一位同學(xué)思考得非常到位.能不能換一個視角呢？

生2：我可以從代數(shù)化的角度思考.2y+ysinθ=cosθ，2y=cosθ-ysinθ=1+y2cos（θ+φ），由|cos（θ+φ）|≤1，故2|y|≤1+y2y∈-33，33.這里借助了和與差余弦公式的逆用，將問題代數(shù)化，優(yōu)點是降低了思考的難度，使得計算替代思維，成為第一選擇.

師：不錯.代數(shù)化的方式也比較簡捷.從分子分母中的齊次式的角度呢？

生3：我們討論了一下，分子、分母是齊次式，借助半角萬能公式，我們可以轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)問題，即令tanθ2=t，t∈（-∞，+∞），則y=1-t21+t22+2t1+t2=1-t22t2+2t+2，再用判別式法，求得y∈-33，33.在換元之后，三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉肿臃帜付际嵌魏瘮?shù)的問題，判別式法成為頭腦中迅速跳出的一種解法.

師：有道理.齊次式的解決方式在一般函數(shù)中，我們思考得較多，盡管本題是三角函數(shù)，但是換元之后一定可以展示出較為熟悉的一般函數(shù)模型，從而簡化.

意圖：本題作為卓越聯(lián)盟考題難度并不大，寫出兩種解法并不困難，中學(xué)數(shù)學(xué)中也常常有類似的問題.但是若要學(xué)生寫出三種以上的解法，筆者認(rèn)為是有難度的，因為學(xué)生對于函數(shù)內(nèi)部轉(zhuǎn)化后的模型認(rèn)知，尚缺乏整體的理解和思考，因此，給學(xué)生一定的時間討論和嘗試，是積極、有效的.

問題2 △ABC的三邊a，b，c滿足a+b≥2c，A，B，C為△ABC的內(nèi)角.求證：C≤60°.

分析 這是典型的自主招生類問題，本題是2015年上海交通大學(xué)自主招生問題.僅僅一個條件a+b≥2c，從邊的條件出發(fā)思考結(jié)論C≤60°，學(xué)生解決問題的思路應(yīng)該是明確的.

生1：我們組討論了本題，覺得既然從邊作為條件入手，角作為結(jié)論確定，自然需要邊化角的嘗試，所以我們第一想到的是正弦定理，先嘗試.由正弦定理，a+b≥2csinA+sinB≥2sinC2sinA+B2cosA-B2≥2·2sinC2cosC2cosA-B2≥2sinC2.又考慮到三角有界性cosA-B2≤1，所以2sinC2≤1.注意到0

師：很不錯哦！a+b≥2csinA+sinB≥2sinC之后采用了和差化積的方式簡化了運算，盡管和差化積公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中沒有強行要求記憶，但作為自主招生這樣的公式還是需要理解和記憶的.換一個角度的思考有嗎？

生2：我們正好跟第一組同學(xué)反過來，我們認(rèn)為有了邊作為條件，那么尋找邊之間的關(guān)系就可以利用余弦定理去解決角的問題.由余弦定理知，cosC=a2+b2-c22ab≥a2+b2-a+b222ab=4（a2+b2）-（a+b）28ab=3（a2+b2）-2ab8ab=3（a2+b2）8ab-14≥34-14=12，所以C≤60°.

師：恩，思考點也非常正確.若不想從角的道路，自然可以從邊上去思考問題的解決途徑，這里關(guān)鍵在于三元轉(zhuǎn)化為兩元，在轉(zhuǎn)換為兩元之后，我們不難發(fā)現(xiàn)4（a2+b2）-（a+b）28ab已經(jīng)達(dá)到了齊次式的目的，不等式的運用已經(jīng)是自然而然的事情了.

意圖：“邊角之爭”已知是三角函數(shù)問題的主線，從邊到角、從角到邊都是常規(guī)的思路.可以這么說，如果從角到邊解決起來較為復(fù)雜，則從邊到角應(yīng)該容易一些，否則兩者難度也半斤八兩，問題解決之道有點類似哲學(xué)思想正難則反易.

總之，課堂要給學(xué)生自主探索的時間，要尋找正確的解決導(dǎo)向.這一點是筆者課堂教學(xué)，尤其是自主招生或競賽類課堂一直強調(diào)的，從中獲得的思路才是課堂教學(xué)最為關(guān)注的.