數(shù)形結(jié)合在高考解題中的應(yīng)用

安徽淮北師范大學數(shù)學科學學院 (235000)

方 成 張 昆

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學，簡單的來說，就是研究“數(shù)”和“形”兩大部分．數(shù)量關(guān)系中蘊藏著幾何模型，幾何中又涉及到數(shù)量關(guān)系．[1]其中，圖形具備形象直觀的優(yōu)點，通常用于定性分析；而數(shù)量關(guān)系則需要依據(jù)數(shù)據(jù)進行分析．因此，在數(shù)學解題活動時，若能找到途徑，將“數(shù)”和“形”兩者形成有機結(jié)合，必能取長補短，會對探究問題的思路起到顯著效果．對此，著名的數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能兩邊飛？數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔家分家萬事休，切莫忘：幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離．”[2]數(shù)形結(jié)合的思想已滲透到中學數(shù)學學習中，因此，在高考解題活動中，考生對某些特定問題的具體特點，選擇以形助數(shù)或以數(shù)解形的途徑是一條發(fā)現(xiàn)解決問題思路的比較好的手段．

一、求方程根的個數(shù)方面的應(yīng)用

求解一般形式的方程的根的解法多樣，例如配方法，求根公式等等．對于一些特殊形式的方程，考生們通常手足無措．這時候，可以轉(zhuǎn)換另一種解題思路，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題．而函數(shù)的零點是函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標，這涉及到圖形方面的知識，而方程的根屬于代數(shù)方面的內(nèi)容．由此將代數(shù)與幾何聯(lián)系在一起．數(shù)形結(jié)合思想是將其聯(lián)系在一起的一條支鏈．當選擇一般途徑解決不了代數(shù)問題時，可以借助“數(shù)形結(jié)合”轉(zhuǎn)化思想，從“圖形”方面考慮問題，進而尋求解決問題的途徑．

圖1

解法2：由|f(x)+g(x)|=1，可得g(x)=-f(x)±1，分別作出函數(shù)的圖像，分情況討論：g(x)與h(x)=-f(x)+1的圖像如圖1所示，圖像有兩個交點；g(x)與φ(x)=-f(x)-1的圖像如圖2所示，圖像有兩個交點.所以滿足方程

|f(x)+g(x)|=1的實根的個數(shù)為4．故答案為4．

圖2

點評：比較這兩種解法，可以看出運用方法二，從圖像上直觀看出有四個交點，方法簡便．將方程的根與函數(shù)圖形的交點聯(lián)系一起，直觀看出根的個數(shù)．而方法一分類過程較為復雜，且容易出錯，學生在解題中遇到求函數(shù)單調(diào)性來判斷函數(shù)是否與x軸存在交點問題，這一類問題容易造成學生思維障礙，求解過程受阻，不易解決．因此，繞過原來的思維障礙，直接從圖形角度出發(fā)來解題．

二、求參數(shù)取值范圍中的應(yīng)用

參數(shù)，一般稱為參變量或參變數(shù)，指相對于未知數(shù)來說可以在一定范圍內(nèi)取值的常數(shù)值或聯(lián)系不同未知數(shù)之間的相關(guān)的未知數(shù)．求參數(shù)取值范圍是高中數(shù)學中常見的一類問題，也是高考考查的重點之一．波利亞的思維方法表明：時刻不忘未知量．[3]所以在求參數(shù)取值范圍的求解問題時，涉及的未知量很多，解題方式靈活多變．因此試著利用數(shù)形結(jié)合思想巧解這一類型的題目．

例2 (2014山東理8)已知函數(shù)f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx．若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是( )．

解析：由題意知，首先畫出函數(shù)f(x)=|x-2|

圖3

點評：求參數(shù)的取值范圍的一般解法是分離參數(shù)，再求參數(shù)的取值范圍．在此期間，不免加入了較為復雜的運算，所以求參數(shù)的取值范圍的另一有效手段是借助圖形，通過函數(shù)圖像萌生出新的解法，而這種巧妙的解法比一般方法更加簡潔．所以它在一定程度上有助于激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，并且起到事半功倍的效果．

