一節(jié)會生長的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課

李國良

【摘要】復(fù)習(xí)課是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的三大課型之一，是讓學(xué)生進一步理解、掌握和運用所學(xué)知識的系統(tǒng)化過程，對復(fù)習(xí)課的教學(xué)必須要把握好知識梳理與能力提升兩個維度。復(fù)習(xí)不僅可以是一個單元的復(fù)習(xí)，也可以是相同知識點的整體復(fù)習(xí)。本文通過對三年級下冊中兩位數(shù)乘兩位數(shù)單元與面積單元的深入分析與思考，認(rèn)為兩個單元可以借助于類似的知識點進行溝通與聯(lián)系，實現(xiàn)整合性復(fù)習(xí)，以提高復(fù)習(xí)效率與學(xué)生對復(fù)習(xí)課的興趣。

【關(guān)鍵詞】整合 復(fù)習(xí) 生長性

復(fù)習(xí)課，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性不言而喻，它不僅能鞏固知識、提升能力，還能幫助學(xué)生對知識進行梳理，形成體系。但是，在實際教學(xué)中復(fù)習(xí)課卻成了燙手的山芋。究其原因，一是參考資料少，各類教研活動等大都回避這一課型，教師缺乏動因；二是復(fù)習(xí)與考試往往“捆綁”在一起，大量的時間花在了單調(diào)、枯燥的做題上，學(xué)生缺乏興趣。久而久之復(fù)習(xí)課就失去了生命力。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)；要注重知識的“生長點”與“延生點”，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。這給復(fù)習(xí)教學(xué)提供了一個啟示，復(fù)習(xí)課不僅可以是一個單元的整體復(fù)習(xí)，還可以是一個知識點的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，也可以是相關(guān)聯(lián)知識間的整合復(fù)習(xí)。人教版三年級下冊第四單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”與第五單元“面積”這兩個單元，筆者認(rèn)為單元可以獨立復(fù)習(xí)，也可以把這兩單元進行整合復(fù)習(xí)，上一節(jié)會生長的復(fù)習(xí)課。

一、教材知識點的梳理

要實現(xiàn)復(fù)習(xí)教學(xué)的最優(yōu)化，就必須實現(xiàn)教學(xué)過程最優(yōu)化，而教材的分析是實現(xiàn)教學(xué)過程最優(yōu)化的重要內(nèi)容之一，它強調(diào)從學(xué)生經(jīng)驗出發(fā)，遵循他們的認(rèn)知規(guī)律，幫助學(xué)生有效建構(gòu)系統(tǒng)性的知識。

（一）“兩位數(shù)乘兩位數(shù)單元”知識點分析

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元在整個小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用。該單元主要讓學(xué)生掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算與筆算的算理與算法，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用這一知識進行“解決問題”的教學(xué)，即“連乘、連除問題”的學(xué)習(xí)，其核心內(nèi)容是在掌握算理的基礎(chǔ)上學(xué)會筆算的方法。在人教版“教師教學(xué)用書”中這樣建議：讓學(xué)生經(jīng)歷探索計算方法的過程，培養(yǎng)幾何直觀；注重運算規(guī)律的探索，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。因此，該單元不僅讓學(xué)生掌握筆算的方法和筆算的算理，還應(yīng)發(fā)展學(xué)生的計算能力，提高學(xué)習(xí)計算類題目的興趣。

筆者在翻閱教材中發(fā)現(xiàn)，教材第59頁練習(xí)十三第3題：

比較每組算式得數(shù)的大小，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（1）30×30= 31×29= 32×28= 33×27=

（2）50×50= 51×49= 52×48= 53×47=

細(xì)細(xì)分析這題可以發(fā)現(xiàn)，這兩題中兩個因數(shù)它們的和是一定的（60和100）；而兩個因數(shù)的差是不等的，它們的差越大乘積越?。徊钭兂?時，乘積最大。同時在省編的配套練習(xí)中也有這一類型的變式題目：

