聚焦概念本質(zhì) 錘煉數(shù)學(xué)思維
——“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)磨課

□ 夏杭英

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)是讓學(xué)生理解概念的內(nèi)涵及本質(zhì)屬性，掌握概念的外延及特征、性質(zhì)與規(guī)律，并能正確運(yùn)用概念進(jìn)行思維活動(dòng)的教學(xué)。從定義上看，概念其實(shí)是思維活動(dòng)的結(jié)晶，概念的獲得不是一蹴而就的，而是對(duì)眾多現(xiàn)象進(jìn)行抽象概括的過程。這個(gè)學(xué)習(xí)的過程，也是學(xué)生思維能力逐步提高的過程。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，聚焦概念的本質(zhì)學(xué)習(xí)，錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就顯得至關(guān)重要了。本文以人教版三上“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課磨課經(jīng)歷為例，展開闡述。

一、聚焦概念本質(zhì)

在實(shí)際概念教學(xué)中，教師常常圍繞概念設(shè)計(jì)一系列活動(dòng)，但是這些活動(dòng)是否真正體現(xiàn)概念的本質(zhì)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展是否真正有幫助呢？這就需要教師在完成教學(xué)設(shè)計(jì)后，對(duì)環(huán)節(jié)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等進(jìn)行本質(zhì)的追問，從而使教學(xué)設(shè)計(jì)能夠有效聚焦概念的本質(zhì)。

（一）環(huán)節(jié)目標(biāo)是否指向本質(zhì)

環(huán)節(jié)目標(biāo)指教學(xué)環(huán)節(jié)各部分的小目標(biāo)，是整堂課教學(xué)目標(biāo)的一部分。概念的本質(zhì)指概念的本質(zhì)意義。每一堂數(shù)學(xué)概念課設(shè)計(jì)后，我們需要對(duì)每一個(gè)環(huán)節(jié)目標(biāo)進(jìn)行追問：這個(gè)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是什么，環(huán)節(jié)目標(biāo)是否指向這個(gè)概念的本質(zhì)？

“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課第一次試教的各環(huán)節(jié)目標(biāo)與展開是這樣安排的。

1.揭示周長(zhǎng)概念：你能指一指它（指巨型蘑菇模型圖）的周長(zhǎng)嗎？學(xué)生多個(gè)指了以后，小結(jié)：從起點(diǎn)開始再回到起點(diǎn)，就是一周的長(zhǎng)度，就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。

2.辨別描出周長(zhǎng)：請(qǐng)描出這些圖形（見下圖）的周長(zhǎng)，第五個(gè)圖形你遇到了什么問題？（不是封閉圖形，通過討論揭示封閉圖形，再把它補(bǔ)成封閉圖形）

3.圖形里面的線是周長(zhǎng)的一部分嗎？中間加一條線，你還會(huì)指出它的周長(zhǎng)嗎？

4.周長(zhǎng)的長(zhǎng)短受什么影響：把這個(gè)三角形剪一刀讓周長(zhǎng)更長(zhǎng)，你行嗎？如果是更短呢？

5.聯(lián)系生活實(shí)物：找一找身邊的物體，選其中的一個(gè)面，摸一摸它的周長(zhǎng)。

6.測(cè)量周長(zhǎng)：小組合作選擇合適的工具測(cè)量這些圖形的周長(zhǎng)（三角形、長(zhǎng)方形、五角星、圓形），重點(diǎn)展示各種方法。

7.拓展題：一個(gè)長(zhǎng)方形把它變成兩個(gè)周長(zhǎng)相等的圖形，你有什么辦法？

課后反思追問：周長(zhǎng)的本質(zhì)是什么？一周的長(zhǎng)度是周長(zhǎng)，這是最本質(zhì)的意義，可以用“從起點(diǎn)開始再回到起點(diǎn)”這樣的描述來幫助學(xué)生理解。封閉圖形也是周長(zhǎng)意義的一部分，是需要讓學(xué)生感受和學(xué)習(xí)的。那么，圖形里面的線要不要算為周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的長(zhǎng)短受什么影響，用多種方法測(cè)量這幾個(gè)圖形，是否就掌握周長(zhǎng)概念最本質(zhì)的意義呢？

