數(shù)學(xué)文化視角下“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)策略

劉崢嶸

如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中通過具體素材體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值是數(shù)學(xué)教師必須思考和探索的問題，本文以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，談?wù)劰P者對數(shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)文化滲透的實施與反思。

1問題的提出

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“數(shù)學(xué)文化是貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一”，要求“滲透在每個板塊或?qū)ｎ}中”，并在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值.2016年10月8號，教育部考試中心公布了[2016]第179號文件“關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，特別提出要關(guān)注數(shù)學(xué)文化，但很多一線教師對數(shù)學(xué)文化教學(xué)感到茫然，無從下手，或者，不以為然，數(shù)學(xué)的精神和思想方法也是數(shù)學(xué)教育應(yīng)該追求的東西，如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中通過具體素材體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值是新課改中教師必須思考和探索的問題，本文以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，談?wù)劰P者對數(shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)文化滲透的實施與反思。

2對本節(jié)教與學(xué)的認(rèn)識

根據(jù)圓錐曲線的歷史，橢圓的歷史大致可以分成橢圓的發(fā)現(xiàn)、截線定義的形成、基本性質(zhì)的推導(dǎo)、焦半徑性質(zhì)的獲得、機(jī)械作圖的產(chǎn)生、軌跡定義的確立以及橢圓方程的推導(dǎo)等七個重要環(huán)節(jié)，教材通常只截取了最后三個環(huán)節(jié)，盡管這樣的處理方式相當(dāng)簡潔，但對照發(fā)生教學(xué)方法，它存在如下不足：其一，沒有交待為什么我們要研究橢圓，因而未能讓學(xué)生產(chǎn)生足夠的學(xué)習(xí)動機(jī);其二，沒有將橢圓概念建立在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)之上，橢圓的引入相當(dāng)突兀，學(xué)生幾乎未能感受到橢圓知識的形成過程，從橢圓的發(fā)現(xiàn)到橢圓的截線定義，過渡起來相當(dāng)自然，但從橢圓截線定義到橢圓基本性質(zhì)、再到焦半徑性質(zhì)，諸環(huán)節(jié)之間的過渡相當(dāng)艱難，為了適合于教學(xué)，需要對其進(jìn)行重構(gòu)。

3教學(xué)對策

本節(jié)作為圓錐曲線的起始課，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動性上應(yīng)給予更多的關(guān)注，本課設(shè)計是在數(shù)學(xué)文化視角下，以發(fā)生教學(xué)原理為理論依據(jù)：先動員學(xué)生查找、閱讀圓錐曲線的資料，促使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，在教學(xué)活動中，通過讓學(xué)生展示圓錐曲線在實際中的應(yīng)用的資料以及折紙活動，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的文化背景，增加用數(shù)學(xué)的意識;以實例引入，喚起學(xué)生對橢圓的感性認(rèn)識;以橢圓的發(fā)現(xiàn)，即圓錐的截口曲線為切入點，通過丹德林雙球?qū)С鰴E圓的焦半徑性質(zhì)，過渡自然;以性質(zhì)為出發(fā)點，通過機(jī)械作圖的方法，與圓類比得到橢圓的定義;以曲線方程的求法為依托，通過坐標(biāo)法建立并化簡得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，整個過程是在橢圓的歷史演變上進(jìn)行了一定意義的重構(gòu)，契合學(xué)生的學(xué)習(xí)需求并具趣味性。

3.1課前準(zhǔn)備

課前發(fā)給學(xué)生如下資料：

（1）讀史明理，讀下列圓錐曲線的歷史，請思考①什么是圓錐曲線？②為什么叫圓錐曲線呢？材料：《欣賞圓錐曲線體驗歷史文化》（作者：嶺南師范學(xué)院數(shù)科院張映姜教授，該文發(fā)表于《數(shù)學(xué)通報》2012年第11期）.

