一個不等式問題的思路分析與推廣*

四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641112)

紀(jì)定春 趙思林 楊 振

1.問題

2.思路分析

此處看到有根號，將根號“去掉”更加方便，可以考慮換元法．因為有開三次方和開平方兩個根式，需要同時消除兩個根號，則令a=x6，b=y6，c=z6，其中x，y，z>0．

那么，只需證：z6+2x3y3-3x2y2z2≥0(1)成立即可．

思路1分解因式法(直接法)

解析：(1)式的左邊=z6+2x3y3-3x2y2z2=z2(z4-x2y2)+2x2y2(xy-z2)．

研究組術(shù)后出現(xiàn)腦積水1例，并發(fā)癥發(fā)生率為3.33%（1/30）；參照組術(shù)后出現(xiàn)腦積水3例，顱內(nèi)感染2例，切口疝2例，癲癇1例，并發(fā)癥發(fā)生率為26.67%（8/30）。兩組患者術(shù)后并發(fā)癥發(fā)生率比較差異有統(tǒng)計學(xué)意義（P=0.026）。

令xy=m，z2=n，其中m，n>0，那么(1)的左邊可化為n(n2-m2)+2m2(m-n)，將其進(jìn)一步分解得(n-m)2(n+2m)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)m=n，即ab=c2時取等，(1)顯然成立．

評注：分解因式法是解決不等關(guān)系常見的一種操作手法．將一個多項式化為若干個次數(shù)較低多項式的乘積的形式，此處主要是巧用代換的方式減少了一個“元”，再與分解因式相結(jié)合，很易證明原命題成立，此方法難點在于對項數(shù)進(jìn)行合理處理，此處可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

思路2 “減元”法

法1:齊次式“降次”法

評注:齊次式“降次”法是高次多項式能夠分解因式的一個特征，還有常見的“埃森斯坦判別法”等．當(dāng)需要分解一個齊次式時，一般需要除以單變量次數(shù)最高項，再通過代換便可以起到降次的作用．在該題目中，顯然除以z6，那么可以將其化為二元不等式，達(dá)到降次和簡化的目的．

法2以“退”的思路探尋

法3齊次式“減元”法

評注:“減元”法又稱為消元法，是解決多元最值或解方程組的核心工具．一切的問題可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，一切的數(shù)學(xué)問題可以歸結(jié)為解方程問題，而解方程的核心思想是減元(消元)．該問題通過減元降低難度，可以很容易進(jìn)行分解因式，從而問題得到解決．

思路3導(dǎo)數(shù)法(通性通法)

解析:先確定主元為“z”，把它視為關(guān)于“z”的高次函數(shù)來處理，那么問題轉(zhuǎn)化為只需要證明函數(shù)f(z)=z6-3x2y2·z2+2x3y3在區(qū)間z∈(0,+)上的最小值大于0即可．對f(z)進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)，可得f′(z)=6z5-6x2y2z．現(xiàn)在令f′(z)=0，又因為x，y，z>0，那么可得易知在區(qū)間上，函數(shù)f(z)單調(diào)遞減；在區(qū)間)上，函數(shù)f(z)單調(diào)遞增，故f(z)的最小值當(dāng)且僅當(dāng)z2=xy時取等號．同樣的思想，可以將原式看成是關(guān)于x或y的函數(shù)來進(jìn)行處理，亦可達(dá)到相同的效果，此處便不再寫出．

評注:導(dǎo)數(shù)法是高中解決函數(shù)最值或極值問題有效的工具之一．導(dǎo)數(shù)法對思維量的要求較低，但是對于邏輯運算的要求相對較高．解決該題目的關(guān)鍵一步是要想到構(gòu)造函數(shù)“f(z)”，并且通過函數(shù)“f(z)”的性質(zhì)，進(jìn)一步來研究和判斷此不等式所具有的性質(zhì)．

思路4利用重要不等式法

評注:重要不等式是解決不等式的恒成立的強大工具，特別是多元函數(shù)的最值問題．我們通過化簡得到m6+2n3-3m2n2≥0，觀察這個不等式的三項系數(shù)，容易發(fā)現(xiàn)，系數(shù)有規(guī)律可循，將-3m2n2移到不等式右邊變?yōu)?m2n2，而前面顯然可以拆成三項之和，故可以想到三元算術(shù)——幾何均值不等式，從而問題得解．

對于問題1的一題多解．對于追求結(jié)果來說，一個解法足夠，但是一題多解具有多角度審視問題，深層次理解問題的本質(zhì)，用一個問題溝通了不同的知識體系，有助于形成優(yōu)化的知識認(rèn)知結(jié)構(gòu)．本題目具有良好的教育價值，不能僅僅停留在對該問題的解決上，更應(yīng)該進(jìn)一步的挖掘隱藏在更深層次的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和本質(zhì)，那么我們考慮對問題1進(jìn)行推廣．

3.問題的推廣

“一個好的數(shù)學(xué)老師，往往是一個善于把問題推廣的老師”．對于一個問題，用多種方法來解決往往還是不夠的，我們接觸更多的是它的“變異”形式，即同一個人穿上不同的“馬甲”．那么對問題進(jìn)行推廣就有助于我們識別“馬甲”背后的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和本質(zhì)．

證明推廣之前，我們先來看一個引理[1]：

由伯努利不等式可知：當(dāng)x>-1，n為正數(shù)時：(1+x)n≥1+nx恒成立，將其改為參數(shù)形式有an≥nλn-1a-(n-1)λn(**)，其中a，λ>0，n∈N+，n>1．