經(jīng)過這樣的追問，教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了調(diào)整，第1、2環(huán)節(jié)保留，3和4環(huán)節(jié)被刪除，6測(cè)量周長(zhǎng)仍然保留，但是重點(diǎn)調(diào)整為利用測(cè)量鞏固周長(zhǎng)的意義，周長(zhǎng)是哪幾條？我們?cè)趺戳?？讓學(xué)生通過操作感知到，把所有的周長(zhǎng)的線條量出來再加起來的和就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。

環(huán)節(jié)目標(biāo)是推進(jìn)核心目標(biāo)達(dá)成的重要部分，像這樣對(duì)環(huán)節(jié)目標(biāo)進(jìn)行本質(zhì)追問，可以幫助教師真正聚焦概念的本質(zhì)，讓課堂學(xué)習(xí)簡(jiǎn)潔有效。

（二）教學(xué)內(nèi)容是否指向多維

教學(xué)內(nèi)容指教師選擇的供學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容，傾向于學(xué)習(xí)素材。多維指多背景、多層次、多側(cè)面、多結(jié)構(gòu)。概念教學(xué)設(shè)計(jì)完成后，教師需要對(duì)每一個(gè)學(xué)習(xí)素材進(jìn)行分析：這些素材是否體現(xiàn)了多維學(xué)習(xí)？

我們來看“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”第一次試教的學(xué)習(xí)素材。

內(nèi)容1：視頻新聞：巨型蘑菇介紹

內(nèi)容2:五個(gè)圖形描周長(zhǎng)

內(nèi)容3：一個(gè)三角形剪一剪

內(nèi)容4：身邊的實(shí)物，按學(xué)生說的隨機(jī)

內(nèi)容5：四個(gè)圖形紙片：三角形、長(zhǎng)方形、五角星、圓形

內(nèi)容6：一個(gè)長(zhǎng)方形一分為二后周長(zhǎng)相等

不難發(fā)現(xiàn)，整堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容只選擇了蘑菇（視頻呈現(xiàn)）、身邊的實(shí)物（限于教室）和五種基本圖形，難以體現(xiàn)多背景、多層次、多側(cè)面、多結(jié)構(gòu)的要求。

調(diào)整如下：

1.在說說身邊的實(shí)物這一環(huán)節(jié)中，增加了籃球場(chǎng)、游泳池等教室外的場(chǎng)景，體現(xiàn)多背景。

2.周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)除了規(guī)則物體外，還可以是不規(guī)則物體，增加人的腰圍、樹葉的邊緣等內(nèi)容，體現(xiàn)多側(cè)面。

3.測(cè)量周長(zhǎng)時(shí)選擇了三角形、長(zhǎng)方形、五角星、圓形，把第一個(gè)三角形改為不規(guī)則圖形，從不規(guī)則到規(guī)則再到圓形，體現(xiàn)多層次。

經(jīng)過這樣的調(diào)整，學(xué)習(xí)素材仍然比較簡(jiǎn)潔，但是已經(jīng)包含了多背景、多側(cè)面、多層次的要求，盡可能讓小小的數(shù)學(xué)課堂給學(xué)生展現(xiàn)一個(gè)大世界。在這樣的大世界中，通過對(duì)多種事物本質(zhì)屬性的概括，最終形成概念，聚焦概念的本質(zhì)學(xué)習(xí)。

（三）教學(xué)方法是否指向經(jīng)歷

教學(xué)方法指教學(xué)過程中教師教和學(xué)生學(xué)的方法，概念教學(xué)需要學(xué)生經(jīng)歷概念產(chǎn)生發(fā)展的過程或者由來等。概念教學(xué)設(shè)計(jì)完成后，需要對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行剖析：怎樣讓學(xué)生經(jīng)歷過程？

