陳紀(jì)韋華 林勁松
2017年是福建省各地市統(tǒng)一使用同一份中考試卷的第一年,意義非同尋常,本份試卷的第24題,以兩個(gè)相似矩形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)為載體,探究變化過程中的不變性,具有典型性、示范性、拓展性、研究性,承載知識(shí)的“生長點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”,對思維的靈活性、深刻性、發(fā)散性、獨(dú)創(chuàng)性有較高的要求,本文以該題為例,對其評題、析題、解題、變題,揭示蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法,挖掘隱含其中的問題本質(zhì)屬性,引導(dǎo)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。
1試題呈現(xiàn)及評價(jià)
原題呈現(xiàn)
本題是2017年福建省中考卷的幾何壓軸題,它承載著更多的功能,主要考查:矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中點(diǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的概念和性質(zhì),考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理能力、創(chuàng)新意識(shí)、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,解題思路靈活,入口較寬,又有深度,方法多樣。
圖形看似復(fù)雜,其實(shí)是兩個(gè)相似矩形共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并研究變化過程中的不變性,看似靜止的圖形,其實(shí)靜中有動(dòng),變化中探尋本質(zhì),圖形似曾相識(shí),是基于傳統(tǒng)題進(jìn)行創(chuàng)新,內(nèi)涵豐富,不僅將初中數(shù)學(xué)中核心的知識(shí)(矩形、相似、圓、等腰三角形等)巧妙融合,而且將知識(shí)、技能、思想方法融為一體,深度結(jié)合,兩小題互相獨(dú)立,螺旋上升,穩(wěn)步提升,完成每一問的推理證明又都需對題目的已知條件進(jìn)行挖掘、創(chuàng)造,通過不斷地轉(zhuǎn)化,尋求解題的途徑,對學(xué)生的思維水平有很高的要求,突出了壓軸題應(yīng)有的選拔區(qū)分功能,同時(shí),解法的多樣性,圖形的熟悉感為不同層次的學(xué)生提供了廣闊的想象空間,為不同思維層次的學(xué)生搭建了不同的平臺(tái)。
2解法展示及分析
3由解法引發(fā)的思考
3.1解其題,研其式
一道高效的中考題,特別是壓軸題,經(jīng)過命題者精心編制,具有典型性、示范性、拓展性、研究性,涉及核心內(nèi)容多,數(shù)學(xué)思想方法廣,應(yīng)充分挖掘其內(nèi)在價(jià)值,可以從各個(gè)“思維觸發(fā)點(diǎn)”對其解法探究,能夠鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,同時(shí)形成數(shù)學(xué)思想方法,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),拓展思維能力,例如上文中對2017年福建中考題的解法探究,在幾何直觀的基礎(chǔ)上從不同的角度產(chǎn)生多種典型解法,達(dá)到“千山競秀,草木蒙其上,若云興霧蔚”,同時(shí),解題后應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對多種解法進(jìn)行思維整理,總結(jié)思維觸發(fā)點(diǎn),比較解法優(yōu)劣,優(yōu)化思維過程,提煉出更好、更優(yōu)、更典型、更便捷的解題方法,加深對知識(shí)的理解、掌握,形成自己的解題經(jīng)驗(yàn),積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。
3.2歸其道,養(yǎng)其心
在“解其題,研其式”的過程中,處處體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的融入,此題的解答過程主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有幾何直觀和推理轉(zhuǎn)化,整個(gè)解題過程,直觀想象是此題具體解題方法的基礎(chǔ)——通過觀察對圖形整體感知,做出判斷ΔADP~ΔCDF.在此基礎(chǔ)上推理轉(zhuǎn)化是核心,要證明ΔADP~ΔCDF,分別從角入手,從對應(yīng)邊的比入手,尋找一系列等線段、等角、等比例轉(zhuǎn)化與化歸,幾何推理貫穿始終,因此,在平時(shí)解題的教學(xué)過程中,應(yīng)考慮如何在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中積累、轉(zhuǎn)化、深化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),向更高層次飛躍,內(nèi)化升華為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?