怎樣解題

邵賢虎

師：同學(xué)們，在平時(shí)的練習(xí)中，是不是經(jīng)常有這樣的感覺(jué)，拿到一道較難的習(xí)題，第一次看完感覺(jué)無(wú)從下手，這很大程度上可歸結(jié)為審題的失敗，未制訂有效的解題計(jì)劃，計(jì)劃實(shí)施不扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)，缺乏解后反思，

今天給大家介紹一位偉大的美籍匈牙利數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞（G.Polya，1887～1985）.他十分重視解題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，并對(duì)解題方法進(jìn)行了多年的研究和實(shí)踐，繪制出了“怎樣解題”表，主要可分為“弄清問(wèn)題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧”四個(gè)階段，下面結(jié)合這四個(gè)階段及本人的思考，和同學(xué)們聊聊怎樣解題.

一、弄清問(wèn)題：解題從審題開(kāi)始

在習(xí)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些容易看錯(cuò)、易被忽視或容易誤解的字詞，如果我們粗心大意，就會(huì)導(dǎo)致失誤.因此，我們必須了解問(wèn)題的文字?jǐn)⑹觯朴凇罢遄肿镁洹?，認(rèn)真思考，弄清含義，為正確解題掃除障礙，如已知是什么？未知是什么？條件是什么？滿(mǎn)足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？

例1 一直線過(guò)點(diǎn)M（3，-4），且在x軸和y軸上的截距相等，求它的方程.

師：本題求直線方程，條件中你認(rèn)為關(guān)鍵的字眼是什么？

生：截距相等.

師：你會(huì)選擇直線方程的什么形式？

生：截距式，

師：設(shè)截距式應(yīng)注意什么？怎么解決？

生：應(yīng)注意截距式的局限性，不能忽視直線在x軸和y軸上的截距都為零，即直線過(guò)原點(diǎn)的情況.

生：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，易求其方程為4x+3y=0;

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，用直線方程的截距式，設(shè)所求方程為x/a+y/a=1，

把已知點(diǎn)M（3，-4）的坐標(biāo)代人方程，得a=-1.此時(shí)所求方程為x/-1+y/-1=1，即x+y+1=0.

故所求直線方程為4x+3y=0和x+y+1=0.

師：很好！本題審題緊扣關(guān)鍵字眼“截距相等”，且避免了漏解的情況.這些關(guān)鍵字眼對(duì)問(wèn)題的解決至關(guān)重要，必須給予高度關(guān)注.

二、擬定計(jì)劃：確定方法和途徑

擬定計(jì)劃時(shí)，要善于對(duì)條件或結(jié)論進(jìn)行簡(jiǎn)化，化繁為簡(jiǎn)、化難為易.解題思路不能只停留在原題上，而應(yīng)積極地將其轉(zhuǎn)換成熟悉和易解的問(wèn)題，這樣就能找到有效解決問(wèn)題的方法和途徑.因此，我們要注意分析題意，善于簡(jiǎn)化，尋求轉(zhuǎn)換，并從中領(lǐng)悟出求簡(jiǎn)和化歸的重要思想，從而擬訂解題計(jì)劃，

當(dāng)教師展示題目后，同學(xué)們認(rèn)為條件很簡(jiǎn)單，但字母較多.怎樣才能簡(jiǎn)化呢？

師：你能將條件“翻譯”一下嗎？

斜率求出來(lái)了，還缺一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，已知條件中雖然有兩點(diǎn)，但都含有未知字母，不知道下面應(yīng)該怎么辦.

師：已知條件中有兩點(diǎn)，雖然含有未知字母，能不能勇敢地選取其中一個(gè)點(diǎn)嘗試一下呢？

師：很好！我們?cè)倩仡^重新審視一下等式①②，說(shuō)明了什么？

師：很好，這種解法體現(xiàn)了解析幾何最基本、最本質(zhì)的思想.

師：本題第一種解法充分展示了由審題所帶來(lái)的解題計(jì)劃的一步步實(shí)現(xiàn)，步步為營(yíng)，成功解決問(wèn)題;第二種解法“簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單”，體現(xiàn)了良好的大局觀，令人拍手稱(chēng)快！

三、實(shí)施計(jì)劃：解題認(rèn)識(shí)與優(yōu)化

實(shí)施計(jì)劃過(guò)程中，我們不僅要重視步驟的正確性，給出必要的理由與依據(jù)，而且要善于一題多解或一題多變，以加深認(rèn)識(shí)，優(yōu)化解題思路.

生2：我覺(jué)得生1的方法思路簡(jiǎn)單，但計(jì)算量過(guò)大，其實(shí)可以通過(guò)兩個(gè)圓的公共弦方程得到切點(diǎn)弦方程.

生3：生2的解法明顯比生1的解法好，而且計(jì)算量少很多，但如果換一個(gè)圓和已知圓的公共弦也是非常不錯(cuò)的選擇.

生4：生2和生3選擇兩個(gè)圓的公共弦很好，其實(shí)我覺(jué)得可以直接解決.

師：以上4位同學(xué)給我們呈現(xiàn)了四種不同的解法，各有特色.生1的解法很樸實(shí)，但往往運(yùn)算量過(guò)大，特別是計(jì)算能力較弱的同學(xué)就會(huì)出現(xiàn)會(huì)做但做不對(duì)的情況;生2和生3的解法本質(zhì)一樣，但選擇的圓不一樣，也是各有一番風(fēng)味;生4的解法體現(xiàn)了解析幾何最基本、最本質(zhì)的思想.希望大家回去后再回味一下這4種解法，體會(huì)數(shù)學(xué)選擇的神奇.

師：我們?cè)诮忸}過(guò)程中經(jīng)常面臨選擇（解題計(jì)劃的變更），如何選擇合適的解析式，如何選擇合適的方法，如何選擇好的算法（解題計(jì)劃的優(yōu)化），這都是我們平時(shí)應(yīng)當(dāng)思考的.

四、回顧：解后反思意義大

師：解題后的反思是指在解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題后，通過(guò)對(duì)審題過(guò)程、解題思路、解題步驟、題目結(jié)論的反思，檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論，提高自我監(jiān)控能力.

波利亞曾談到，在你找到第一個(gè)蘑菇時(shí)，繼續(xù)觀察，就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇.在問(wèn)題解決之后，應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想和方法的總結(jié)、提煉和升華，總結(jié)解題規(guī)律，優(yōu)化解題過(guò)程，并嘗試把本題的結(jié)果或解法用于其他問(wèn)題，只有這樣，我們的解題能力才能不斷提高.