一道零點(diǎn)存在問題的“不簡單”處理

張威威

零點(diǎn)存在性的判斷和零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定作為高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在歷年的高考中都有體現(xiàn)，而通常的解決辦法主要是通過構(gòu)造新函數(shù)借助于導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的圖象，但這種方法對于比較復(fù)雜的函數(shù)處理起來比較困難，而通過掌握一些常見的復(fù)雜函數(shù)的圖象有助于理解和解決函數(shù)的零點(diǎn)存在問題。

筆者所在的學(xué)校為省級示范高中，學(xué)生有較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力和計(jì)算機(jī)水平，在以往的學(xué)習(xí)中學(xué)生能夠熟練使用幾何畫板處理數(shù)學(xué)中的圖象問題，解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，主要方法有零點(diǎn)存在性定理和圖象法，本文主要借助于圖象法，直觀的呈現(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，借此掌握常見的幾類與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的函數(shù)圖象，作為后期類似問題處理的基礎(chǔ)。

1模擬題簡介

該題綜合性較強(qiáng)，涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等多個(gè)高中數(shù)學(xué)的主干知識，有助于提升學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思維水平，是學(xué)生平時(shí)訓(xùn)練提升的優(yōu)秀素材。

2學(xué)生解題分析

學(xué)生在解答中發(fā)現(xiàn)，解法1和解法2可以通過直接分析可得，但在解法3和解法4中由于構(gòu)造的函數(shù)相對復(fù)雜，直接通過分析比較困難，所以學(xué)生就利用幾何畫板進(jìn)行處理得到結(jié)論。

在本題的解答過程中，學(xué)生主要是利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，本題中學(xué)生可以選擇構(gòu)造多種函數(shù)，但不同的函數(shù)在單調(diào)性及最值的處理中難易程度不同，所以對于較難分析的函數(shù)可以引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算機(jī)的幫助下利用畫圖軟件，加深對這幾類函數(shù)的圖象的分析與理解。

3解題教學(xué)的幾點(diǎn)思考

筆者通過本題的教學(xué)，有以下幾點(diǎn)感觸：

（1）在解題教學(xué)中要摸準(zhǔn)學(xué)情，把準(zhǔn)學(xué)生的思維起點(diǎn)，對于一些常見的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生與教師有著不同的認(rèn)識，在平時(shí)教學(xué)中不要把一些方法直接灌輸給學(xué)生，要站在學(xué)生角度，沿著學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，并結(jié)合教學(xué)的具體過程，引導(dǎo)學(xué)生變換角度看問題，提升思維能力和拓展思維空間，將此類問題的通法滲透給學(xué)生，從而提升學(xué)生的解題能力，提高課堂解題教學(xué)的效率。

（2）在解題教學(xué)中要重分析和比較，在此問題中可以使用分離參變量法轉(zhuǎn)換為最值問題，也可以直接構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題;在平時(shí)的教學(xué)中要多分析、多比較，讓學(xué)生逐步積累解題經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)再次遇到類似問題時(shí)，可以獨(dú)立分析從而選擇最佳解決方案。

（3）在解題教學(xué)中要注重計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用，借助計(jì)算機(jī)為學(xué)生提供更直觀、更深刻的認(rèn)識，這樣有助于加深理解，并能夠掌握常見函數(shù)的圖象。

參考文獻(xiàn)

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