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    對(duì)一道向量最值問題的研究性學(xué)習(xí)

    2018-11-29 03:34:08蔣紅珠劉成龍
    福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年2期
    關(guān)鍵詞:研究性變式背景

    蔣紅珠 劉成龍

    研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下,學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題,用類似科學(xué)研究的方式,自主探究、學(xué)習(xí)的過程,這個(gè)過程包括:觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí),提出有意義的數(shù)學(xué)問題,猜測(cè)、探究適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律,給出解釋或證明,研究性學(xué)習(xí)的一般步驟是:提出問題——研究的起點(diǎn);解決問題——研究性學(xué)習(xí)的重點(diǎn);背景揭示——研究性學(xué)習(xí)的亮點(diǎn);推廣問題——研究性學(xué)習(xí)的難點(diǎn);成果應(yīng)用——研究性學(xué)習(xí)的升華點(diǎn),文中對(duì)一個(gè)向量最值問題展開研究性學(xué)習(xí),以此作為研究性學(xué)習(xí)的一個(gè)案例。

    1問題提出——研究性學(xué)習(xí)的起點(diǎn)

    希爾伯特指出:“數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)的靈魂,”依此類推,數(shù)學(xué)問題是研究性學(xué)習(xí)的靈魂,數(shù)學(xué)問題是研究性學(xué)習(xí)的起點(diǎn),好的數(shù)學(xué)問題引領(lǐng)研究活動(dòng)的順利開展,伴隨整個(gè)研究性活動(dòng)?!镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(下文簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)指出:“數(shù)學(xué)探究課題的選擇是完成探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵,課題的選擇要有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解,有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程,有助于學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)、探究問題的意識(shí),有助于鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的想像力和創(chuàng)造性,”具體來講,一個(gè)適宜研究性學(xué)習(xí)的問題至少包含以下幾個(gè)方面:

    (1)問題真實(shí),源于學(xué)生實(shí)際;

    (2)問題難度適中,經(jīng)過學(xué)生“跳一跳”能解決;

    (3)問題背景深刻、內(nèi)涵豐富;

    (4)解答視角寬,便于學(xué)生從不同角度探究;

    (5)問題可變性強(qiáng),宜于推廣和變式;

    (6)問題與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容融合度大。

    據(jù)此,如下問題可以認(rèn)為是研究性學(xué)習(xí)的良好素材:

    2問題解決——研究性學(xué)習(xí)的重點(diǎn)

    從心理學(xué)角度來看,問題解決是指為了從問題的初始狀態(tài)到達(dá)目標(biāo)狀態(tài),而采取一系列具有目標(biāo)指向性的認(rèn)知操作的過程。從系統(tǒng)論來看,一個(gè)問題就是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的系統(tǒng),對(duì)系統(tǒng)的處理(問題解決)就是把系統(tǒng)中的一個(gè)個(gè)零散的信息按照一定的順序串在一起,形成一個(gè)有機(jī)整體,從數(shù)學(xué)的角度來看,問題解決指消除已知條件和求解目標(biāo)間差異的過程,這一過程一般包括:理解問題、提出假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè),波利亞在其巨著《怎樣解題》中指出問題解決包括:弄清題意、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃和回顧,[1]研究性學(xué)習(xí)中,問題解決需要在教師的組織下,讓學(xué)生“行動(dòng)”起來:通過查閱資料、獨(dú)立思考,在生生互動(dòng)、師生互動(dòng)中達(dá)成問題解決的“共識(shí)”——研究的初級(jí)成果,在問題解決中,教師組織學(xué)生完成三項(xiàng)活動(dòng): (1)成果展示; (2)點(diǎn)評(píng); (3)反思。

    2.1成果展示

    學(xué)生成果重在方法梳理和思路分析,并通過成果展示增加成功體驗(yàn)和自我效能感,問題的成果展示(此處僅展示整理后解題方法)如下:

    視角1 解析法

    方法1 配方法

    方法2 函數(shù)法

    視角2 向量法

    視角3 三角代換法

    視角4 有界法

    視角5 數(shù)形結(jié)合法

    2.2點(diǎn)評(píng)