“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課需要讓學(xué)生經(jīng)歷周長(zhǎng)概念產(chǎn)生的過程。

1.直觀模型，經(jīng)歷具體到抽象。引入環(huán)節(jié)采用的是一則新聞視頻，介紹云南某地發(fā)現(xiàn)一個(gè)巨型蘑菇，周長(zhǎng)1.8米。視頻播完后，教師拿出一個(gè)蘑菇的平面模型，用直觀模型讓學(xué)生經(jīng)歷從生活實(shí)物中抽象出圖形的過程。

2.指指描描，經(jīng)歷周長(zhǎng)的產(chǎn)生。通過指一指巨型蘑菇的周長(zhǎng)，讓學(xué)生經(jīng)歷一周的長(zhǎng)度是從起點(diǎn)出發(fā)再回到起點(diǎn)，這樣才是一周。通過不同的起點(diǎn)的選擇還讓學(xué)生明白，一周的起點(diǎn)可以是任意一個(gè)位置。再通過描一描圖形的周長(zhǎng)，從視覺到觸覺，切實(shí)體驗(yàn)周長(zhǎng)的產(chǎn)生過程。

4.方法優(yōu)化，經(jīng)歷測(cè)量的進(jìn)化。測(cè)量五個(gè)從不規(guī)則到規(guī)則圖形的周長(zhǎng)的過程，一定程度上也反映了測(cè)量方法的進(jìn)化過程。首先不規(guī)則圖形只能是一條邊一條邊地量，到規(guī)則圖形，發(fā)現(xiàn)不用全部量，可以量一部分，其他的計(jì)算；再到圓形，發(fā)展到化曲為直的方法。這樣讓學(xué)生在操作的同時(shí)，感受到方法的多樣性，經(jīng)歷了方法的優(yōu)化過程。

這樣讓學(xué)生充分經(jīng)歷“周長(zhǎng)從哪里來，是什么，有什么特征，又到哪里去”的這樣一個(gè)過程，使學(xué)生充分理解周長(zhǎng)，從而掌握周長(zhǎng)的概念本質(zhì)。

可見，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的來龍去脈，能更好地幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)。

二、錘煉數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維是一種以數(shù)學(xué)概念作為基本要素、以符號(hào)語言作為媒介、用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行思考分析，進(jìn)而解決問題的能力。數(shù)學(xué)思維是多種思維能力的綜合運(yùn)用?？梢?，錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的思維能力，是我們數(shù)學(xué)課孜孜不倦并持之以恒的奮斗目標(biāo)。

（一）操作活動(dòng)中感知數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可分為兩種情形：“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”。

1.以數(shù)解形理解周長(zhǎng)本質(zhì)

以數(shù)解形指借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，在本課中指借助巨型蘑菇的周長(zhǎng)來闡明周長(zhǎng)的本質(zhì)。

播放新聞視頻，出現(xiàn)巨型蘑菇“周長(zhǎng)1.8米”，這是首先在學(xué)生頭腦中建立數(shù)，讓學(xué)生初步感知周長(zhǎng)。然后教師用圖片把巨型蘑菇抽象成一個(gè)圖形，問：周長(zhǎng)1.8米指的是哪里？讓學(xué)生直觀地把1.8米和圖形的周長(zhǎng)建立了聯(lián)系，從而明確周長(zhǎng)的本質(zhì)意義。

像這樣，先有數(shù)的具象，再到形的表象，兩者合二為一后，凝聚成概念的本質(zhì)。

2.以形助數(shù)豐富周長(zhǎng)內(nèi)涵

以形助數(shù)指借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，在本課中指借用圖形的直觀特征來豐富周長(zhǎng)的內(nèi)涵屬性。

