對于數(shù)列中分式型遞推關系的探究

江蘇省常熟中學 (215500)

王 波

筆者在江蘇省常熟中學工作，江蘇省常熟中學起源是國立二中，是一所歷史悠久，充滿文化底蘊的學校，特別最近于2018年3月28日舉辦的80周年校慶，徐義剛和黃崇褀院士等校友以及各級領導的到來，充分肯定了江蘇省常熟中學取得的成績，為國家培養(yǎng)了大批的國家棟梁，長期以來保持在江蘇省內(nèi)高考成績及競賽第一梯隊，學校有普通班，強化班，創(chuàng)新實驗班三個類型，筆者一直以來帶普通班和強化班，并負責強化班的競賽工作，在平時的教學任務中，積累了一些教學的經(jīng)驗，先就數(shù)列分式型遞推關系做一些探討.

分式型遞推關系在高三模擬卷和高考中常有涉及到，有時還包含著周期性一起考察，這類數(shù)列不僅考察等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本知識和基本技能，還考察了特征方程和數(shù)列的周期性，對邏輯推理能力和分析解決問題的能力要求比較高.本文中，筆者通過平時的教學，把分式型數(shù)列的求解方法總結(jié)整理、歸納，并把一些思想和大家一起分享.

一、分子是常數(shù)，分母有an的遞推關系，如型

二、分子是常數(shù)，分母有an與常數(shù)的遞推關系，如型

這種類型我們可以規(guī)定a1=1，這個類型我們不容易推導出它的通項公式，但是我們可以利用歸納猜想去做，其實所有的遞推關系都可以用這種方法，后面的所有問題不再詳細演示，很容易可以猜出通項an=1，第一步，當n=1時，a1=1，第二步，假設當n=k時ak=1，則n=k+1時，可以得到ak+1=1，得證.

三、分子和分母都有an的遞推關系，如型.

四、分子和分母都有an的遞推關系，如型.

通過上面的各種類型的遞推關系的求解，我們不難發(fā)現(xiàn)，對于分式型遞推關系，一般的通法是對分式加減一個常數(shù)后，兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造一個等比數(shù)列去求解數(shù)列{an}的通項公式，下面我們對一般的分式型遞推關系研究通項公式的一般證明步驟.

五、分子和分母都有an的遞推關系，如型.

六、分式型遞推數(shù)列求解的一般步驟及教學反思

實際上我們還可以用另外的三項遞推的方法研究這類遞推關系，在競賽班或者創(chuàng)新實驗班上常常要講這種方法，我們直接給出結(jié)論，不作證明，結(jié)論：如果x1,x2是遞推關系an=pan-1+qan-2(a0,a1給定)的特征方程x2=px+q的兩個根，則(1)當x1≠x2時，an=λ1x1+λ2x2；(2)x1=x2時，an=(λ3+λ4n)x1，這里λ1,λ2,λ3,λ4由題目給定的數(shù)據(jù)待定

我們研究了一次分式型遞推關系的一些方法，對于二次分式型遞推關系，或者高次分式型遞推關系，以及非線性分式型遞推關系，需要讀者與專家一起努力，研究一些通法來求通項公式.