數(shù)學文化視角下“橢圓及其標準方程”的教學策略

劉崢嶸

如何在中學數(shù)學教育中通過具體素材體現(xiàn)數(shù)學文化價值是數(shù)學教師必須思考和探索的問題，本文以“橢圓及其標準方程”為例，談談筆者對數(shù)學課堂中的數(shù)學文化滲透的實施與反思。

1問題的提出

《高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出：“數(shù)學文化是貫穿整個高中數(shù)學課程的重要內(nèi)容之一”，要求“滲透在每個板塊或?qū)ｎ}中”，并在教學中體現(xiàn)數(shù)學文化價值.2016年10月8號，教育部考試中心公布了[2016]第179號文件“關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，特別提出要關(guān)注數(shù)學文化，但很多一線教師對數(shù)學文化教學感到茫然，無從下手，或者，不以為然，數(shù)學的精神和思想方法也是數(shù)學教育應該追求的東西，如何在中學數(shù)學教育中通過具體素材體現(xiàn)數(shù)學文化價值是新課改中教師必須思考和探索的問題，本文以“橢圓及其標準方程”為例，談談筆者對數(shù)學課堂中的數(shù)學文化滲透的實施與反思。

2對本節(jié)教與學的認識

根據(jù)圓錐曲線的歷史，橢圓的歷史大致可以分成橢圓的發(fā)現(xiàn)、截線定義的形成、基本性質(zhì)的推導、焦半徑性質(zhì)的獲得、機械作圖的產(chǎn)生、軌跡定義的確立以及橢圓方程的推導等七個重要環(huán)節(jié)，教材通常只截取了最后三個環(huán)節(jié)，盡管這樣的處理方式相當簡潔，但對照發(fā)生教學方法，它存在如下不足：其一，沒有交待為什么我們要研究橢圓，因而未能讓學生產(chǎn)生足夠的學習動機;其二，沒有將橢圓概念建立在學生已有的知識基礎之上，橢圓的引入相當突兀，學生幾乎未能感受到橢圓知識的形成過程，從橢圓的發(fā)現(xiàn)到橢圓的截線定義，過渡起來相當自然，但從橢圓截線定義到橢圓基本性質(zhì)、再到焦半徑性質(zhì)，諸環(huán)節(jié)之間的過渡相當艱難，為了適合于教學，需要對其進行重構(gòu)。

3教學對策

本節(jié)作為圓錐曲線的起始課，在激發(fā)學生學習主動性上應給予更多的關(guān)注，本課設計是在數(shù)學文化視角下，以發(fā)生教學原理為理論依據(jù)：先動員學生查找、閱讀圓錐曲線的資料，促使學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，在教學活動中，通過讓學生展示圓錐曲線在實際中的應用的資料以及折紙活動，使學生感受數(shù)學的文化背景，增加用數(shù)學的意識;以實例引入，喚起學生對橢圓的感性認識;以橢圓的發(fā)現(xiàn)，即圓錐的截口曲線為切入點，通過丹德林雙球?qū)С鰴E圓的焦半徑性質(zhì)，過渡自然;以性質(zhì)為出發(fā)點，通過機械作圖的方法，與圓類比得到橢圓的定義;以曲線方程的求法為依托，通過坐標法建立并化簡得到橢圓的標準方程，整個過程是在橢圓的歷史演變上進行了一定意義的重構(gòu)，契合學生的學習需求并具趣味性。

3.1課前準備

課前發(fā)給學生如下資料：

（1）讀史明理，讀下列圓錐曲線的歷史，請思考①什么是圓錐曲線？②為什么叫圓錐曲線呢？材料：《欣賞圓錐曲線體驗歷史文化》（作者：嶺南師范學院數(shù)科院張映姜教授，該文發(fā)表于《數(shù)學通報》2012年第11期）.