從上文的過程中,我們可以略窺如何讓學(xué)生養(yǎng)成探究問題的思路:發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?這個(gè)結(jié)論正確嗎?怎么證明?當(dāng)前問題與已有知識(shí)、方法有何聯(lián)系(不同點(diǎn)、相同點(diǎn)),能否轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)、方法,如何轉(zhuǎn)化、遷移(上下游命題的聯(lián)想系統(tǒng))?如果不能,又如何另辟蹊徑?這個(gè)結(jié)論是否具有一般性?在這個(gè)過程中,引導(dǎo)學(xué)運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí),觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、演繹、歸納、分析、綜合等手段,對問題多角度分析思考,層層探究,凸顯數(shù)學(xué)思維,突出數(shù)學(xué)本質(zhì),提煉數(shù)學(xué)思想方法,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
4試題的進(jìn)一步延伸探究
除了對解法的探究外,還應(yīng)對試題本身進(jìn)一步探討研究,以期對以后的命題工作提供借鑒參考。
4.1從“靜”到“動(dòng)”,對題目進(jìn)一步探究
平面幾何主要是研究幾何圖形在圖形變換(旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱、位似變換、相似變換)下保持不變的性質(zhì),因此,歷年各地市的中考壓軸題經(jīng)常出現(xiàn)以幾何圖形為載體,點(diǎn)或線等元素運(yùn)動(dòng)為呈現(xiàn)方式的動(dòng)態(tài)幾何題,其目的在于引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)動(dòng)的變化過程中體會(huì)“變”與“不變”、“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“特殊”與“一般”的辯證關(guān)系,是對幾何直觀和推理的綜合考查。
就本題第(Ⅱ)小題而言,ΔADP和ΔCDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)過程中,AP與CF在數(shù)量和位置上保持不變性的問題,但本題在設(shè)置上形式比較簡單,AP固定賦值時(shí),圖形固定,缺乏引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題,不利于學(xué)生探究體會(huì)幾何圖形變換中的不變性,體現(xiàn)在上文的解法4中,可以看出不屬于動(dòng)態(tài)幾何題,因此看山不是山,跳出本題看本題,我們可以讓圖形運(yùn)動(dòng)起來,在運(yùn)動(dòng)變化的過程中,探求一些保持不變的量或圖形形狀,揭示圖形變化的內(nèi)在規(guī)律。
4.2抽離“幾何圖形結(jié)構(gòu)”,對題目進(jìn)行歸納延伸
“共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”圖形變式順暢自然,結(jié)論顯而易見,不同的題目解法多樣(利用中點(diǎn)可以有不同的解法,有興趣的讀者可以自己證明),變式角度多端(ΔABC的形狀可以進(jìn)一步一般化或特殊化),受到各地中考命題專家的眷顧,值得注意的是對“共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行探究,并非為了多創(chuàng)造幾個(gè)新結(jié)論,多記憶幾個(gè)新圖式,把一切幾何問題模式化,走“題型+技巧”的老路,而是為了“研其式”——將題目發(fā)散、提煉,層層深入,將一系列問題,以策略方法為主,從特殊到一般雙向溝通,逐次展開,拾級而上,環(huán)環(huán)相扣,一題多變形成問題串,煉題成型、凝題成環(huán)、聯(lián)題成片、多題歸一,進(jìn)而“歸其道,養(yǎng)其心”:通過問題的探究,積累經(jīng)驗(yàn),達(dá)到課標(biāo)提出的“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題”的問題解決的過程性目標(biāo),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。
教師對中考壓軸題要認(rèn)真鉆研,學(xué)會(huì)拓展延伸、類比遷移,才能讓自己從一個(gè)單純的執(zhí)行者轉(zhuǎn)變?yōu)殚_發(fā)者,從而能夠很好地訓(xùn)練學(xué)生思維的創(chuàng)造性,教學(xué)也必將更加有效,平時(shí)的課堂中應(yīng)關(guān)注好的“著落點(diǎn)”,遠(yuǎn)離“題型+技巧”、“記題型、對模式”的教學(xué),拒絕題海戰(zhàn)術(shù),關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累,抓住數(shù)學(xué)的教育價(jià)值在于思維的訓(xùn)練和創(chuàng)造性,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),使數(shù)學(xué)“易學(xué)、好懂、能懂、會(huì)用”。