在揭示周長(zhǎng)本質(zhì)概念后，本課出示了以下五個(gè)圖形，讓學(xué)生來描出周長(zhǎng)。在描的過程中，學(xué)生從圖形的辨析中會(huì)發(fā)現(xiàn)，第五個(gè)圖形的周長(zhǎng)沒辦法描出來，從而引導(dǎo)學(xué)生理解原來周長(zhǎng)是要封閉圖形才能有的。

后面的測(cè)量環(huán)節(jié)，就是采用數(shù)據(jù)來進(jìn)一步豐富周長(zhǎng)的內(nèi)涵。通過測(cè)量，學(xué)生深刻體會(huì)到周長(zhǎng)就是把一周的線的長(zhǎng)度量出來。

在這里，是先有形的表象，再有數(shù)的充實(shí)，兩者合二為一后，豐富了概念的內(nèi)涵。

（二）區(qū)別分辨中產(chǎn)生創(chuàng)造思維

創(chuàng)造性思維是當(dāng)今教育越來越重視的一項(xiàng)能力，也是數(shù)學(xué)課中的點(diǎn)睛之筆?！爸荛L(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”通過三個(gè)環(huán)節(jié)來進(jìn)行滲透與熏陶。

第二個(gè)環(huán)節(jié)是測(cè)量周長(zhǎng)的方法多樣化探索。你能想辦法知道這幾個(gè)圖形的周長(zhǎng)是多少嗎？你還有其他的辦法嗎？啟迪學(xué)生開動(dòng)腦筋，創(chuàng)造新的方法。

第三個(gè)環(huán)節(jié)是“一分為二”，你有多少種方法？

一個(gè)長(zhǎng)方形把它分成兩部分，使兩部分周長(zhǎng)一樣長(zhǎng)，你有幾種方法？學(xué)生的思維非?；钴S，從有規(guī)則的到不規(guī)則的，花樣繁多，也體現(xiàn)了學(xué)生思維的創(chuàng)造力。

概念的學(xué)習(xí)過程也是學(xué)生思維發(fā)展的過程。設(shè)計(jì)開放型的思維活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生樂于思考、敢于創(chuàng)新，又能從不同事物中概括出本質(zhì)屬性，可以讓學(xué)生既掌握了概念，又發(fā)展了思維。

（三）視覺沖擊中發(fā)展空間觀念

空間觀念，因其具有規(guī)則的幾何形狀、大小和位移，能給人強(qiáng)烈的視覺沖擊。而低段小學(xué)生的空間概念基本是通過觀察建立，通過實(shí)踐操作佐以比較思考的心理活動(dòng)后形成的。那么，怎樣通過視覺沖擊，來發(fā)展學(xué)生的空間觀念呢？

1.從屏幕到實(shí)物，視覺轉(zhuǎn)化中完成抽象

發(fā)展空間觀念的一個(gè)重要部分是學(xué)生能根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形。要從實(shí)物的一個(gè)面對(duì)應(yīng)到一個(gè)圖形，可以認(rèn)為是一種視覺轉(zhuǎn)化，我們可以通過從屏幕到實(shí)物的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在視覺沖擊中完成抽象。

第一個(gè)視覺沖擊是教師引導(dǎo)下的，視頻播放中讓學(xué)生感受巨型蘑菇，然后教師拿出一個(gè)縮小版的蘑菇圖片，把學(xué)生的視線從屏幕轉(zhuǎn)化到實(shí)物。讓學(xué)生明白，原來生活中的實(shí)物可以用圖形來表示，而且還可以縮小一定的比例，從而幫助學(xué)生抽象出幾何圖形。

第二個(gè)視覺沖擊是學(xué)生自己在實(shí)物中尋找周長(zhǎng)，找一找生活中的物體，說說它某一個(gè)面的周長(zhǎng)。讓學(xué)生主動(dòng)完成從實(shí)物到圖形的抽象過程。理解原來我們學(xué)的周長(zhǎng)，在生活的物體中到處都是。