設計意圖①動員學生查閱圓錐曲線的資料，充分挖掘積極因素，促進學生主動地學習，促使學生了解數(shù)學在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學觀，②折紙問題可以激發(fā)學生的學習興趣以及求知欲。

3.2教學過程

法國著名數(shù)學家笛卡爾受蜘蛛結(jié)網(wǎng)的啟示創(chuàng)立了直角坐標系，實現(xiàn)了幾何與代數(shù)的結(jié)合，他的思想核心是：把幾何學的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的，依照這種思想，他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在稱之為的“解析幾何學”，橢圓的概念緣于圖形，從各種圖形中發(fā)現(xiàn)橢圓的特征，提煉數(shù)量關(guān)系，形成橢圓定義是理解橢圓概念的必由之路，更是形成數(shù)學抽象的重要載體。

3.2.1創(chuàng)設情境，認識橢圓

情景1 將一圓形的玩具往一個方向用力壓或拉，變成什么形狀？

情景2 其實橢圓伴隨著我們的生活，看看透明杯子里的水平面是什么形狀？把杯子傾斜，水面是什么形狀？

設計意圖 讓學生感受到：①橢圓是壓扁的圓，②橢圓是用傾斜的平面截圓柱得到的。

圓、橢圓、雙曲線和拋物線這“四個兄弟”均為平面對圓錐所得的截口曲線，這四個兄弟一起構(gòu)成了圓錐曲線這個“大家庭”，這也是“圓錐曲線”名稱的由來，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的傳世之作《圓錐曲線論》中用截線的定義通過幾何方法創(chuàng)立了相當完美的圓錐曲線理論，但晦澀難懂，在必修二“直線和圓”中以及上周四學習“曲線與方程”時，我們學習了笛卡爾創(chuàng)立的坐標法，能否將橢圓的問題也用坐標法解決呢？答案是肯定的，但還需要找到能將橢圓問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的一些性質(zhì)，比利時數(shù)學家丹德林為我們準備了兩個球并得到了橢圓的一個漂亮性質(zhì)。

3.2.2歷史重現(xiàn)，了解橢圓

（Flash演示丹德林雙球）

問題探究1 橢圓的焦半徑性質(zhì)，

如圖1，在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個球分別與截面切于點E，F(xiàn).在橢圓上任取一點A，過點A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點B，C，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？發(fā)現(xiàn)哪些變量和不變量？在剛才重溫追隨橢圓歷史的過程中，你發(fā)現(xiàn)橢圓的性質(zhì)了嗎？

設計意 圖讓學生感受橢圓的形成過程，讓學生更接近數(shù)學的本源，更好地理解橢圓，讓學生感受橢圓的形成過程，讓學生更接近數(shù)學的本源，使學生從動點滿足的數(shù)量特征中抽象出這個數(shù)量關(guān)系，從而形成橢圓的概念。

3.2.3機械作圖，體會橢圓

數(shù)學實驗 選一根長度大于F1F2的細繩，將其兩端分別固定在F1F2點，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在畫板上慢慢移動，觀察畫出的軌跡是什么圖形？

設計意圖 通過動手讓學生感受橢圓的焦半徑性質(zhì)，進而體會橢圓，觀察筆尖的移動（即動點的變化），其數(shù)量特征是筆尖的每一個位置到兩個定點的距離之和不變，都等于細繩的長度，這就是對圖形的數(shù)量關(guān)系的抽象。

3.2.4總結(jié)歸納，定義橢圓

問題探究 2 結(jié)合實驗，類比圓的定義，請給橢圓下定義，能將橢圓定義的文字表述，用數(shù)學符號來表述嗎？

設計意圖通過橢圓定義的代數(shù)形式練習，讓學生多角度準確地把握橢圓的定義，這是用數(shù)量關(guān)系與數(shù)學符號準確簡潔地表達橢圓的概念，橢圓的標準方程建立了橢圓的幾何特征與數(shù)量關(guān)系的有機聯(lián)系，橢圓的概念從圖形特征出發(fā)揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，而橢圓的標準方程則從數(shù)量關(guān)系上抽象出橢圓的本質(zhì)規(guī)律，運用橢圓的標準方程可以幫助學生從多個角度理解橢圓的概念。

