對(duì)一道向量最值問題的研究性學(xué)習(xí)

蔣紅珠 劉成龍

研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，用類似科學(xué)研究的方式，自主探究、學(xué)習(xí)的過程，這個(gè)過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測(cè)、探究適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明，研究性學(xué)習(xí)的一般步驟是：提出問題——研究的起點(diǎn);解決問題——研究性學(xué)習(xí)的重點(diǎn);背景揭示——研究性學(xué)習(xí)的亮點(diǎn);推廣問題——研究性學(xué)習(xí)的難點(diǎn);成果應(yīng)用——研究性學(xué)習(xí)的升華點(diǎn)，文中對(duì)一個(gè)向量最值問題展開研究性學(xué)習(xí)，以此作為研究性學(xué)習(xí)的一個(gè)案例。

1問題提出——研究性學(xué)習(xí)的起點(diǎn)

希爾伯特指出：“數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)的靈魂，”依此類推，數(shù)學(xué)問題是研究性學(xué)習(xí)的靈魂，數(shù)學(xué)問題是研究性學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，好的數(shù)學(xué)問題引領(lǐng)研究活動(dòng)的順利開展，伴隨整個(gè)研究性活動(dòng)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（下文簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）指出：“數(shù)學(xué)探究課題的選擇是完成探究學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，課題的選擇要有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程，有助于學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)、探究問題的意識(shí)，有助于鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的想像力和創(chuàng)造性，”具體來講，一個(gè)適宜研究性學(xué)習(xí)的問題至少包含以下幾個(gè)方面：

（1）問題真實(shí)，源于學(xué)生實(shí)際;

（2）問題難度適中，經(jīng)過學(xué)生“跳一跳”能解決;

（3）問題背景深刻、內(nèi)涵豐富;

（4）解答視角寬，便于學(xué)生從不同角度探究;

（5）問題可變性強(qiáng)，宜于推廣和變式;

（6）問題與其它數(shù)學(xué)內(nèi)容融合度大。

據(jù)此，如下問題可以認(rèn)為是研究性學(xué)習(xí)的良好素材：

2問題解決——研究性學(xué)習(xí)的重點(diǎn)

從心理學(xué)角度來看，問題解決是指為了從問題的初始狀態(tài)到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)，而采取一系列具有目標(biāo)指向性的認(rèn)知操作的過程。從系統(tǒng)論來看，一個(gè)問題就是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的處理（問題解決）就是把系統(tǒng)中的一個(gè)個(gè)零散的信息按照一定的順序串在一起，形成一個(gè)有機(jī)整體，從數(shù)學(xué)的角度來看，問題解決指消除已知條件和求解目標(biāo)間差異的過程，這一過程一般包括：理解問題、提出假設(shè)、檢驗(yàn)假設(shè)，波利亞在其巨著《怎樣解題》中指出問題解決包括：弄清題意、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃和回顧，[1]研究性學(xué)習(xí)中，問題解決需要在教師的組織下，讓學(xué)生“行動(dòng)”起來：通過查閱資料、獨(dú)立思考，在生生互動(dòng)、師生互動(dòng)中達(dá)成問題解決的“共識(shí)”——研究的初級(jí)成果，在問題解決中，教師組織學(xué)生完成三項(xiàng)活動(dòng)： （1）成果展示; （2）點(diǎn)評(píng); （3）反思。

2.1成果展示

學(xué)生成果重在方法梳理和思路分析，并通過成果展示增加成功體驗(yàn)和自我效能感，問題的成果展示（此處僅展示整理后解題方法）如下：

視角1 解析法

方法1 配方法

方法2 函數(shù)法

視角2 向量法

視角3 三角代換法

視角4 有界法

視角5 數(shù)形結(jié)合法

2.2點(diǎn)評(píng)

