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    對稱問題的歸類探析

    2018-12-03 02:01:04陳乾美
    新高考·高一數(shù)學 2018年7期
    關(guān)鍵詞:對稱點通法歸類

    陳乾美

    對稱問題是高中數(shù)學的重要內(nèi)容,其實質(zhì)是曲線上的點與點間的對稱,抓住對稱點間的內(nèi)在聯(lián)系,可將幾何對稱(圖形語言)轉(zhuǎn)化為代數(shù)坐標(相關(guān)點)及方程(符號語言).

    考慮到同學們剛接觸解析幾何,我們借助例題的形式來對對稱問題進行簡單歸類,期待能給同學們一些啟示.

    一、點的對稱問題

    點的對稱問題主要有點關(guān)于點對稱和點關(guān)于線對稱兩類.

    二、直線的對稱問題

    直線的對稱問題有直線關(guān)于點對稱和直線關(guān)于直線對稱兩類.

    分析 (1)直線關(guān)于點對稱,顯然這兩直線是平行關(guān)系且已知點到兩直線的距離相等,這樣,利用待定系數(shù)法即可輕松求解;

    (2)直線關(guān)于一般直線對稱,我們可以利用點關(guān)于直線對稱的方法,任意從已知直線上取兩點,求出關(guān)于一般直線的對稱點后,利用兩點式就可以得到對稱直線的方程.

    點評 直線關(guān)于點對稱的解題方法雖然比較巧妙,充分利用了幾何的性質(zhì),但是與第(2)問一比較,我們也很容易想到,還可以在直線上任意取點,求對稱點后用兩點式表示對稱直線的方程.

    求解直線關(guān)于直線對稱的問題,方法還是很多的,從幾何的思路出發(fā),多思考,結(jié)合數(shù)形轉(zhuǎn)化,就會豁然開朗.

    三、利用對稱求最值問題

    利用對稱求最值實質(zhì)是用線段中垂線的性質(zhì)進行問題轉(zhuǎn)化.利用對稱點轉(zhuǎn)化為三點共線時,有兩點之間線段最短,可求距離之和的最小值;由三角形的兩邊之差小于第三邊,可求距離之差的最大值.靈活利用對稱性求解最值能使解題過程簡明扼要.

    點評 此題靈活利用對稱,借助圖形很直觀地將無從下手的最值問題簡捷化,將代數(shù)問題幾何化.

    由以上3個例題的歸類探究,發(fā)現(xiàn)對稱問題的實質(zhì)是求對稱點和對稱直線.求對稱點的通法是先設(shè)對稱點坐標,再用垂直、平分聯(lián)立方程組求解.

    求對稱直線的通法:先設(shè)對稱直線上任意P'點的坐標,再由垂直和平分求P'的對稱點P的坐標,最后將點P坐標代入已知直線方程即可.

    在學完直線與方程后,需將對稱問題中蘊含的數(shù)學思想與方法進行適當?shù)臍w納總結(jié),這樣才能對該知識有一個完整的、系統(tǒng)的認識,解決對稱問題時才能得心應(yīng)手.

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