3.2.5合理建系，推導方程

問題探究3 如何求橢圓的方程？

3.2.6嘗試應用，品鑒橢圓

3.2.7知識整理，收獲方法

4對數(shù)學課堂中的數(shù)學文化滲透的的思考

4.1重視數(shù)學發(fā)現(xiàn)方法，體會知識的再創(chuàng)造過程

法國數(shù)學家龐加萊曾說：“要想預見數(shù)學的未來，正確的途徑是研究它的歷史和現(xiàn)狀”，張奠宙教授在《關(guān)于數(shù)學史和數(shù)學文化》一文中也強調(diào)“在數(shù)學教學中運用數(shù)學史知識時，不能簡單地、就事論事地介紹史實，而應該著重揭示含于歷史進程中的數(shù)學文化價值，營造數(shù)學的文化意境，提高數(shù)學的文化品位，”現(xiàn)在對數(shù)學史的介紹，只是在教材的邊框中展示，在教學中經(jīng)常被教師“無意”滑過，不僅沒有講是什么，更不談為什么，使得數(shù)學沒了“火熱的思考”，只?！氨洹倍鵁o“美麗”，在橢圓及其標準方程的教學中，筆者在數(shù)學史的長河中，尋找適當?shù)馁Y料創(chuàng)設情境，適當介紹圓錐曲線的歷史和丹德林雙球的內(nèi)容，使學生在橢圓的學習之前，了解橢圓的產(chǎn)生和發(fā)展的過程，這樣不僅僅可以激發(fā)學生的學習興趣，而且可以讓學生更接近數(shù)學的本源，幫助他們更好地理解與掌握橢圓，但在教學中運用數(shù)學史，尤其是要把數(shù)學史運用得當并非是一件容易的事，我們可以從數(shù)學史料中尋找與學生理解相匹配的素材，選擇合適的角度融入教學過程當中，這要求數(shù)學教師對所講教學內(nèi)容的發(fā)展過程有一定的了解，能根據(jù)教材及與之相關(guān)的數(shù)學史，對教學內(nèi)容重新設計和加工，制作成適合教學的設計。

4.2挖掘、揭示數(shù)學美，體會數(shù)學美的價值

數(shù)學創(chuàng)造過程歷史中的想象與直覺的運用告訴我們數(shù)學是美的，是一種冷峻嚴肅的美，沒有華麗的裝飾，達到一種高度抽象的美，讓數(shù)學史引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學獨特的美，鑒于數(shù)學史的這些重要作用，把數(shù)學史融入到教學中來是必然的，作為一名數(shù)學教師，有必要利用這些數(shù)學史來調(diào)動學生的積極性，對知識有較為系統(tǒng)全面的了解，幫助他們主動學習，在《橢圓及其標準方程》中，橢圓的定義具有高度的統(tǒng)一美、對稱美、和諧美，橢圓的方程具有簡潔美、對稱美，在本節(jié)課中，數(shù)學美的四個基本特征得到了淋漓盡致的體現(xiàn)，但學生的基礎知識和數(shù)學審美能力有限，并不都具有理想的鑒賞能力，因此，喚醒他們對數(shù)學的美好情感，崇尚對數(shù)學美的追求，是教學的任務之一。

4.3滲透數(shù)學文化的教學促進數(shù)學抽象素養(yǎng)的培育

數(shù)學抽象是指舍去事物的一切物理屬性得到數(shù)學研究對象的思維過程，主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系;從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學符號或數(shù)學術(shù)語予以表征，數(shù)學抽象具體表現(xiàn)在以下幾個方面：形成數(shù)學概念與規(guī)則、形成數(shù)學命題與模型、形成數(shù)學方法與思想等，數(shù)學抽象反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，是數(shù)學核心素養(yǎng)之一，基于數(shù)學文化的教學設計，數(shù)學抽象素養(yǎng)的培育貫穿在整個教學過程之中，體現(xiàn)在從幾何圖形中抽象橢圓的概念、性質(zhì)，橢圓的概念緣于圖形，從各種圖形中發(fā)現(xiàn)橢圓的特征，提煉數(shù)量關(guān)系，形成橢圓定義是理解橢圓概念的必由之路，更是形成數(shù)學抽象的重要載體。

參考文獻

[1]何小亞.數(shù)學學與教心理學[M].廣州：華南理工大學出版社，2011

[2]黃超，吳國建.讓橢圓的美在學生心中放飛一一“橢圓及其標準方程”課例及點評[J].中學教研（數(shù)學），2012（9）：22-25

[3]汪曉勤，王苗，鄒佳晨.HPM視角下的數(shù)學教學設計：以橢圓為例[J].數(shù)學教育學報，2011（5）：20-23

[4]王芳，汪曉勤.HPM視角下橢圓概念教學的意[J].中學數(shù)學月刊，2012（4）：57-60

[5]鄒佳晨.橢圓的歷史與教學[D].華東師范大學， 2010

[6]王修湯.新課標下圓錐曲線定義的教學改進及反思[J].中學數(shù)學教學參考， 2008（7）：14—16