選擇下面的數(shù)字5、6、7、8，組成兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，使他們的乘積最大和乘積最小，可以怎么組？

筆者認(rèn)為，可以抓住教材這樣細(xì)小的點進行深入的分析，與學(xué)生一起開展教學(xué)研究，從而發(fā)展學(xué)生的思維甄別力。

（二）“面積”單元知識點分析

“面積”單元的學(xué)習(xí)是學(xué)生認(rèn)知上的一次飛躍，他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)從一維空間發(fā)展到二維空間。該單元主要涉及面積意義的理解和面積單位，長方形與正方形面積的計算，面積單位之間的進率和用所學(xué)的知識解決簡單的實際問題，其核心內(nèi)容是對面積概念和長方形面積計算的深入理解。筆者認(rèn)為在學(xué)習(xí)這兩個核心內(nèi)容時，必須要強化面積與周長的辨析，明確圖形的周長與面積在描述圖形中的不同作用。

同樣，在教材中我們發(fā)現(xiàn)了3個密切相關(guān)的知識點，一是第65頁練習(xí)十四第7題：畫幾個長方形或正方形，使它們周長相等，然后比較面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？二是第75頁練習(xí)十六第10題：兩個一樣大小的長方形長36厘米，寬18厘米，拼成長方形和正方形，它們的周長是多少？面積是多少？三是第75頁練習(xí)十六第11題：畫出面積是16平方厘米的長方形（長寬是整厘米數(shù)），并計算出這些長方形的周長。仔細(xì)比較這3題，其實是對面積與周長意義的辨別，讓學(xué)生更加清楚地理解兩個意義。同時讓學(xué)生知道，有時長方形的周長不等而面積相等，有時它們周長相等但面積不等。

（三）尋找兩個單元之間的關(guān)聯(lián)點

通過對兩個單元的分析和部分典型題目梳理、解讀后，我們發(fā)現(xiàn)上述這些題目既是本單元的重點知識，都圍繞著單元目標(biāo)開展的一些基本練習(xí)。又是對核心知識的提升，能充分發(fā)展學(xué)生的思維能力和動態(tài)想象力。它們之間還存在著一種聯(lián)系，周長相等就是兩個數(shù)的和相等，面積不等就是這兩個數(shù)的乘積不等。當(dāng)長方形變成正方形時長和寬的差就是0，它們的面積最大也就是乘積最大；反之，長方形的長和寬差變大，它們的面積就變小也就是乘積變小。

筆者認(rèn)為，圍繞上述知識點把這兩個單元進行整合的復(fù)習(xí)，一是有利于加深對筆算乘法單元知識的鞏固，借助于圖形的直觀來揭示“和一定積發(fā)生變化”的規(guī)律性知識的道理；二是能鞏固面積與周長的計算方法，知道面積與周長的辯證關(guān)系，懂得圖形背后有著計算作為支撐的秘密。

二、教學(xué)實踐與思考

基于對教材的分析與思考，筆者覺得，可以從由4個數(shù)字組成兩個兩位數(shù)乘積最大和乘積最小開始進行復(fù)習(xí)，逐步引導(dǎo)學(xué)生對教材進行梳理與思考，尋找與此知識點相關(guān)聯(lián)的知識，體會到知識之間的聯(lián)系與生長點。

（一）自主計算，復(fù)習(xí)算理與算法，尋找知識內(nèi)部之間的規(guī)律

課始，筆者出示“1、2、3、4”四個數(shù)字，要求組成兩個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)乘兩位數(shù)，其中乘積最小是□□×□□，乘積最大是□□×□□。學(xué)生根據(jù)已有的認(rèn)知經(jīng)驗很快組出乘積最大是42×31或41×32，組出乘積最小為13×24或14×23。隨后，組織學(xué)生獨立計算4個題目，選擇一題進行兩位數(shù)筆算方法的回憶以及對算理的解釋。

接著，組織學(xué)生一組一組仔細(xì)觀察：42×31和41×32，13×24和14×23，質(zhì)疑有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：42×31與41×32中41×32乘積較大，13×24和14×23中13×24的乘積較?。?/p>

