構(gòu)建數(shù)學模型提高中學生創(chuàng)新意識

安徽省六安市皋城中學 (237000)

李 剛

創(chuàng)新是引領發(fā)展的第一動力.抓創(chuàng)新就是抓發(fā)展，謀創(chuàng)新就是謀未來.黨的十八大以來，以習近平同志為核心的黨中央把創(chuàng)新擺在國家發(fā)展全局的核心位置，圍繞實施創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，加快推進以科技創(chuàng)新為核心的全面創(chuàng)新.在基礎教育階段，中學數(shù)學應該承擔起培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的責任，為社會所需要的創(chuàng)新型人才提供支持.

《義務教育數(shù)學課程標準》(2011)第二部分課程目標提出：通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能“了解數(shù)學價值，提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學態(tài)度”.

數(shù)學是研究事物之間和事物內(nèi)部空間形式與數(shù)量變化規(guī)律的科學，在中學數(shù)學教學中，數(shù)學模型思想的滲透，數(shù)學方法的掌握，數(shù)學思維的形成，在實際中往往只有通過大量做題來實現(xiàn).要改變這樣的現(xiàn)狀，最有效的途徑就是通過適當?shù)姆椒?，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維.下面就如何在中學數(shù)學的課堂中通過數(shù)學模型的方法提高中學生的創(chuàng)新思維進行一些簡單的探討.

一、從普通問題入手，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

生活中，很多會品茶的人品茶的時候都講究一個氛圍，一杯清茶，圍著不疾不徐的風雅琴韻，這就是氛圍.在中學數(shù)學教學中創(chuàng)設適當?shù)那榫胺諊?，比如，利用現(xiàn)代化的多媒體設備，他能巧妙地融音樂、圖片、動作表情于一體，教師可以充分運用錄像、投影、幻燈片，音響等設置情境氛圍進行教學，能最大程度的激發(fā)學生學習的興趣，使他們樂于投入到數(shù)學學習中來！

比如，抓住中學生對做游戲比較感興趣的貪玩心理，在講解“相反數(shù)”一節(jié)時，如何生動形象的讓學生理解相反數(shù)的概念，可以在課堂上做個小游戲，讓一名同學站在講臺上，面向大家，然后喊口令“向后轉(zhuǎn)”，分別轉(zhuǎn)一次，轉(zhuǎn)兩次，問這位同學每次所面對的方向如何？學生自然很容易就能明白1,-1,-(-1)這一類概念的區(qū)別與聯(lián)系.

再如，在找規(guī)律中，有這樣一組數(shù)：

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

……

從中不難得出前n個奇數(shù)的和為n2這個結(jié)論，對于很多學生來說這是一個懸念，它可以從幾何圖形上面得到進一步的直觀的解釋.

圖1

一個方塊的面積為1，增加3個方塊，則變?yōu)橐粋€2×2的方塊，它的面積為4；再增加5個方塊，則變成一個3×3的方塊，它的面積為9，依此類推.如圖1.

該例說明，我們在訓練學生的解題思路和方法時,要有選擇,有控制地給學生提一些典型的、特殊的思想和方法,循序漸進地開拓學生的解題視野,使他們在思想方法上,在尋求解決問題的途徑中能夠做到前后知識互補、互相促進,克服學習中的畏難情緒,培養(yǎng)自強不息和積極向上的學習精神,讓學生視野遠大,心胸開闊,思維活躍,學習主動,才能逐步達到學習目的.

分析：求解的常規(guī)思路把a用任一數(shù)替換，驗算等式是否成立.

培養(yǎng)中學生數(shù)學創(chuàng)新思維能力的方法很多，但必須做到科學、適度，而且要有難度，必須在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi).采用數(shù)學模型的思想方法，對教師的教學設計水平和學生的學習指導有幫助，對學生的影響很大.影響可以分為兩個方面：一方面，影響學生的學習過程，改變傳統(tǒng)的學習方式，可以引起學生的學習興趣，激發(fā)學生對數(shù)學問題的應用探索和求知欲，在數(shù)學建模中建立創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.另一方面培養(yǎng)和提高學生的合作精神和團隊意識，培養(yǎng)學生自律的良好品質(zhì)，這些對于后續(xù)課程的學習和獨立研究，都有很大的好處，最后提高學生的可持續(xù)發(fā)展，培養(yǎng)學生適應現(xiàn)代社會要求的素養(yǎng).