課堂資源是有限的，屏幕可以呈現(xiàn)的資源是無限的，但是僅僅是屏幕給學(xué)生的感覺卻并不真實(shí)。因此從屏幕到實(shí)物進(jìn)行視覺轉(zhuǎn)化，能夠幫助學(xué)生主動(dòng)完成抽象的建構(gòu)過程，發(fā)展思維。

2.從圖形到實(shí)物，視覺想象中做到聯(lián)想

要從一個(gè)幾何圖形想象出實(shí)際物體，也可以認(rèn)為是一種視覺想象。我們可以通過從圖形到實(shí)物，幫助學(xué)生在視覺想象中聯(lián)想到幾何圖形。

“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課在學(xué)生指了許多實(shí)物的周長(zhǎng)后，教師出示一個(gè)圓形，問：“你覺得這個(gè)圖形有可能是在求我們生活中哪些物體的周長(zhǎng)？”

短暫的沉默后，學(xué)生暢所欲言，有月餅、硬幣、月亮、太陽、籃球……當(dāng)教師出示一個(gè)人在量腰圍的情境圖時(shí)，學(xué)生有種“山外有山”的驚嘆，緊接著頭圍、運(yùn)動(dòng)軌跡、赤道長(zhǎng)等也應(yīng)運(yùn)而生。

第三個(gè)視覺沖擊，是最后拓展環(huán)節(jié)“一分為二”。一個(gè)長(zhǎng)方形把它一分為二，使兩部分周長(zhǎng)一樣，你有幾種分法？一開始學(xué)生的作品都是分為面積相等的兩部分，周長(zhǎng)也一樣相等。當(dāng)教師出示這樣一幅圖時(shí)，引發(fā)了學(xué)生的爭(zhēng)議：看起來明顯不一樣的兩塊圖形，為什么周長(zhǎng)偏偏相等呢？

在這樣的視覺沖擊中，通過對(duì)比、位移，讓學(xué)生從周長(zhǎng)的本質(zhì)出發(fā)來思考，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)果然是一樣的。再讓學(xué)生創(chuàng)造方法就一點(diǎn)都不難了。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，要聚焦概念本質(zhì)的學(xué)習(xí)，努力讓環(huán)節(jié)目標(biāo)指向本質(zhì)，教學(xué)內(nèi)容指向多維，教學(xué)方法指向經(jīng)歷，從而錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的思維能力。

編后記：

課例研究是實(shí)現(xiàn)“教研相長(zhǎng)”的主要方式和途徑，而要讓其真正發(fā)揮好作用，一是要明確和“規(guī)整”主題（課例主旨設(shè)計(jì)理念），夯實(shí)環(huán)節(jié)，并以磨課、上課等行動(dòng)促目標(biāo)達(dá)成。二是要重視和“卷入”教師（課例研究共同體），深化過程，并以研討、整理等方式促成果“固化”。就成果整理而言，參與研究的老師要結(jié)合自身的實(shí)際情況并選擇適切的方式進(jìn)行，就同一課例而言，可以選擇“教學(xué)設(shè)計(jì)”“教材解讀”“教學(xué)磨課”“教學(xué)反思”“教學(xué)例談”等某一種“體例”形成書面材料，從而也為自己找尋到一種教學(xué)論文（文章）撰寫的起動(dòng)方式，由此也更好發(fā)揮出“研課”的“溢出”效應(yīng)。這實(shí)際上也是教師從事教學(xué)研究的題中應(yīng)有之義。浙江省杭州市富陽區(qū)團(tuán)隊(duì)開展的有關(guān)人教版三上“周長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)”一課的課例研究以及形成書面材料（文章）較好地詮釋了這一主張，本期特選擇其中兩文并行刊發(fā)，希望能給一線教師有所啟發(fā)。