生2：42×31與41×32中，兩個因數(shù)的和都是73，但它們的乘積不一樣；而13×24和14×23中，兩個因數(shù)的和都是37，但它們的乘積也不一樣；

生3：42×31與41×32中，兩個因數(shù)的差分別是11和9，差是9的兩個因數(shù)乘積較大，同樣13×24和14×23中，兩個因數(shù)的差也是11和9，差是9的兩個因數(shù)乘積較大，兩組算式中，差是11的兩個因數(shù)的乘積較小。

通過思考并討論，發(fā)現(xiàn)在這樣的計算中有一定的規(guī)律存在，是否在其他這樣類似的題目中還有著相同的規(guī)律？于是，教師再次出示“1、2、3、5”四個數(shù)字，組織學(xué)生列出乘積大的一組算式51×32和52×31、乘積小的一組算式15×23和13×25進行比對，由男生與女生分別計算。通過匯報得出這組算式的規(guī)律：乘積大的一組算式中兩個因數(shù)的和均為83，差分別是19和21，差是19的算式乘積較大，而乘積小的一組算式中兩個因數(shù)的和都是38，差分別是8和12，差是8的乘積較大，差是12的乘積較小。經(jīng)過驗證后可以得出一個普遍性的規(guī)律：兩個因數(shù)的和一樣，差較小的乘積較大，差較大的乘積較小。

這一環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生通過組數(shù)、計算，進一步熟練掌握筆算兩位數(shù)乘法的計算方法和算理，逐漸發(fā)現(xiàn)計算教學(xué)中在特定的規(guī)則下存在著一種規(guī)律。當(dāng)然，這一規(guī)律還只是停留在計算層面上，要讓學(xué)生更加直觀地感受到還需要借助于圖形的分析來支撐，這為整合復(fù)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

（二）合作探究，復(fù)習(xí)周長與面積，尋求知識外部之間的聯(lián)系

在完成第一個環(huán)節(jié)后，筆者設(shè)疑：在其他單元的知識點中是否也存在著這樣的現(xiàn)象，它們的和一樣，但它們的乘積不一樣。帶著疑問組織學(xué)生翻閱書本，4人小組討論尋找類似的知識點，勾起學(xué)生的記憶。

生4：我們小組認(rèn)為在面積單元也存在著這樣的規(guī)律，周長相等，正方形面積大。

生5：我們小組覺得周長相等時，長方形與正方形面積相比，正方形大長方形小。也就是長+寬的和是不變的，但是長×寬的積在發(fā)生變化，越扁的長方形面積越小，越接近正方形面積越大。

師：請這組同學(xué)到黑板上來畫出草圖，其他同學(xué)看看他剛才表述的和畫出來的圖是不是一致（如下圖）。

師：這位同學(xué)畫了長是5厘米，寬是3厘米的長方形和一個邊長是4厘米的正方形，能說明剛才他的意思嗎？

生6：長方形的周長是（5+3）×2=16厘米，面積是5×3=15平方厘米，正方形的周長是4×4=16厘米，面積是4×4=16平方厘米。周長都是16，相等；面積是正方形大。

在反饋與討論過程中，不僅復(fù)習(xí)了長方形的周長與面積的計算方法，而且學(xué)生慢慢地發(fā)現(xiàn)面積單元中周長與面積之間確實存在著和不變、積發(fā)生變化的情況。接著，全體學(xué)生獨立研究教師提供的素材，讓學(xué)生自己量并計算周長和面積（數(shù)據(jù)如下圖）。匯報后得出周長均是20厘米，面積分別是（9、21、25）平方厘米，也就是“長+寬”的和不變，“長×寬”的積發(fā)生變化，當(dāng)長與寬的差是0時面積最大，長與寬的差越大，面積越小。

