數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直覺與誤解

□鄭 倩 郜舒竹

每個人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都會出現(xiàn)錯誤，錯誤在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有必然性和普遍性。如果把學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯誤看作是一種現(xiàn)象，那么探尋錯誤產(chǎn)生的原因及其規(guī)律，并將其應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，就成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要課題。研究的基本邏輯是“錯誤源于誤解，誤解源于直覺”。

以色列學(xué)者菲茨拜因（Efraim Fischbein）在其研究中指出：直覺是基于判斷信息種類或關(guān)系的思維模式和行為模式。在此思維模式的作用下會形成有規(guī)律的行動。菲茨拜因?qū)⑷说睦斫夂驼J(rèn)知過程分為兩類，一類是直覺的，一類是邏輯的。學(xué)生受初學(xué)知識的影響，常因為直覺認(rèn)知導(dǎo)致最后結(jié)果的錯誤。[1]

2006年，潘德麗莎、安尼塔和德梅特拉（Pan?delitsa Papageorgiou,Annita Monoyiou,Demetra Pit?ta-Pantazi）針對“三角形越大，內(nèi)角和越大”這一判斷做出了量化研究。他們選取77名六年級學(xué)生進行測試。這一測試設(shè)計了三個任務(wù)。

任務(wù)一出示了三角形ABC和三角形DEF，其中AB＜DE，BC＜EF，AC＜DF（如圖1所示）。判斷三角形ABC的內(nèi)角和小于三角形DEF的內(nèi)角和是否正確，并解釋判斷原因。

圖1 任務(wù)一三角形示意圖

任務(wù)二出示了在三角形ABC中，所有的角都小于90°。在三角形DEF中，∠E大于90°（如圖2所示）。學(xué)生判斷三角形ABC的內(nèi)角和與三角形DEF的內(nèi)角和的大小關(guān)系，并進行解釋。

圖2 任務(wù)二三角形示意圖

任務(wù)三出示了四邊形ABCD和四邊形EFGH。AB＜EF，BC＜FG，AD＜EH，DC＜HG（如圖3所示）。學(xué)生判斷四邊形ABCD的內(nèi)角和小于四邊形EFGH的內(nèi)角和是否正確，并解釋原因。

圖3 任務(wù)三四邊形示意圖

任務(wù)一的測試結(jié)果顯示，多數(shù)學(xué)生（56.2%）錯誤地認(rèn)為“三角形越大，內(nèi)角和越大”。幾乎所有出現(xiàn)錯誤的學(xué)生都依據(jù)“因為三角形大，所以內(nèi)角和大”進行解釋。

任務(wù)二的測試結(jié)果顯示，70.1%的學(xué)生沒有回答正確。他們認(rèn)為“銳角三角形的內(nèi)角和小于鈍角三角形的內(nèi)角之和”。一部分學(xué)生（48.1%）認(rèn)為“角度越大（＞90°）內(nèi)角和越大”。

對于任務(wù)三，近三分之二的學(xué)生（62.3%）錯誤地認(rèn)為“四邊形ABCD的內(nèi)角和小于四邊形EFGH的內(nèi)角和”。37.7%的學(xué)生認(rèn)為“圖形越大，內(nèi)角和就越大”“圖形的每條邊變長了，內(nèi)角和就變大了”。

通過這一研究可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生面對兩個不同的三角形或四邊形時，會先關(guān)注這兩個圖形之間大小這樣的顯著特征。圖形大小的變化影響了學(xué)生對內(nèi)角和的判斷。類似于這種“圖形越大，內(nèi)角和越大”的直覺現(xiàn)象極其普遍，因此常被稱為“越—越（More-More）”直覺規(guī)律。

1984年，?？怂孤汪敹嗫耍‵oxman,Rud?dock）對五年級學(xué)生進行角大小比較的測試，任務(wù)中分別呈現(xiàn)了兩個邊長不同的角，要求學(xué)生判斷角的大小。在已知角的大小與畫出的邊長無關(guān)的情況下，仍有33%的學(xué)生出現(xiàn)錯誤，認(rèn)為“邊長越長，角越大”。

