以簡(jiǎn)馭繁，簡(jiǎn)中有道

蔣智東

解析幾何，顧名思義，即用代數(shù)的方法解析幾何問題，解析幾何是高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容，它的學(xué)習(xí)大致分成三個(gè)階段，我們?cè)诟咭浑A段的《必修2》中學(xué)習(xí)的“平面解析幾何初步”是第一階段.

同時(shí)，直線和圓可以用方程表示（從形到數(shù)）;通過方程，我們研究了直線間的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等（用數(shù)研究形）.這些處理問題的方法的共性是都需要把幾何問題代數(shù)化，先用方程表示直線和圓，然后再通過代數(shù)運(yùn)算解決有關(guān)問題.

我們突出用坐標(biāo)方法解決幾何問題的“三步曲”：第一步：建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題;第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.這與初中階段我們直接借助幾何圖形來研究其形狀、大小、位置關(guān)系不同.實(shí)際上我們是在用代數(shù)方法研究平面幾何問題，另一方面，用代數(shù)方法研究問題也不是全新的、沒見過的，初中已經(jīng)將點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，只是沒有系統(tǒng)地接觸解析幾何的思想方法罷了.在這里體現(xiàn)了初高中在知識(shí)上的銜接.

對(duì)于把幾何問題代數(shù)化，同一個(gè)問題也可以從不同的角度去認(rèn)識(shí)，例如：通過直線和圓的方程怎樣判斷它們的位置關(guān)系？我們總結(jié)出兩種判斷方法：

從幾何角度來看，圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系刻畫直線與圓的位置關(guān)系;這樣把幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為距離的代數(shù)計(jì)算;

從方程觀點(diǎn)來看，利用直線與圓的方程組是否有解研究曲線間的位置關(guān)系.

本質(zhì)上說，兩種方法都是用坐標(biāo)法解決問題，

我們認(rèn)為兩種方法無所謂優(yōu)劣，強(qiáng)調(diào)在掌握共性（方程的方法）的基礎(chǔ)上注意個(gè)性（圓心距與半徑的關(guān)系）.前者更好地挖掘了圓特有的幾何特征，簡(jiǎn)化了代數(shù)運(yùn)算，比聯(lián)立方程組的方法快捷，可以看出用解析法解幾何題時(shí)，對(duì)幾何對(duì)象的幾何特征的不同挖掘，轉(zhuǎn)化的代數(shù)形式不盡相同，帶來的解法是互異的，這在同學(xué)們后續(xù)的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)得更明顯，聯(lián)立方程組的解法有著很好的認(rèn)知基礎(chǔ)和可持續(xù)發(fā)展性.大家可以根據(jù)求兩條直線交點(diǎn)問題的經(jīng)驗(yàn)，想到判斷直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)也可以通過研究方程組的解來解決.把形的問題（求直線和圓的交點(diǎn)）轉(zhuǎn)化為方程組的實(shí)數(shù)解的問題（數(shù)的問題）.充分體現(xiàn)了解析幾何中利用代數(shù)方法解決幾何問題的思想方法，這個(gè)解法又成為后續(xù)研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的“通法”.

平面直角坐標(biāo)系的建立，為幾何問題的求解帶來了方便，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中也易于掌握.然而，某些幾何問題用純粹的代數(shù)方法來解決，思路雖簡(jiǎn)單，但運(yùn)算往往相對(duì)較繁，導(dǎo)致很多同學(xué)有思路卻苦于得不到正確答案，或看著繁瑣的式子心生畏懼，不僅浪費(fèi)了大量時(shí)間，還加大了心理壓力，正因?yàn)檫@類問題難在“算到底”，所以注意減少運(yùn)算量則成為迅速、正確解題的關(guān)鍵，

針對(duì)這一問題，解決的策略很多，我們可以在解決問題中逐漸加以認(rèn)識(shí)和積累.

策略一：建好平面直角坐標(biāo)系

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，即研究數(shù)和形的科學(xué)，而坐標(biāo)系是聯(lián)系數(shù)和形的橋梁，通過建立坐標(biāo)系，可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)問題的求解得到幾何問題的解.

在用“坐標(biāo)法”解決幾何問題時(shí)，理論上平面直角坐標(biāo)系的建立是具有多樣性的，但是有一點(diǎn)是可以肯定的：不同的建系會(huì)使點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)的個(gè)數(shù)呈現(xiàn)差異、直線和圓的方程存在繁簡(jiǎn)之別，而且會(huì)影響到后續(xù)的代數(shù)運(yùn)算量.在不失一般性的前提下，可以充分利用圖形中的特殊性，比如對(duì)稱性、垂直關(guān)系等，或者是充分利用圖形中已知長(zhǎng)度或角度的線段所在直線作為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，就可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.

策略二：數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)

數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，體現(xiàn)了初高中銜接.同學(xué)們?cè)诔踔蟹e累掌握了許多直線和圓方面的幾何基礎(chǔ)，這使得我們有了簡(jiǎn)化運(yùn)算的契機(jī).