學(xué)生借助于自己尋找相關(guān)聯(lián)的知識點，動手量圖形進行驗證，從筆算乘法中規(guī)律性的知識慢慢地與圖形相結(jié)合，樹立起周長守恒觀念和周長、面積之間的辯證關(guān)系。

接著，筆者出示長23厘米、寬14厘米的長方形，面積是322平方厘米；再出示一個長24厘米、寬13厘米的長方形，面積是312平方厘米（如上圖）。把筆算乘法13×24與14×23用圖的形式進行了解釋，學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)長23厘米寬14厘米更加接近于正方形，因此這兩個數(shù)的乘積相對于24×13要大一些。在圖形的表征下，學(xué)生明確了13×24與14×23乘積的差就是23×（14-13）與13×（24-23）的差，較好地滲透了數(shù)形結(jié)合的思想與方法。

完成上述兩個教學(xué)過程后，需要對相關(guān)的知識點進行一定的梳理，讓學(xué)生更加清楚地明白看似不相關(guān)的知識是如何緊密地結(jié)合在一起的。教師設(shè)問：一個是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，一個是長方形的周長與面積，它們之間有何種聯(lián)系？經(jīng)過學(xué)生的匯報與小結(jié)，進一步明確了：兩個數(shù)的和不變，差越小乘積越大；長方形中周長不變，越接近正方形面積越大。隨后，組織學(xué)生獨立完成：一根長36cm的鐵絲，圍成一個長方形或正方形（如果邊是整厘米數(shù)），有幾種方法？怎樣圍面積最大？此時，學(xué)生能較快地知道“長+寬”的和是18厘米，圍成正方形（邊長為9厘米）面積最大是81平方厘米。

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。”這一環(huán)節(jié)通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方法使抽象思維與形象思維緊密地結(jié)合：乘法中隱藏的規(guī)律用圖的形式直觀地表現(xiàn)出來，而長方形中周長與面積的關(guān)系又通過算式給抽象出來，真正把兩個知識點進行了有機的溝通，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，達(dá)到了整合復(fù)習(xí)的目的。

（三）借助微課，拓展課堂的空間，尋味數(shù)學(xué)知識之間的魅力

筆者認(rèn)為，一節(jié)好的復(fù)習(xí)課猶如一篇好的文章，需要有豹頭和鳳尾。因此，課堂結(jié)束前需要對這節(jié)課整體設(shè)計的思路與背后的思考讓學(xué)生能觸摸到，不僅感知“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元與“面積”單元有著一定的關(guān)聯(lián)，也能感受到數(shù)學(xué)中其他的知識點也存在著密切的聯(lián)系。

完成上述兩個主要環(huán)節(jié)后，筆者談話引入微課，旨在借助于微課的形式拓展學(xué)生學(xué)習(xí)的空間，呈現(xiàn)另一個知識點的網(wǎng)絡(luò)圖。多媒體視頻依次出示下圖并解釋，從3+4=7這一基本算式出發(fā)，一年級是怎么運用3+4=7，三、四、五年級甚至更高的年級如何運用這個算式的，這樣學(xué)生就能明白原來一個簡單的加法算式有如此強大的功能，能串聯(lián)起不同年級的知識。充分地感受到數(shù)學(xué)知識是緊密地聯(lián)系在一起的，可以從一個知識延伸拓展到另一個知識，感悟數(shù)學(xué)知識間的生長性。

筆者以為：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是基于數(shù)學(xué)知識技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識技能。它反映的是數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，以及學(xué)生在解決復(fù)雜現(xiàn)實問題過程中表現(xiàn)出來的綜合性運用數(shù)學(xué)的意識與能力。在教學(xué)中不僅要關(guān)注教材本身所賦予的知識，更要關(guān)注教材之外的能力體系。對“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”和“面積”兩個單元的整合復(fù)習(xí)，正是基于這樣的考慮而設(shè)計與實踐的，它有利于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生形成綜合性、整體性和持久性的學(xué)習(xí)能力。因此，復(fù)習(xí)課要“面向未來”，有知識增量，有技能提升，有思維深度，充滿活力。