1997年，阿扎哈里（Azhari）針對1、3、5、7、9年級的學(xué)生進行面積與周長的測試。通過觀察圖片，比較左邊長方形與右邊多邊形的周長（P1,P2），如圖4所示。學(xué)生認(rèn)為P1＞P2的比例分別為75%、73%、75%、70%、70%。在圖中，學(xué)生可以準(zhǔn)確地判斷出由于從長方形中分割出了一個小矩形，所以左邊長方形的面積大于右邊多邊形的面積。因為面積變小了，因此周長變小了。

圖4 周長比較任務(wù)圖

這種極具普遍性的直覺規(guī)律具有自信（confi?dence）、頑固（perseverance）、整體（globality）、強制（coerciveness）和可預(yù)見（predictive power）的特征。這些特征深深地影響了學(xué)生的判斷，造成了學(xué)習(xí)中的誤解。盡管結(jié)果與常規(guī)學(xué)習(xí)的結(jié)果相反，學(xué)生仍會非常自信地使用直覺規(guī)律，并堅定自己被直覺規(guī)律支配的錯誤判斷。這也是誤解根植于學(xué)生心目中的重要原因之一。直覺規(guī)律的頑固性也直接影響著學(xué)生錯誤的出現(xiàn)。學(xué)生會根據(jù)已有的生活、學(xué)習(xí)經(jīng)驗不斷認(rèn)可心中的直覺規(guī)律，在面對新的學(xué)習(xí)任務(wù)時，習(xí)慣性地使用它。直覺與邏輯相反，是對整體的認(rèn)知，是循序的、分析的。[2]直覺規(guī)律的整體性體現(xiàn)在學(xué)生對任務(wù)的認(rèn)知方式上。學(xué)生關(guān)注任務(wù)本身的整體特征，通過感知與分析得出最后的結(jié)論。直覺規(guī)律對個體的推理策略以及對假設(shè)和解決方式的選擇施加強制作用。[3]這意味著學(xué)生傾向于拒絕接受那些會違背其直覺的解釋。例如，學(xué)生甚至成年人都相信“越乘越大”和“越除越小”，他們從小就習(xí)慣了這種信念。后來，即使在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的概念之后，仍然持有相同的信念。顯然，這不再是正確的。除此之外，直覺規(guī)律還具有很強的預(yù)測能力。教師在了解直覺規(guī)律的作用機制后，能夠從思維層面了解學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的誤解，預(yù)見學(xué)生的反應(yīng)。

因此，教師可以從誤解的角度改善教學(xué)活動。在注重呈現(xiàn)三角形內(nèi)角和等于180°的同時，意識到學(xué)生心中存在“三角形越大，內(nèi)角和越大”的誤解。教師可以通過布置任務(wù)的方式，讓學(xué)生思考產(chǎn)生這樣誤解的原因。以小組合作的方式組織教學(xué)，首先出示上文中的三個任務(wù)，讓學(xué)生快速地通過直覺進行判斷，呈現(xiàn)出錯誤。接著，鼓勵學(xué)生主動思考并討論出現(xiàn)這樣錯誤的原因。通過小組探究，總結(jié)出直覺規(guī)律，在今后的學(xué)習(xí)中盡量避免此類錯誤的產(chǎn)生。同時，教師鼓勵學(xué)生不僅依賴于任務(wù)的外部特征，更要觀察變中的不變，進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，批判性地看待自己的答案，發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知評價能力。同時，針對“越—越”規(guī)律分析其適用性，揭示利用直覺規(guī)律解決問題的局限性。

利用直覺規(guī)律能夠了解學(xué)生的思維規(guī)律，找出學(xué)生存在的誤解，預(yù)見學(xué)生的錯誤。從直覺的角度出發(fā)，可以幫助教師理解錯誤的合理性，準(zhǔn)確地診斷學(xué)生的困難所在，更有針對性地進行教學(xué)。