1.對(duì)幾何對(duì)象關(guān)系的認(rèn)識(shí)可以幫助我們簡(jiǎn)化運(yùn)算.

比如，在落實(shí)A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱時(shí)，我們的運(yùn)算對(duì)象是垂直、平分，對(duì)于平分，我們只需將AB的中點(diǎn)坐標(biāo)代人對(duì)稱軸l的方程中即可，這只是一次運(yùn)算，否則，用距離公式就是二次運(yùn)算，這樣就簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

2.對(duì)求解對(duì)象的認(rèn)識(shí)可以幫助我們簡(jiǎn)化運(yùn)算.

比如，直線與圓相交產(chǎn)生的弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)，以及它們所對(duì)的圓心角問題都可以轉(zhuǎn)化到一個(gè)由半徑、弦心距、半個(gè)弦長(zhǎng)組成的直角三角形中來求解和研究.由圓外一點(diǎn)向圓所引的切線長(zhǎng)，也可以轉(zhuǎn)化到由這點(diǎn)和圓心、切點(diǎn)組成的直角三角形中求解，在這些問題中，借助直角三角形的邊角關(guān)系，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

3.對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)可以幫助我們簡(jiǎn)化運(yùn)算，

比如：直線mx+y+2m+1=0與圓O：x₂+y₂=8恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍，

本題的優(yōu)解為直線所過的定點(diǎn)（-2，-1）在圓上或在圓內(nèi)即可.這就體現(xiàn)和突出了對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，充分利用了直線方程中參數(shù)對(duì)直線特征的作用，強(qiáng)調(diào)作圖，而不是純代數(shù)的推導(dǎo).

還有，角平分線就是角兩邊的對(duì)稱軸;圓外一點(diǎn)與圓上動(dòng)點(diǎn)連線段的最值問題可以轉(zhuǎn)化為這點(diǎn)與圓心連線段與半徑的關(guān)系;圓上動(dòng)點(diǎn)與和它相離的一條直線上的動(dòng)點(diǎn)連線段的最值問題可以轉(zhuǎn)化為圓心到這條直線的距離與半徑的關(guān)系;兩條直線將一個(gè)圓四等分，則四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形等等，

對(duì)幾何特征的不同角度的挖掘，轉(zhuǎn)化成的代數(shù)問題不同，解決問題的難易程度也不同.上述轉(zhuǎn)化都可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)算，這需要我們?cè)诮忸}時(shí)加以分析體驗(yàn).

幾何要素（確定直線和圓的幾何要素、確定直線與圓位置關(guān)系的幾何要素）以及在幾何要素引導(dǎo)下的代數(shù)變形，最終要回到幾何上，體現(xiàn)對(duì)幾何問題的研究，

策略三：設(shè)而不求

設(shè)而不求是指在解題時(shí)，可根據(jù)題意設(shè)出一些輔助元（參數(shù)），在求解的過程中，不必求出這些輔助元（參數(shù)）的值，僅把它作為橋梁或過渡元素，巧妙地消去這些輔助元（參數(shù)），達(dá)到降低難度的目的.在解決解析幾何問題時(shí)為優(yōu)化運(yùn)算而常常采用這種方法.

策略四：特殊化思想

把研究對(duì)象特殊化是探究數(shù)學(xué)問題的重要手段.在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，特殊化方法常常表現(xiàn)為將一般問題特殊化處理或從特殊出發(fā)揮索解題方向，以獲得問題的解決，它是一種以“退”為“進(jìn)”的解題策略.用問題最特殊情形的解來得到一般問題的解，因此在選擇題和填空題等客觀問題中一定要特別注意特殊化思想的應(yīng)用.一些定點(diǎn)、定值類問題?？捎锰厥饣忸}，總之，就是從問題的簡(jiǎn)單化、特殊化人手解答，尤其是當(dāng)我們解題束手無策時(shí)一定不能忘了特殊化思想這個(gè)“大救星”.

從形式上看，將一般性問題特殊化是不困難的，但某個(gè)一般性問題經(jīng)過不同的特殊化處理會(huì)得到多個(gè)不同的特殊化命題.因此，特殊化思想的關(guān)鍵是能否找到一個(gè)最佳的特殊化問題，因?yàn)?，較為理想的特殊問題是極易解決的.

總之，對(duì)于“平面解析幾何初步”中的直線和圓，無論是其本身的特征，還是它們之間的位置關(guān)系，我們都可以用代數(shù)運(yùn)算的方法來加以研究落實(shí)，代數(shù)方法（運(yùn)算）是本章的重要方法.上面我們從宏觀上比較籠統(tǒng)地給同學(xué)們提出了一些關(guān)于簡(jiǎn)化運(yùn)算的策略，大家可以在下面的文章中來具體學(xué)習(xí)體會(huì)這些方法.