    點(diǎn)評(píng)即分析、賞析,包括學(xué)生自評(píng)、互評(píng)及教師點(diǎn)評(píng),在這一過程中,需要對(duì)好的做法進(jìn)行分享,需要指出研究中存在的問題,最終實(shí)現(xiàn)在評(píng)價(jià)中達(dá)成“共識(shí)”,本案例解決中,教師要引導(dǎo)學(xué)生積極參與對(duì)方法1~5異同的認(rèn)識(shí)、優(yōu)劣的認(rèn)識(shí)、本質(zhì)的認(rèn)識(shí),對(duì)哪些方法是通性通法、哪些技巧性過強(qiáng)展開討論,厘清方法中蘊(yùn)含思想方法,以及分析方法形成中學(xué)生所犯錯(cuò)誤等等。

    2.3反思

    在心理學(xué)上,反思屬于元認(rèn)知概念的范疇,反思即元認(rèn)知,是人們以自己的認(rèn)知活動(dòng)過程及結(jié)果為認(rèn)識(shí)對(duì)象的認(rèn)識(shí)活動(dòng)。在問題解決后,教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思,一般地,反思的視角有:從多樣的解法中能否找到問題的本質(zhì)?問題隱含的數(shù)學(xué)背景是什么呢?問題能否進(jìn)行推廣?問題能否進(jìn)行優(yōu)化?等等,關(guān)于問題的“背景、怎樣推廣、如何應(yīng)用”將在下文給出。

    3背景揭示——研究性學(xué)習(xí)的亮點(diǎn)

    背景指試題的背景,即編制的試題中直接或者間接含有的一些基本知識(shí)、基本問題、基本思想和基本方法等,則稱這些基本知識(shí)、問題、思想和方法等為這些試題的數(shù)學(xué)背景,背景揭示有利于認(rèn)識(shí)問題的原型,有利于尋求與問題匹配的優(yōu)美解,有利于揭示思路分析的合理性,有利于培養(yǎng)建立原型認(rèn)知能力,文中研究的問題含有深刻的數(shù)學(xué)背景一外森比克不等式。

    3.1背景揭示

    點(diǎn)評(píng) 外森比克不等式是經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型,刻畫了三邊與面積間的不等關(guān)系,在形式上具有簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美,同時(shí),它是很多經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的生長(zhǎng)點(diǎn),不難看出,案例中的問題基于外森比克不等式編制而成:題干中的AB2 +AC2 -AB

    ,AC實(shí)質(zhì)上是外森比克不等式的另一種表征形式(下文優(yōu)美解法處說明)。

    3.2優(yōu)美解法

    “你能用不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎?你能一眼就看出它來嗎?”[1]華羅庚教授對(duì)問題的解決提出了精辟的論述:“復(fù)雜的問題要善于‘退,足夠地‘退,退到最原始而不失重要性的地方”,“原始而不失重要性的地方”就是我們常常說的本質(zhì),基于問題背景,引導(dǎo)學(xué)生從問題的本質(zhì)得到優(yōu)秀的解答方法:

    基于此,可以對(duì)問題進(jìn)行不同角度拓展——問題變式。

    4 問題變式——研究性學(xué)習(xí)的難點(diǎn)

    問題變式是研究性學(xué)習(xí)的難點(diǎn),問題變式是指相對(duì)于某種范式,不斷變更問題情境或改變思維角度,使問題的非本質(zhì)屬性時(shí)隱時(shí)現(xiàn),而問題的本質(zhì)屬性保持不變的變化方式,布魯納從心理學(xué)的角度指出:“早期的多樣化訓(xùn)練,是產(chǎn)生理智行為的條件之一,除非學(xué)生經(jīng)歷某些變化,否則難以形成一般編碼,”在布魯納看來,一般性編碼就是較高層次的規(guī)則,而這無疑是我們通常意義上的程序性知識(shí),或稱技能,要形成一般性編碼就要進(jìn)行變式練習(xí),陳景潤(rùn)先生指出“題有千變,貴在有根,”研究性學(xué)習(xí)中問題是變式的原型,是變式的根,在研究性學(xué)習(xí)中,教師要不斷地變更數(shù)學(xué)問題中的情景或改變思維的角度,變換問題中的條件或結(jié)論,轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容,配置各種實(shí)際應(yīng)用的環(huán)境等,以期暴露問題的本質(zhì)特征或內(nèi)在練習(xí)的教學(xué)方法。[2]特別指出,試題變式中“更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)變式的共同本質(zhì):“變化中求不變”、“求變以突出其中不變的因素,”[3]因此,教師通過變換問題中“元素狀態(tài)”、“構(gòu)造原件”、“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”等,引導(dǎo)學(xué)生獲得問題的一系列變式。