設(shè)計意圖①動員學(xué)生查閱圓錐曲線的資料，充分挖掘積極因素，促進(jìn)學(xué)生主動地學(xué)習(xí)，促使學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀，②折紙問題可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣以及求知欲。

3.2教學(xué)過程

法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾受蜘蛛結(jié)網(wǎng)的啟示創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)了幾何與代數(shù)的結(jié)合，他的思想核心是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問題的目的，依照這種思想，他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在稱之為的“解析幾何學(xué)”，橢圓的概念緣于圖形，從各種圖形中發(fā)現(xiàn)橢圓的特征，提煉數(shù)量關(guān)系，形成橢圓定義是理解橢圓概念的必由之路，更是形成數(shù)學(xué)抽象的重要載體。

3.2.1創(chuàng)設(shè)情境，認(rèn)識橢圓

情景1 將一圓形的玩具往一個方向用力壓或拉，變成什么形狀？

情景2 其實橢圓伴隨著我們的生活，看看透明杯子里的水平面是什么形狀？把杯子傾斜，水面是什么形狀？

設(shè)計意圖 讓學(xué)生感受到：①橢圓是壓扁的圓，②橢圓是用傾斜的平面截圓柱得到的。

圓、橢圓、雙曲線和拋物線這“四個兄弟”均為平面對圓錐所得的截口曲線，這四個兄弟一起構(gòu)成了圓錐曲線這個“大家庭”，這也是“圓錐曲線”名稱的由來，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的傳世之作《圓錐曲線論》中用截線的定義通過幾何方法創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線理論，但晦澀難懂，在必修二“直線和圓”中以及上周四學(xué)習(xí)“曲線與方程”時，我們學(xué)習(xí)了笛卡爾創(chuàng)立的坐標(biāo)法，能否將橢圓的問題也用坐標(biāo)法解決呢？答案是肯定的，但還需要找到能將橢圓問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的一些性質(zhì)，比利時數(shù)學(xué)家丹德林為我們準(zhǔn)備了兩個球并得到了橢圓的一個漂亮性質(zhì)。

3.2.2歷史重現(xiàn)，了解橢圓

（Flash演示丹德林雙球）

問題探究1 橢圓的焦半徑性質(zhì)，

如圖1，在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，兩個球分別與截面切于點E，F(xiàn).在橢圓上任取一點A，過點A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點B，C，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？發(fā)現(xiàn)哪些變量和不變量？在剛才重溫追隨橢圓歷史的過程中，你發(fā)現(xiàn)橢圓的性質(zhì)了嗎？

設(shè)計意 圖讓學(xué)生感受橢圓的形成過程，讓學(xué)生更接近數(shù)學(xué)的本源，更好地理解橢圓，讓學(xué)生感受橢圓的形成過程，讓學(xué)生更接近數(shù)學(xué)的本源，使學(xué)生從動點滿足的數(shù)量特征中抽象出這個數(shù)量關(guān)系，從而形成橢圓的概念。

3.2.3機(jī)械作圖，體會橢圓

數(shù)學(xué)實驗 選一根長度大于F1F2的細(xì)繩，將其兩端分別固定在F1F2點，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在畫板上慢慢移動，觀察畫出的軌跡是什么圖形？

設(shè)計意圖 通過動手讓學(xué)生感受橢圓的焦半徑性質(zhì)，進(jìn)而體會橢圓，觀察筆尖的移動（即動點的變化），其數(shù)量特征是筆尖的每一個位置到兩個定點的距離之和不變，都等于細(xì)繩的長度，這就是對圖形的數(shù)量關(guān)系的抽象。

3.2.4總結(jié)歸納，定義橢圓

問題探究 2 結(jié)合實驗，類比圓的定義，請給橢圓下定義，能將橢圓定義的文字表述，用數(shù)學(xué)符號來表述嗎？

設(shè)計意圖通過橢圓定義的代數(shù)形式練習(xí)，讓學(xué)生多角度準(zhǔn)確地把握橢圓的定義，這是用數(shù)量關(guān)系與數(shù)學(xué)符號準(zhǔn)確簡潔地表達(dá)橢圓的概念，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建立了橢圓的幾何特征與數(shù)量關(guān)系的有機(jī)聯(lián)系，橢圓的概念從圖形特征出發(fā)揭示了橢圓的本質(zhì)屬性，而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則從數(shù)量關(guān)系上抽象出橢圓的本質(zhì)規(guī)律，運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以幫助學(xué)生從多個角度理解橢圓的概念。

