HPM視覺下的幾道2018年高考數(shù)學(xué)試題賞析

浙江省金華市第六中學(xué) (321000)

張劍平

近幾年來HPM(History and Pedagogy of Mathematics)逐漸為中小學(xué)數(shù)學(xué)教師所熟知，2016年教育部考試中心公布了《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，其中特別提出要關(guān)注數(shù)學(xué)文化.縱觀近幾年的高考試題，不難發(fā)現(xiàn)全國各地的高考試卷陸續(xù)出現(xiàn)了以數(shù)學(xué)文化為背景的試題.數(shù)學(xué)文化如何在高考命題中體現(xiàn)？筆者對近三年高考試題進(jìn)行統(tǒng)計，高考命題以數(shù)學(xué)文化為背景的試題主要分布在以下兩個方向：一是中國古代數(shù)學(xué)名著，考查頻率最高的是《九章算術(shù)》，其次是《數(shù)書九章》《算法統(tǒng)宗》《張邱建算經(jīng)》等.二是以中外數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的相關(guān)定理、猜想為背景.本文筆者擬基于HPM視覺，分別從命題意圖和命題背景來賞析2018年幾道高考試題.

命題意圖：作為填空題的第一題，應(yīng)該是一道不難的題，但是也具有一定的考查價值，涉及到一些人文知識、閱讀理解能力、以及心理素質(zhì).如果學(xué)生讀不懂題目的意思，亦或心理素質(zhì)較差害怕這類有文言文的題型，那么學(xué)生也不一定能做到.同時這道題目也在向考生傳遞一個信息，我國古代數(shù)學(xué)有著輝煌的歷史，在公元前5世紀(jì)就會運(yùn)用方程解決實際問題.

命題背景：《張邱建算經(jīng)》，中國古代數(shù)學(xué)著作.現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算，各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等.百雞問題是《張丘建算經(jīng)》中的一個著名數(shù)學(xué)問題，它給出了由三個未知量的兩個方程組成的不定方程組的解.百雞問題是：今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一.凡百錢買雞百只，問雞翁母雛各幾何.自張邱建以後，中國數(shù)學(xué)家對百雞問題的研究不斷深入，百雞問題也幾乎成了不定方程的代名詞，從宋代到清代圍繞百雞問題的數(shù)學(xué)研究取得了很好的成就.

圖1

例2 (2018上海15)

《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖.若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是( ).

A.4B.8C.12D.16

命題意圖：這道題以我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典名著——《九章算術(shù)》為切入點，題目中以書中的“陽馬”概念為載體，考查了立體幾何中的棱柱與棱錐，設(shè)計思路新穎.試題將數(shù)學(xué)文化有機(jī)地融入試題，改變以往立體幾何命題背景單一的局面.

命題背景：《九章算術(shù)》始于公元前2世紀(jì)到公元3世紀(jì)，構(gòu)筑了我國數(shù)學(xué)的基本框架，奠定了我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展道路，在整個中國以及世界產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.《九章算術(shù)》蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生體會、欣賞數(shù)學(xué)的價值、感悟、理解數(shù)學(xué)思想，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造能力.《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩壍堵.斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.第五章“商功”，主要講各種形體的體積計算公式.涉及的幾何體有長方體、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、楔形體等.問題的大都來源于營造城垣、開鑿溝渠，修造倉窖等實際工程.

命題意圖：音樂和數(shù)學(xué)密切相關(guān)，探討音樂和數(shù)學(xué)的關(guān)系自古有之.題目也體現(xiàn)了多學(xué)科交叉滲透的命題趨勢，懂一些樂理知識的考生理解題目更容易一些，當(dāng)今中學(xué)生應(yīng)該是全方位發(fā)展，讓藝術(shù)教育逐步融入到文化課教育，培養(yǎng)綜合型人才是大勢所趨.

命題背景：十二平均律，亦稱“十二等程律”,世界上通用的把一組音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的振動數(shù)之比完全相等.十二平均律是指將八度的音程(一倍頻程)按頻率等比例地分成十二等份，每一等份稱為一個半音即小二度.一個大二度則是兩等份.將一個八度分成12等份有著驚人的一些湊巧，鋼琴師正是根據(jù)十二平均律來定音的.

例4 (2018全國Ⅰ理10)圖2來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機(jī)取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則( ).

圖2

A．p1=p2

B．p1=p3

C．p2=p3

D．p1=p2+p3

命題意圖：以月牙定理為背景設(shè)計幾何概型以及幾何概率計算問題，情景陌生但是通俗易懂，通過本題的求解，使考生感受優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化的世界性，感悟數(shù)學(xué)之美.

命題背景：在初中教材八年級上冊數(shù)學(xué)第43頁的閱讀材料中提到公元前約400年，古希臘的希波克拉底研究了他自己所畫的圖形，他得出了兩個月牙形(圖中陰影部分)的面積之和的一個結(jié)論：直角三角形兩條直角邊為直徑向外做兩個半圓，以斜邊為直徑向內(nèi)做半圓，則三個半圓所圍成的兩個月牙型面積之和等于該直角三角形的面積，被稱為月牙定理，這是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底發(fā)現(xiàn)的一條平面幾何里應(yīng)用挺廣的優(yōu)美定理.

例5 (2018全國Ⅱ理8)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30=7+23．在不超過30的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是( ).

命題意圖：在高考試題中還是第一次出現(xiàn)我國當(dāng)代數(shù)學(xué)家陳景潤，命題者把我國當(dāng)代數(shù)學(xué)史上的一個輝煌成就完美地融入到一個普通的概率問題中，同時也讓考生對哥德巴赫猜想有了初步認(rèn)識.一方面讓考生感悟數(shù)學(xué)家不畏艱辛、不怕失敗的精神；另一方面，讓學(xué)生意識到猜想、創(chuàng)造對數(shù)學(xué)有多么重要，正是因為數(shù)學(xué)家們有開闊的視野和豐富的想象力，才把數(shù)學(xué)這門高深的學(xué)科不斷推向前進(jìn)，這是一種數(shù)學(xué)文化的教育，也是一種勵志教育.

命題背景：哥德巴赫是德國的一位數(shù)學(xué)家，他在1742年提出了“任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和”的猜想，這個猜想如果被證明了，將會極大地推動數(shù)論研究的發(fā)展.200多年來，一代又一代數(shù)學(xué)家都在夢想證明它，它被列入20世紀(jì)最重要的數(shù)學(xué)問題之一.但是我國數(shù)學(xué)家陳景潤在上個世紀(jì)70年代將它推進(jìn)到“1+2”是一個了不起的進(jìn)步，在國際數(shù)學(xué)界產(chǎn)生巨大的影響，被公認(rèn)為是對哥德巴赫猜想研究的重大貢獻(xiàn).

2018年數(shù)學(xué)高考試題通過多種方式滲透數(shù)學(xué)文化，有的通過中國古代數(shù)學(xué)史展示我國數(shù)學(xué)文化對文明發(fā)展有著深厚和卓越的貢獻(xiàn)，有的通過向考生揭示知識產(chǎn)生的背景和形成的過程來體現(xiàn)數(shù)學(xué)既是美妙的，也是曲折、坎坷的.在高考試題中滲透數(shù)學(xué)文化給我們的教學(xué)啟示是：教師要關(guān)注數(shù)學(xué)文化，研究數(shù)學(xué)文化，更要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)文化，深刻地認(rèn)識到中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長，數(shù)學(xué)史如何與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)融合在一起共同促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展值得我們數(shù)學(xué)教育工作者深思.