探究數(shù)學抽象概念活動經(jīng)驗的累積
——以蘇教版二下《有余數(shù)的除法》的教學為例

江蘇省常州市金壇區(qū)華城實驗小學 賀 偉

探究是以問題為導(dǎo)向的學習過程，也是一項重要的學習技能。2011版新課標指出：“數(shù)學活動經(jīng)驗的是在‘做’的過程中累積出來的”。獲得數(shù)學活動經(jīng)驗不僅要重視“做”，也要重視“累積”，不僅僅是“做”的累積，也是在“做”的過程中不斷“思考”的累積。因此，在具體教學中，加強探究活動的設(shè)計，不但要為學生創(chuàng)造動手體驗的操作空間，也要創(chuàng)設(shè)引導(dǎo)學生總結(jié)歸納的思維空間，讓學生經(jīng)歷數(shù)學模型構(gòu)建的全過程。下面以蘇教版二年級下冊《有余數(shù)的除法》的教學為例，談?wù)勛约旱囊恍嵺`和思考。

【片段1】創(chuàng)設(shè)問題情境，在行為操作中獲取直觀經(jīng)驗

1.提出問題，構(gòu)建探究基礎(chǔ)

2.歸納分類，建立數(shù)學概念

3.引導(dǎo)遷移，形成數(shù)學思維

課堂初始引導(dǎo)階段，教師結(jié)合學生的生活創(chuàng)設(shè)情境——平均分文具，學生會根據(jù)自己的生活經(jīng)驗，在頭腦中涌現(xiàn)出怎么給大家平均分的具體操作方法。學生能夠自由地調(diào)用已有的數(shù)學知識和生活經(jīng)驗將10支鉛筆平均分一分。緊接著，教師又組織學生嘗試解決新問題“10支鉛筆，如果每人分3支、4支、5支，分別分給幾人呢？”學生在動手操作中發(fā)現(xiàn)，每人分3支、每人分4支，都有“多余”，有的“還剩1支”，有的“還剩2支”，從而隊余數(shù)獲得初步的感性認識和直接體驗。學生在自己的實際操作和互相爭論交流中，讓“余數(shù)”這個概念逐漸成為一個看得見、摸得著、數(shù)得清的東西，初步建立起余數(shù)概念，“有余數(shù)的除法”的含義也在平均分的知識基礎(chǔ)上悄然萌芽。

接著，老師鼓勵他們嘗試用除法算式來表示“像這樣分了有剩余”的除法，學生自由想出了四種書寫方式來表示“有剩余”的除法算式：第一種是10÷3=3（人），或10÷3=1（人）；第二種是9÷3=3（人）；第三種是10÷3=3（人）（剩1支）；第四種是10÷3=3……1。盡管學生書寫的格式和方法有的是錯誤的，但是教師并沒有簡單地予以否定或不理睬，而是組織學生充分交流自己的想法和觀點，充分暴露每個學生的原始思維狀態(tài)。不僅幫助學生建立了正確直觀經(jīng)驗，也讓學生感知和體驗了經(jīng)驗不斷完善的過程。在這個過程中，學生的行為操作和思維操作相輔相成，缺一不可。

【片段2】融入抽象概念，在思維操作中形成數(shù)學經(jīng)驗

1.操作觀察，感知數(shù)學經(jīng)驗

課件出示表格：

學生分小組擺放，進行全班交流。并根據(jù)學生交流填寫好表格。

2.推理猜想，形成數(shù)學經(jīng)驗

3.操作驗證，鞏固數(shù)學經(jīng)驗

大家拿出小棒自己驗證一下，可以擺放任意一個圖形，看看是不是這個結(jié)果。

學生操作。交流（你擺的什么圖形，每個圖形用了幾根小棒，剩下的不能超過幾根）

師總結(jié)：余數(shù)要比除數(shù)小。余數(shù)不能等于除數(shù)，等于除數(shù)就能再除1次。當然余數(shù)更不能大于除數(shù)。

蘇聯(lián)教育家阿莫納什維利指出：“兒童單靠動腦，只能理解和掌握知識，如果加上動手，他會明白知識的實際意義，如果再加上心靈的力量——認識的所有大門都將在他的面前敞開，知識將成為他能動地改造和創(chuàng)造的工具。”低年級學生的思維主要是以形象為主，需要借助直觀的操作觀察、直接的實踐體驗才能建立更豐富、更深刻的概念。課中教師組織學生動手操作探索：“用4根小棒擺1個正方形，8根小棒可以擺幾個正方形？”“像這樣用12、13、14、15或16根小棒擺正方形，結(jié)果會怎樣？”學生的思維在操作中獲得直觀的經(jīng)驗支撐，認識在比較中趨于正確和深刻。接著通過比較分析綜合概括，得出“剩下小棒的根數(shù)是1根、2根、3根”的結(jié)論。學生根據(jù)經(jīng)由具體操作活動得到的清晰表象展開聯(lián)想，有了“余數(shù)都不可能超過3”的結(jié)論，從而逐步抽象出“余數(shù)要比除數(shù)小”的概念。這樣的數(shù)學活動經(jīng)驗是具體的、豐富的，抽象思維是整體的、深刻的。

學生經(jīng)歷了多次的操作、觀察、比較、分析，逐步抽象概括，得出有余數(shù)除法的本質(zhì)特征“余數(shù)要比除數(shù)小”。然后再通過五邊形，六邊形這樣的猜想和驗證，加深和鞏固這種數(shù)學經(jīng)驗，同時也幫助學生形成數(shù)學概念是需要猜想、驗證的數(shù)學思維方式。不僅在數(shù)學知識體系構(gòu)建上達到較好的效果，也給學生傳遞了一種學習的態(tài)度和方法。

【片段3】鞏固拓展延伸，在解決問題中運用數(shù)學經(jīng)驗

出示思考題：

1.有一堆月餅，平均分成了若干盒，還剩4塊?？赡芊殖闪硕嗌俸?？你又是怎么想的？

指出：用月餅總數(shù)除以盒子數(shù)。余數(shù)是4塊，余數(shù)要比除數(shù)小，除數(shù)必須大于余數(shù)，所以每盒可以裝5，6，7，8，比4大的都可以。

2.有一堆月餅，平均分成了若干盒，還剩4塊。每盒可能裝了多少塊？你是怎么想的？

指出：用月餅總數(shù)除以盒子數(shù)，得到的商是每盒多少塊。但是商和余數(shù)沒有關(guān)系。因此可以是任何塊數(shù)。

從教學目的來看，本課主要是讓學生認識余數(shù)，理解有余數(shù)的除法，難點主要是讓學生能夠突破余數(shù)要比除數(shù)小這樣一個抽象的數(shù)學概念，從具體問題入手，引導(dǎo)學生進行具體的操作，讓學生從操作進行猜想，再通過操作進行驗證，這樣一個認知過程，逐漸將學生的操作從行為層面過渡到思維層面，又從思維層面回歸操作層面，把抽象概念的形成，具體到一個個操作的生成中，并不斷通過操作鞏固印象，讓探究經(jīng)驗不斷累積，逐漸內(nèi)化，完成直觀經(jīng)驗向數(shù)學經(jīng)驗的轉(zhuǎn)變。