二、構(gòu)建數(shù)學模型，提高創(chuàng)新意識

《義務教育數(shù)學課程標準》(2011)指出：模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)學關系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應用意識.

數(shù)學模型是人們?yōu)榱说玫揭粋€特殊的研究目標，按照目標的獨特內(nèi)涵，建立一種具有抽象性、簡化性和趣味性的數(shù)學結(jié)構(gòu)，即現(xiàn)實生活中的數(shù)學問題在研究的過程中用數(shù)學的方式構(gòu)造出來.數(shù)學建模是假設簡化現(xiàn)實生活中問題的背景和所依據(jù)的數(shù)學模型的目的，找出未知數(shù)和相關參數(shù)之間的關系，并用字母表示未知數(shù)求解;采用相應的物理或其他規(guī)則，使用數(shù)學問題變量建立數(shù)學公式和參數(shù)列表即確立數(shù)學模型計算的解決方案，解答數(shù)學問題.用這個答案解釋生活中的原數(shù)學問題，最后把上述結(jié)果用實際情況來驗證，并用來處理多周期的實際問題和研究問題的深化過程.

利用數(shù)學建模，一方面可以引導學生積極的去探索數(shù)學問題和激發(fā)他們的求知欲，提高他們學習數(shù)學的興趣；另一方面培養(yǎng)和提高學生的合作精神和團隊意識，培養(yǎng)學生良好的品質(zhì)，如嚴謹和自律等，這為后續(xù)課程的學習和自主學習，都有很大的好處.

數(shù)學模型的建立過程就是數(shù)學模型的本質(zhì)，即數(shù)學知識應用到實際問題轉(zhuǎn)化成概括性的邏輯思維的數(shù)學關系的變化，然后處理所有相應的數(shù)學模型，形成之間的數(shù)學關系.數(shù)學建模過程可以表示在以下五個方面：

分析問題過程：了解問題的實際背景材料的性質(zhì)，分析和找出問題的目的.

問題的假設化簡：把影響研究目標的必要成分找出來，把次要成分忽略掉，這樣雜亂無章的數(shù)學問題就被概括成具體問題.

↓

數(shù)學模型的建立：數(shù)學模型是要建立在原先假設的基礎上，通過運用適當?shù)臄?shù)學工具和數(shù)學知識來刻畫變量之間的數(shù)量關系，因此得到相應的數(shù)量結(jié)構(gòu).

求解數(shù)學模型：根據(jù)數(shù)學模型分析，用數(shù)學方法和計算機程序來求解數(shù)學建模.

模型的驗證分析：檢驗模型是不是與實際相符合，并對它做出詮釋.

(一)函數(shù)模型

在解決實際問題時，存在函數(shù)關系的數(shù)學問題時可以建立函數(shù)模型.

例3 某家服裝店進了一批衣服，一件衣服的進價為48元，為了獲得更多的利潤，售價要高于進價，經(jīng)過觀察可得，當每一件的價格是60元時，每月有180件衣服售出，當每一件衣服價格是75元時，每月有105件衣服售出.如果商店衣服不積壓，忽略其他因素，則在售價為多少時，所獲利潤最大？最大是多少.

分析:題設中并沒有指出售價與銷售量之間的函數(shù)關系，只是告訴大家在兩種不同價格下的銷售量.所以，教師可以通過帶領學生觀察實際生活中的真實銷售問題，分析得到：售價越高，銷售量越低的規(guī)律，構(gòu)建簡單一次函數(shù)的數(shù)學模型，假設售價x與銷售量y之間的函數(shù)關系為y=kx+b的一次函數(shù)形式.

