在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用函數(shù)與方程思想的探究

賈 科

(內(nèi)蒙古第一機(jī)械制造(集團(tuán))有限公司第一中學(xué)1717班 014000)

一、函數(shù)與方程思想概述

函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的一種動(dòng)態(tài)模型，通過函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以通過一種事物的變化對(duì)另一種事物進(jìn)行分析和推測(cè).函數(shù)思想是在函數(shù)本質(zhì)認(rèn)知的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析、解答和驗(yàn)證，并將未知的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而達(dá)到解決問題的目的.方程思想是通過事物間的等量關(guān)系來建立方程，通過方程來進(jìn)行問題的解決.函數(shù)和方程很多時(shí)候可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如f(x)=g(x)，我們可以看成是兩個(gè)函數(shù)y1=f(x)，y2=g(x)的交點(diǎn)，也可以看成是求方程f(x)-g(x)=0的解，可見函數(shù)和方程之間是互通的.掌握函數(shù)與方程思想不僅能學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，高效地解決數(shù)學(xué)問題，還能讓我們掌握數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究方法，有效地提升自主學(xué)習(xí)效率.

二、函數(shù)與方程思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

1.在函數(shù)與方程互相轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用

函數(shù)和方程在大部分時(shí)候是可以互相轉(zhuǎn)化的，但是在進(jìn)行轉(zhuǎn)化的時(shí)候，需要注意函數(shù)的定義域，或是在函數(shù)定義域確定的情況下，運(yùn)用待定系數(shù)法進(jìn)行問題解答的過程中，要注意函數(shù)的類型，這樣才能完整和科學(xué)地解決問題.

例1 已知2是關(guān)于a的方程2x2a-2+7xa-1+3=0的一個(gè)根，那么，求x的值和方程除2之外的根.

分析本題的是關(guān)于a的方程，已知一個(gè)根是2，將其代入可以求出未知常數(shù)x的值，然后根據(jù)方程的特點(diǎn)進(jìn)行函數(shù)的構(gòu)造，令n=xa-1，則原方程可以轉(zhuǎn)化為2n2-7n+3=0，這樣可以通過二元一次方程進(jìn)行問題的分析和解決，最后再將求出的n值代入n=xa-1即可.

通過函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化應(yīng)用，可以有效地發(fā)揮出方程的優(yōu)勢(shì)，從而將函數(shù)與方程統(tǒng)一起來，這樣就為我們提供了解答一些復(fù)雜函數(shù)與方程問題的新方法，提升了我們的思維能力，從而靈活地運(yùn)用函數(shù)與方程思想進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和探討，提高我們的學(xué)習(xí)效率.

2.在不等式問題中的應(yīng)用

不等式問題是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，在進(jìn)行不等式知識(shí)學(xué)習(xí)的時(shí)候，往往需要借助函數(shù)與方程思想，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象或是方程，從而運(yùn)用函數(shù)與方程的性質(zhì)進(jìn)行不等式問題的分析和解決.函數(shù)與方程思想在不等式學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，不僅能幫助我們將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，還能讓我們深入地理解不等式的內(nèi)涵，增強(qiáng)我們對(duì)不等式的理解，從而達(dá)到高效學(xué)習(xí)的目的.

這樣，通過函數(shù)與方程思想的運(yùn)用，可以將復(fù)雜的不等式問題通過函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的不等式問題，從而正確地解出答案.

3.在數(shù)列問題中的應(yīng)用

數(shù)列可以看做是一種定義域特殊的函數(shù)，等差數(shù)列分布在一條直線上，等比數(shù)列分布在指數(shù)函數(shù)圖象上.因此，運(yùn)用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行數(shù)列知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解，更能抓住數(shù)列的本質(zhì)規(guī)律，掌握數(shù)列知識(shí)，并在實(shí)際問題中進(jìn)行應(yīng)用.

例3 記Sn為等差數(shù)列{an}的前項(xiàng)和．若a4+a5=24，S6=48，則{an}的公差為( ).

A.1 B.2 C.4 D.8

通過函數(shù)的定義域可以得到對(duì)應(yīng)的值域，這和數(shù)列項(xiàng)數(shù)與值域是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這就使得我們可以用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行數(shù)列知識(shí)的探究，并應(yīng)用與解決有關(guān)數(shù)列的實(shí)際問題中，往往要比直接用代數(shù)的方法要有效得多.

總之，函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)問題的解決中具有重要的作用，不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)都與函數(shù)與方程有著密切的聯(lián)系，通過數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用，可以將數(shù)學(xué)知識(shí)融匯貫通，從而有效地提升我們的自主學(xué)習(xí)效率.