數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的厚度、寬度和長度
——《正弦、余弦定理習(xí)題課》的教學(xué)設(shè)計(jì)與感悟

江蘇省無錫市立人高級(jí)中學(xué) (214161)

鄭寶生 趙 勤

作為數(shù)學(xué)課的一種重要形式——習(xí)題課，有些教師把它上成解題訓(xùn)練課，大搞題海戰(zhàn)術(shù)以多取勝；也有些教師搞題型分類課，讓學(xué)生見到什么題型就用什么解法，固化學(xué)生的思維．我們有必要重溫一下普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》：“數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)．”反思我們的習(xí)題課教學(xué)，如何在解題中講道理、夯實(shí)基礎(chǔ)？如何設(shè)計(jì)適合學(xué)生的探究活動(dòng)、拓展知識(shí)、開闊思維？如何讓學(xué)生在歸納總結(jié)中提煉思想，體驗(yàn)成功樂趣，發(fā)展理性思維？本文以《正弦、余弦定理習(xí)題課》為例，談?wù)剬?duì)這一問題的認(rèn)識(shí)．

一、習(xí)題課例

(一)目標(biāo)解析

通過學(xué)生練習(xí)回憶正弦定理和余弦定理，體會(huì)什么條件下用正弦定理，什么條件下用余弦定理，什么條件下解三角形會(huì)產(chǎn)生兩解；通過求三角形的邊或角拓展問題，找出解三角形的一般方法；通過解題改編問題，找出處理三角形中角的關(guān)系式、邊的關(guān)系式、三角函數(shù)關(guān)系式的一般規(guī)律．在操作中反思，學(xué)習(xí)質(zhì)疑問題，培育理性精神；在求解中探索，激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)，拓展思維寬度；在解題后改編問題，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提煉思想方法．

(二)學(xué)情分析

學(xué)生對(duì)于正弦、余弦定理的簡單應(yīng)用是能夠解決的．然而，他們對(duì)于“在什么條件下用正弦定理、什么條件下用余弦定理”存在疑慮，很少思考“為什么用正弦定理而不用余弦定理？”的問題，缺乏反思問題和質(zhì)疑問題的意識(shí)，更想不到去拓展問題和改編問題．本節(jié)課的重點(diǎn)是：尋找求解三角形邊和角的一般規(guī)律和方法；難點(diǎn)是：如何處理三角形中角的關(guān)系式、邊的關(guān)系式以及三角函數(shù)關(guān)系式．

(三)教學(xué)過程

1．練習(xí)回顧

設(shè)置意圖：給學(xué)生提供最簡單、最直觀的例子，讓學(xué)生在操作中感悟問題及問題的解法．

2．提出問題

問題1 解完上述題目，你有什么感受？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：(1)解上述題目，需要用到哪些知識(shí)？

(2)在什么條件下用正弦定理，什么條件下用余弦定理？說明理由．

(3)題1能否用余弦定理來解？題2能否用正弦定理來解？題3呢？哪種方法更簡單？說明理由．

(4)為什么題1和題2只有一個(gè)解而題3會(huì)產(chǎn)生兩解？

設(shè)置意圖：通過學(xué)生的解題，讓學(xué)生談感受．他們可以回顧所學(xué)知識(shí)，也可以對(duì)我們一般的解題方式提出質(zhì)疑，也可以對(duì)上述三個(gè)問題進(jìn)行比較等等．留出更多的時(shí)間，讓學(xué)生說出自己的困惑，解答內(nèi)心的疑慮．

例1 判定下列三角形各有幾解？

(1)b=13，a=26，B=30°；

(2)c=16，b=26，C=30°；

(3)a=30，b=26，A=30°．

【回顧】判定三角形有幾個(gè)解，關(guān)鍵是什么？

設(shè)置意圖：由于本節(jié)課是習(xí)題課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了已知兩邊一對(duì)角判定其解的個(gè)數(shù)，這里一方面讓學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固，另一方面把原來用式子表達(dá)：當(dāng)bsinA

問題2 對(duì)于題2你認(rèn)為還可以求什么？

活動(dòng)預(yù)設(shè)：(1)求cosB、tanC；(2)求面積SΔABC；(3)求BC邊上的高和中線以及∠B的平分線．

設(shè)置意圖：把一個(gè)簡單問題利用學(xué)生的聰明才智可以擴(kuò)展出許多問題，給學(xué)生提供一個(gè)聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)，演繹問題的變化過程，激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)．

圖1

例2 如圖1，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BAD=60°，∠BCD=135°，求BC的長及sin∠ABC．

【回顧】在上述問題中，求三角形的邊和角有怎樣的規(guī)律？

設(shè)置意圖：結(jié)合問題2中求BC邊上的高和中線以及∠B的平分線，歸納并概括求解三角形邊和角的一般思維方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．

