小議直線的截距問(wèn)題

■張金娥

直線的截距有橫截距和縱截距，橫截距是直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱截距是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。截距不同于日常生活中的距離，截距是一個(gè)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，還可以是零。

題型一：截距相等的問(wèn)題

例1過(guò)點(diǎn)M(3，-4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為

解：①若直線過(guò)原點(diǎn)，則，所以，即4x+3y=0。②若直線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線方程為1，即x+y=a，則a=3+(-4)=-1，所以直線方程為x+y+1=0。

綜上可得，滿足條件的直線方程為4x+3y=0或x+y+1=0。

評(píng)析:若忽視直線過(guò)原點(diǎn)(即直線在坐標(biāo)軸上的截距為0)，則容易產(chǎn)生漏解。

題型二：截距之和為0的問(wèn)題

例2求過(guò)點(diǎn)A(4，2)且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程。

解：①當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=，即x-2y=0。②當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)A(4，2)，所以，即a=2，則xy=2。

綜上可知，所求直線l的方程為x-2y=0或x-y=2。

評(píng)析:解答本題的關(guān)鍵是不能忽視直線過(guò)原點(diǎn)的情況。

題型三：截距成倍數(shù)的問(wèn)題

例3已知直線l過(guò)點(diǎn)A(4，2)且在x軸上的截距是在y軸上的截距的3倍，求直線l的方程。

解：①當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為，即x-2y=0。②當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)A(4，2)，所以1，解得可得直線方程為x+3y-10=0。

綜上可知，所求直線l的方程為x-2y=0或x+3y-10=0。

評(píng)析:直線方程的截距式不包括垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線。

題型四：截距之和是定值的問(wèn)題

例4求過(guò)點(diǎn)A(4，2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12的直線l的方程。

解：設(shè)直線l的方程為b≠0)。由題意可得

由①得4b+2a=ab，由②得b=12-a，所以4(12-a)+2a=a(12-a)，即a2-14a+48=0，解得a=6或a=8，所以

故所求直線l的方程為x+y-6=0或x+2y-2=0。

評(píng)析:如果題中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距的絕對(duì)值相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m＞0)”等條件時(shí)，可采用截距式求直線方程，但一定要注意考慮“零截距”的情況。