解：由題意得，設這個函數(shù)的解析式是y=kx+b,則有

函數(shù)模型常用來解決利潤，增長率，路程，面積的大小等問題.這些問題可以通過日常的真實體會，得到一般性的規(guī)律，然后根據(jù)這一規(guī)律，構(gòu)建適當?shù)臄?shù)學模型進行求解.當然，上述問題，除了引導學生思考簡單的一次函數(shù)模型之外，還可以啟發(fā)學生，是否還有其他的模型(不是一次函數(shù)模型)可以刻畫“售價越高，銷售量越低”的規(guī)律呢？在相應的模型下，價格和最大利潤分別又是多少呢？相信在學生中會有很多具有新意的討論.除此之外，還可以進一步啟發(fā)學生：實際情況中，積壓是很常見的現(xiàn)象，如果出現(xiàn)了積壓，那么售價又該如何決策，才能達到利潤最大呢？

(二)不等式(組)模型

我們要解決存在不等關系的實際問題就得使用不等式的思想去解決，所以我們要建立不等式(組)模型.

例4 某校組織學生參加郊游，需要在某賓館住宿一晚，假如每個房間住4人，那么就有20人住不下；一樣的房間，假如一間房住8人，那么還有一間不滿也不空.請問：這所學校有多少學生參加春游？

分析：啟發(fā)學生，真實的情況中，房間的個數(shù)必須是整數(shù).

解：設他們需要x間房，由題意得

解得5

不等式(組)模型可以用于產(chǎn)量的估算，決定是否投資，虧盈的分析，價格的核對等，在實際經(jīng)濟生活中廣泛應用.

(三)方程(組)模型

在我們解決實際問題中，遇到用方程性質(zhì)解決的問題時，可根據(jù)實際問題的已知條件，設出合適的未知數(shù)，找出相等的關系，最后檢驗算出的結(jié)果是否符合題意.

例5 2019年的新年快到了，某玩具廠要生產(chǎn)一批有豬形狀的新年吉祥物甲，乙兩種，該玩具廠主要用A，B兩種原料.已知需要用A種原料和B種原料分別為4盒和3盒才能生產(chǎn)一套甲吉祥物，需要用A種原料和B種原料分別為5盒和10盒才能生產(chǎn)一套乙吉祥物，玩具廠購進20000盒A原料和30000盒B原料.如果原料沒有剩余，求這個玩具廠生產(chǎn)兩種吉祥物各多少套？

分析：在解決實際問題中應用廣泛，例如人員調(diào)配，工程實施，產(chǎn)品購銷等，都可以建立方程(組)模型解決.

解：設生產(chǎn)甲種吉祥物x套，乙種吉祥物y套，由題意得

從而，如果原料沒有剩余，則這個玩具廠生甲乙兩種吉祥物分別為2000套和2400套.

教師在帶領學生分析問題的同時，也要啟發(fā)學生，現(xiàn)實生產(chǎn)中，原料有沒有剩余或者短缺？如果剩余了或者短缺了，我們又應該如何處理問題？諸如此類的問題，可以一步一步帶領學生構(gòu)建更加貼近生活的數(shù)學模型，激發(fā)學生學習的興趣.在整個過程中，我們也會發(fā)現(xiàn)學生會提出一些非常具有創(chuàng)意的想法.如果能夠合理加以引導，學生的思路遠比我們想象的還要具有創(chuàng)意.

總之，數(shù)學模型在解決實際問題中的使用，不僅能夠理論聯(lián)系實際，而且學生的學習興趣在解決問題的過程中也隨之提高，從而提高學生掌握數(shù)學知識的能力和理解，還會更好的把數(shù)學思想方法用到解題過程中去，加固學生的數(shù)學知識結(jié)構(gòu).解題的過程中，學生敢于質(zhì)疑，開闊自己的求異思維，獨自去思考和探索，去提出自己的新觀點，新思路，新方法.同時可以加深對探索和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，發(fā)展學生自主探究能力，從而提高學生的創(chuàng)新能力.