3.2.5合理建系，推導(dǎo)方程

問題探究3 如何求橢圓的方程？

3.2.6嘗試應(yīng)用，品鑒橢圓

3.2.7知識整理，收獲方法

4對數(shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)文化滲透的的思考

4.1重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)方法，體會知識的再創(chuàng)造過程

法國數(shù)學(xué)家龐加萊曾說：“要想預(yù)見數(shù)學(xué)的未來，正確的途徑是研究它的歷史和現(xiàn)狀”，張奠宙教授在《關(guān)于數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化》一文中也強調(diào)“在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史知識時，不能簡單地、就事論事地介紹史實，而應(yīng)該著重揭示含于歷史進(jìn)程中的數(shù)學(xué)文化價值，營造數(shù)學(xué)的文化意境，提高數(shù)學(xué)的文化品位，”現(xiàn)在對數(shù)學(xué)史的介紹，只是在教材的邊框中展示，在教學(xué)中經(jīng)常被教師“無意”滑過，不僅沒有講是什么，更不談為什么，使得數(shù)學(xué)沒了“火熱的思考”，只?！氨洹倍鵁o“美麗”，在橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)中，筆者在數(shù)學(xué)史的長河中，尋找適當(dāng)?shù)馁Y料創(chuàng)設(shè)情境，適當(dāng)介紹圓錐曲線的歷史和丹德林雙球的內(nèi)容，使學(xué)生在橢圓的學(xué)習(xí)之前，了解橢圓的產(chǎn)生和發(fā)展的過程，這樣不僅僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且可以讓學(xué)生更接近數(shù)學(xué)的本源，幫助他們更好地理解與掌握橢圓，但在教學(xué)中運用數(shù)學(xué)史，尤其是要把數(shù)學(xué)史運用得當(dāng)并非是一件容易的事，我們可以從數(shù)學(xué)史料中尋找與學(xué)生理解相匹配的素材，選擇合適的角度融入教學(xué)過程當(dāng)中，這要求數(shù)學(xué)教師對所講教學(xué)內(nèi)容的發(fā)展過程有一定的了解，能根據(jù)教材及與之相關(guān)的數(shù)學(xué)史，對教學(xué)內(nèi)容重新設(shè)計和加工，制作成適合教學(xué)的設(shè)計。

4.2挖掘、揭示數(shù)學(xué)美，體會數(shù)學(xué)美的價值

數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程歷史中的想象與直覺的運用告訴我們數(shù)學(xué)是美的，是一種冷峻嚴(yán)肅的美，沒有華麗的裝飾，達(dá)到一種高度抽象的美，讓數(shù)學(xué)史引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)獨特的美，鑒于數(shù)學(xué)史的這些重要作用，把數(shù)學(xué)史融入到教學(xué)中來是必然的，作為一名數(shù)學(xué)教師，有必要利用這些數(shù)學(xué)史來調(diào)動學(xué)生的積極性，對知識有較為系統(tǒng)全面的了解，幫助他們主動學(xué)習(xí)，在《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》中，橢圓的定義具有高度的統(tǒng)一美、對稱美、和諧美，橢圓的方程具有簡潔美、對稱美，在本節(jié)課中，數(shù)學(xué)美的四個基本特征得到了淋漓盡致的體現(xiàn)，但學(xué)生的基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)審美能力有限，并不都具有理想的鑒賞能力，因此，喚醒他們對數(shù)學(xué)的美好情感，崇尚對數(shù)學(xué)美的追求，是教學(xué)的任務(wù)之一。

4.3滲透數(shù)學(xué)文化的教學(xué)促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培育

數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程，主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系;從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征，數(shù)學(xué)抽象具體表現(xiàn)在以下幾個方面：形成數(shù)學(xué)概念與規(guī)則、形成數(shù)學(xué)命題與模型、形成數(shù)學(xué)方法與思想等，數(shù)學(xué)抽象反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，基于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)設(shè)計，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培育貫穿在整個教學(xué)過程之中，體現(xiàn)在從幾何圖形中抽象橢圓的概念、性質(zhì)，橢圓的概念緣于圖形，從各種圖形中發(fā)現(xiàn)橢圓的特征，提煉數(shù)量關(guān)系，形成橢圓定義是理解橢圓概念的必由之路，更是形成數(shù)學(xué)抽象的重要載體。

參考文獻(xiàn)

[1]何小亞.數(shù)學(xué)學(xué)與教心理學(xué)[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2011

[2]黃超，吳國建.讓橢圓的美在學(xué)生心中放飛一一“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”課例及點評[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2012（9）：22-25

[3]汪曉勤，王苗，鄒佳晨.HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計：以橢圓為例[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011（5）：20-23

[4]王芳，汪曉勤.HPM視角下橢圓概念教學(xué)的意[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（4）：57-60

[5]鄒佳晨.橢圓的歷史與教學(xué)[D].華東師范大學(xué)， 2010

[6]王修湯.新課標(biāo)下圓錐曲線定義的教學(xué)改進(jìn)及反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考， 2008（7）：14—16