點(diǎn)評(píng)即分析、賞析，包括學(xué)生自評(píng)、互評(píng)及教師點(diǎn)評(píng)，在這一過程中，需要對(duì)好的做法進(jìn)行分享，需要指出研究中存在的問題，最終實(shí)現(xiàn)在評(píng)價(jià)中達(dá)成“共識(shí)”，本案例解決中，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極參與對(duì)方法1～5異同的認(rèn)識(shí)、優(yōu)劣的認(rèn)識(shí)、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對(duì)哪些方法是通性通法、哪些技巧性過強(qiáng)展開討論，厘清方法中蘊(yùn)含思想方法，以及分析方法形成中學(xué)生所犯錯(cuò)誤等等。

2.3反思

在心理學(xué)上，反思屬于元認(rèn)知概念的范疇，反思即元認(rèn)知，是人們以自己的認(rèn)知活動(dòng)過程及結(jié)果為認(rèn)識(shí)對(duì)象的認(rèn)識(shí)活動(dòng)。在問題解決后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，一般地，反思的視角有：從多樣的解法中能否找到問題的本質(zhì)？問題隱含的數(shù)學(xué)背景是什么呢？問題能否進(jìn)行推廣？問題能否進(jìn)行優(yōu)化？等等，關(guān)于問題的“背景、怎樣推廣、如何應(yīng)用”將在下文給出。

3背景揭示——研究性學(xué)習(xí)的亮點(diǎn)

背景指試題的背景，即編制的試題中直接或者間接含有的一些基本知識(shí)、基本問題、基本思想和基本方法等，則稱這些基本知識(shí)、問題、思想和方法等為這些試題的數(shù)學(xué)背景，背景揭示有利于認(rèn)識(shí)問題的原型，有利于尋求與問題匹配的優(yōu)美解，有利于揭示思路分析的合理性，有利于培養(yǎng)建立原型認(rèn)知能力，文中研究的問題含有深刻的數(shù)學(xué)背景一外森比克不等式。

3.1背景揭示

點(diǎn)評(píng) 外森比克不等式是經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，刻畫了三邊與面積間的不等關(guān)系，在形式上具有簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美，同時(shí)，它是很多經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的生長(zhǎng)點(diǎn)，不難看出，案例中的問題基于外森比克不等式編制而成：題干中的AB2 +AC2 -AB

，AC實(shí)質(zhì)上是外森比克不等式的另一種表征形式（下文優(yōu)美解法處說明）。

3.2優(yōu)美解法

“你能用不同的方式推導(dǎo)這個(gè)結(jié)果嗎？你能一眼就看出它來嗎？”[1]華羅庚教授對(duì)問題的解決提出了精辟的論述：“復(fù)雜的問題要善于‘退，足夠地‘退，退到最原始而不失重要性的地方”，“原始而不失重要性的地方”就是我們常常說的本質(zhì)，基于問題背景，引導(dǎo)學(xué)生從問題的本質(zhì)得到優(yōu)秀的解答方法：

基于此，可以對(duì)問題進(jìn)行不同角度拓展——問題變式。

4 問題變式——研究性學(xué)習(xí)的難點(diǎn)

問題變式是研究性學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，問題變式是指相對(duì)于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使問題的非本質(zhì)屬性時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而問題的本質(zhì)屬性保持不變的變化方式，布魯納從心理學(xué)的角度指出：“早期的多樣化訓(xùn)練，是產(chǎn)生理智行為的條件之一，除非學(xué)生經(jīng)歷某些變化，否則難以形成一般編碼，”在布魯納看來，一般性編碼就是較高層次的規(guī)則，而這無疑是我們通常意義上的程序性知識(shí)，或稱技能，要形成一般性編碼就要進(jìn)行變式練習(xí)，陳景潤(rùn)先生指出“題有千變，貴在有根，”研究性學(xué)習(xí)中問題是變式的原型，是變式的根，在研究性學(xué)習(xí)中，教師要不斷地變更數(shù)學(xué)問題中的情景或改變思維的角度，變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，配置各種實(shí)際應(yīng)用的環(huán)境等，以期暴露問題的本質(zhì)特征或內(nèi)在練習(xí)的教學(xué)方法。[2]特別指出，試題變式中“更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)變式的共同本質(zhì)：“變化中求不變”、“求變以突出其中不變的因素，”[3]因此，教師通過變換問題中“元素狀態(tài)”、“構(gòu)造原件”、“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”等，引導(dǎo)學(xué)生獲得問題的一系列變式。