三、求線性規(guī)劃中的最值問題

線性規(guī)劃問題是高考常見的考點之一．其中一類問題是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最值問題，并把滿足這個條件的解的集合稱為可行域．線性規(guī)劃中求最值問題借助圖形能夠直觀的反映出來，“以形助數(shù)”，幫助考生解題．

圖4

分析：不等式組

點評：本題的關(guān)鍵在于根據(jù)約束條件，準確做出可行域，利用數(shù)形結(jié)合找出最優(yōu)解．

四、三角函數(shù)中的應(yīng)用

研究三角函數(shù)的某些性質(zhì)，往往借助圖像法才能更好的解決對應(yīng)的三角函數(shù)問題，借助圖形轉(zhuǎn)變能夠直觀的反映三角函數(shù)圖形的性質(zhì)，例如對稱軸，平移后的函數(shù)圖像，平移后的函數(shù)解析式等．

點評：數(shù)與形是數(shù)學的兩大支柱，數(shù)形結(jié)合思想關(guān)鍵在于如何將數(shù)與形結(jié)合起來，通過圖形研究三角函數(shù)的性質(zhì)，直觀分析，從而為發(fā)現(xiàn)解題思路創(chuàng)造條件．

五、幾何概型中的應(yīng)用

幾何概型是指每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，它屬于概率論與統(tǒng)計學范疇．但其中也蘊含著數(shù)形結(jié)合的思想，下面以16年新課標高考數(shù)學的一道客觀題為例．

圖5

例5 (2016新課標理數(shù)2卷)從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn構(gòu)成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為( ).

點評：幾何概型求概率是與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，而面積和體積往往要借助圖形，通過對圖形進行觀察，再利用代數(shù)方法求出概率．故數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用其中．

六、解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何，將數(shù)與形緊密的結(jié)合在一起，笛卡爾曾經(jīng)寫道：古代人的幾何和現(xiàn)代人的代數(shù)，都是研究非常抽象、毫無用處的題材，前者局限于考察圖形，后者一味用規(guī)則和數(shù)字來約束，因此要找出另一種方法，包含它們的長處，沒有短處．[4]故解析幾何就很好的通過數(shù)量分析研究幾何圖形及其變化,是數(shù)與形的緊密結(jié)合．

圖6

點評：該題巧妙的利用了數(shù)形結(jié)合的思想，以數(shù)解形，借助幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系，與幾何定理相結(jié)合．找尋雙曲線中各個系數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合勾股定理，三角函數(shù)等求出雙曲線的離心率．以形助數(shù)，以數(shù)解形，巧妙解題．

七、結(jié)語

問題解決，其實就是找到問題題設(shè)條件與所求結(jié)論之間的聯(lián)結(jié)，而題設(shè)條件與所求結(jié)論之間存在著某種千絲萬縷的聯(lián)系．如何解題，就是要找出其中蘊含的某種關(guān)系．[3]數(shù)學的解題過程就像是抽絲剝繭一樣，層層分析，步步為營，在變中找尋不變．而一旦解題過程中受阻，就要嘗試轉(zhuǎn)化思路，從另一個角度去分析問題，從而到達終點．在索解思路時，如果一味使用代數(shù)法或者幾何法，很可能找不到解決問題的思路，或者陷入繁雜的計算中去．數(shù)形結(jié)合是比較好探索思路的方法．比如在求方程的根，函數(shù)的零點，不等式等等，如果用一般的方法不能解決時，就要轉(zhuǎn)化思路，將它與圖形聯(lián)系起來，以形助數(shù)．同樣的，如果解決某一圖形時，試著找出圖形之間的數(shù)量關(guān)系，用代數(shù)方法解決幾何問題，又或是數(shù)形兼顧．因此數(shù)形結(jié)合在高考數(shù)學解題中具有獨特的策略指導和調(diào)節(jié)作用．