問題3 你能把題1做一些改變嗎？變得更簡單些或變得更難些．

(2)△ABC中，A=4C,b=c，則∠C= ；

設(shè)置意圖：依托題1進(jìn)行的問題改編，有一定的開放空間．從邊的數(shù)值和角的數(shù)值，上升到角與角的關(guān)系和邊與邊的關(guān)系，還可以利用三角函數(shù)的關(guān)系以及三角形面積、外接圓等，有些問題容易解，有些問題解起來有困難，可以留在課后．這里只是給學(xué)生搭建一個(gè)發(fā)揮想象、展示個(gè)性的創(chuàng)新平臺(tái)，讓學(xué)生的主體作用得到充分地發(fā)揮．

【回顧】①解上述問題有何規(guī)律？

設(shè)置意圖：在開放的空間中聚焦到某一個(gè)問題上．總結(jié)處理角的關(guān)系和邊的關(guān)系以及三角函數(shù)關(guān)系式的一般方法，提煉體現(xiàn)這些方法的數(shù)學(xué)思想．

3．課堂小結(jié)

(1)從知識(shí)角度看：正弦定理、余弦定理；

(2)從思想方法角度講：通過正、余弦定理來處理三角形中的角的關(guān)系式、邊的關(guān)系式、三角函數(shù)的關(guān)系式，充分體現(xiàn)化歸的思想方法；

(3)在研究問題上，解題后學(xué)會(huì)反思問題，學(xué)會(huì)拓展問題，學(xué)會(huì)變更問題，從而提高課堂的效率和解題的價(jià)值．

二、教學(xué)感悟

習(xí)題課是數(shù)學(xué)教學(xué)的一類重要課型，怎樣才能上好數(shù)學(xué)習(xí)題課？從解題的角度講，我們希望用幾個(gè)簡單而典型的題目來解決較多的問題，更愿意看到學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)由被動(dòng)參與到主動(dòng)探索的過程，培養(yǎng)學(xué)生思維能力．如何達(dá)成這些目標(biāo)？以下從“三度”的角度來表述．

1.反思問題，增加知識(shí)的厚度

學(xué)生僅會(huì)解題，而題目是解不完的．因此我們?cè)黾恿藛栴}反思這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)，可以尋求一類問題的規(guī)律，更重要的是讓學(xué)生從直觀、感性逐步走向理性．首先，對(duì)知識(shí)和方法的反思．學(xué)生知道已知兩角一邊用正弦定理，已知三邊用余弦定理，然而他們心中還是存有疑慮，為什么要這樣呢？我們通過列方程或方程組回答了這個(gè)問題，在解除學(xué)生疑慮的同時(shí)體現(xiàn)了列方程的思想方法．其次，在解三角形中對(duì)解的個(gè)數(shù)的質(zhì)疑．通過定量分析，由正弦定理、余弦定理的計(jì)算可知；再通過定性分析，由初中的三角形全等判定定理知，邊邊角無法判定兩個(gè)三角形全等，說明已知兩邊一對(duì)角無法確定這個(gè)三角形，既增加了知識(shí)的可信度又增加了知識(shí)的厚度．最后，既然已知兩邊一對(duì)角無法確定這個(gè)三角形，那么它的解的情況會(huì)怎樣？這是必然要回答的問題．所以在學(xué)生原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)已知兩邊一對(duì)角有兩解的條件進(jìn)行了語言概括，讓所學(xué)知識(shí)有一個(gè)螺旋上升的過程．這樣的經(jīng)驗(yàn)積累，既有學(xué)習(xí)方法上的積累又有知識(shí)的理解，更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．

2.拓展問題，擴(kuò)大思維的寬度

解題不是目的，是認(rèn)識(shí)問題、擴(kuò)展問題的開始．通過解答簡單的題2，開始尋找可以求解的其它問題，將問題逐步向前推進(jìn)，這樣的探求過程演繹了問題的來龍去脈，以及各種不同的發(fā)展走向，問題由簡單逐漸變?yōu)閺?fù)雜，知識(shí)的運(yùn)用也越來越靈活，開闊了學(xué)生的視野，打開了學(xué)生的思路．其次，如果說讓學(xué)生反思可以缺少一點(diǎn)主動(dòng)的話，那么拓展問題需要學(xué)生積極思考和主動(dòng)參與，在相互交流和碰撞中，激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí)，展示學(xué)生的聰明才智，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)更多的問題，解決更多的問題，這樣的一題多問是用學(xué)生的發(fā)現(xiàn)替代教師的提問，最大限度地?cái)U(kuò)展學(xué)生的思維，讓學(xué)生從被動(dòng)的解題者變?yōu)橹鲃?dòng)的出題人．最后，我們不能為了變化而變化，而要回歸到某一個(gè)問題上來，在解決例2的過程中概括一般規(guī)律，總結(jié)思想方法，讓學(xué)生真正體會(huì)到：“萬變不離其宗”的道理．

3.改編問題，延伸課堂教學(xué)的長度

數(shù)學(xué)習(xí)題課關(guān)鍵在于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生由被動(dòng)跟隨轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)參與，再由主動(dòng)參與變化為自主探索，這種探索不僅限于課內(nèi)，還能延伸到課外，沒有學(xué)生的興趣和熱愛是做不到的．只有這樣才能增加知識(shí)的厚度，拓展思維的寬度并延伸課堂教學(xué)的長度．