4.1變“元素狀態(tài)”

4.2變“構(gòu)造原件”

4.3變“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)”

點(diǎn)評(píng) 變式1-6層層遞進(jìn)，逐步深入，變式中變的有：原件狀態(tài)、構(gòu)造原件以及關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu);不變的有：?jiǎn)栴}呈現(xiàn)形式或解答方法，在此環(huán)節(jié)，教師應(yīng)組織學(xué)生討論：變式中那些量發(fā)生變化、哪些量沒有變化，沒有變化的量在變式中起什么作用。以次讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)變式的一般方法：由一個(gè)問題變成一類問題，由一小類問題變成一大類問題，最終讓學(xué)生在變與不變過程中，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

感受問題的眾多變式后，自然會(huì)想到一個(gè)研究性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)——成果應(yīng)用。

5 成果應(yīng)用——研究性學(xué)習(xí)的升華點(diǎn)

《課標(biāo)》的第五條基本理念：“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”，《課標(biāo)》明確指出“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)比不可少的工具，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”，提倡“應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其它學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力”，不難看出，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要任務(wù)之一，研究性學(xué)習(xí)既要重視學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得的成果（知識(shí)的獲取、方法的形成、思維的發(fā)展），又要注重學(xué)習(xí)成果的應(yīng)用，經(jīng)歷四個(gè)環(huán)節(jié)后，學(xué)生對(duì)問題本身有了深入的理解，此時(shí)還需要對(duì)成果加以應(yīng)用。

5.1應(yīng)用問題的解決方法直接處理新問題

5.2編擬新問題

限于篇幅，以上三個(gè)新問題的求解予以略去，讀者可以自行探究解決。

點(diǎn)評(píng) 學(xué)以致用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求，也是研究性學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)，很自然要問：用什么？怎么用？先回答用什么的問題：用已有的方法、思想、模型等等，在問題1、2的解答中用到了問題解決環(huán)節(jié)的方法;在新問題的命制中主要基于外森比克不等式這一數(shù)學(xué)模型，怎么用涉及5個(gè)層次：記、仿、變、悟、創(chuàng)，即識(shí)記、簡(jiǎn)單模仿、變式運(yùn)用、自發(fā)感悟、創(chuàng)新創(chuàng)造，教師在應(yīng)用環(huán)節(jié)應(yīng)發(fā)展學(xué)生從記、仿變中逐步走向悟、走向創(chuàng)造的能力，感受解決數(shù)學(xué)問題的一般方法：由解決一個(gè)問題到解決一類問題，由解決一小類問題上升到解決一大類問題。

后記

研究性學(xué)習(xí)是當(dāng)前最為重要的學(xué)習(xí)方式之一，研究性學(xué)習(xí)包含了自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)等重要學(xué)習(xí)的方式，我們認(rèn)為研究性學(xué)習(xí)的目標(biāo)是：讓學(xué)生在經(jīng)歷類似科學(xué)研究的過程中，體驗(yàn)科學(xué)探究之歷程，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì);讓學(xué)生在研究中大膽交流，在交流中形成“共識(shí)”;營(yíng)造爭(zhēng)鳴的氛圍，讓學(xué)生在爭(zhēng)鳴的環(huán)境中迸發(fā)出智慧的光芒，最后指出，研究性學(xué)習(xí)需要注意以下幾個(gè)問題：研究問題的選取、教師的作用、學(xué)生的主體地位、評(píng)價(jià)的方式和成果的展現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

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