    4.1變“元素狀態(tài)”

    4.2變“構(gòu)造原件”

    4.3變“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”

    點(diǎn)評(píng) 變式1-6層層遞進(jìn),逐步深入,變式中變的有:原件狀態(tài)、構(gòu)造原件以及關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu);不變的有:?jiǎn)栴}呈現(xiàn)形式或解答方法,在此環(huán)節(jié),教師應(yīng)組織學(xué)生討論:變式中那些量發(fā)生變化、哪些量沒有變化,沒有變化的量在變式中起什么作用。以次讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)變式的一般方法:由一個(gè)問題變成一類問題,由一小類問題變成一大類問題,最終讓學(xué)生在變與不變過程中,形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

    感受問題的眾多變式后,自然會(huì)想到一個(gè)研究性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)——成果應(yīng)用。

    5 成果應(yīng)用——研究性學(xué)習(xí)的升華點(diǎn)

    《課標(biāo)》的第五條基本理念:“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”,《課標(biāo)》明確指出“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)比不可少的工具,在數(shù)學(xué)教學(xué)中要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”,提倡“應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其它學(xué)科的聯(lián)系,促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí),提高實(shí)踐能力”,不難看出,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要任務(wù)之一,研究性學(xué)習(xí)既要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得的成果(知識(shí)的獲取、方法的形成、思維的發(fā)展),又要注重學(xué)習(xí)成果的應(yīng)用,經(jīng)歷四個(gè)環(huán)節(jié)后,學(xué)生對(duì)問題本身有了深入的理解,此時(shí)還需要對(duì)成果加以應(yīng)用。

    5.1應(yīng)用問題的解決方法直接處理新問題

    5.2編擬新問題

    限于篇幅,以上三個(gè)新問題的求解予以略去,讀者可以自行探究解決。

    點(diǎn)評(píng) 學(xué)以致用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求,也是研究性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn),很自然要問:用什么?怎么用?先回答用什么的問題:用已有的方法、思想、模型等等,在問題1、2的解答中用到了問題解決環(huán)節(jié)的方法;在新問題的命制中主要基于外森比克不等式這一數(shù)學(xué)模型,怎么用涉及5個(gè)層次:記、仿、變、悟、創(chuàng),即識(shí)記、簡(jiǎn)單模仿、變式運(yùn)用、自發(fā)感悟、創(chuàng)新創(chuàng)造,教師在應(yīng)用環(huán)節(jié)應(yīng)發(fā)展學(xué)生從記、仿變中逐步走向悟、走向創(chuàng)造的能力,感受解決數(shù)學(xué)問題的一般方法:由解決一個(gè)問題到解決一類問題,由解決一小類問題上升到解決一大類問題。

    后記

    研究性學(xué)習(xí)是當(dāng)前最為重要的學(xué)習(xí)方式之一,研究性學(xué)習(xí)包含了自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等重要學(xué)習(xí)的方式,我們認(rèn)為研究性學(xué)習(xí)的目標(biāo)是:讓學(xué)生在經(jīng)歷類似科學(xué)研究的過程中,體驗(yàn)科學(xué)探究之歷程,培養(yǎng)良好的思維品質(zhì);讓學(xué)生在研究中大膽交流,在交流中形成“共識(shí)”;營(yíng)造爭(zhēng)鳴的氛圍,讓學(xué)生在爭(zhēng)鳴的環(huán)境中迸發(fā)出智慧的光芒,最后指出,研究性學(xué)習(xí)需要注意以下幾個(gè)問題:研究問題的選取、教師的作用、學(xué)生的主體地位、評(píng)價(jià)的方式和成果的展現(xiàn)。

    參考文獻(xiàn)

    [1]波利亞.怎樣解題[M].涂泓,馮承天譯上海:上??萍冀逃霭嫔?,2007

    [2]鄭毓信.考試高壓下的中國(guó)數(shù)學(xué)教育:現(xiàn)狀與對(duì)策[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2007(10):23-26

    [3]江志杰,基于數(shù)學(xué)解題變式的高三教學(xué)主張[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2013(11:54-58

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