基于數(shù)形結(jié)合思想的高中解題策略

芮欣妍

(江蘇省揚州中學(xué)教育集團樹人學(xué)校 225001)

華羅庚曾說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”數(shù)與形從兩個方面對數(shù)學(xué)知識進行描述和反映，數(shù)與形之間具有一一對應(yīng)的關(guān)系.數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，尤其是在高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和問題的解決過程中，科學(xué)地運用數(shù)形結(jié)合思想可以將數(shù)學(xué)的抽象語言、符號與幾何直觀的圖形聯(lián)系在一起，這樣可以降低我們學(xué)習(xí)的難度，讓我們更好地理解數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵，并能運用數(shù)學(xué)思想進行實際問題的解決.

一、數(shù)列與數(shù)形結(jié)合

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，同時數(shù)列也可以歸為函數(shù)的一種特例.在數(shù)列學(xué)習(xí)的過程中，常規(guī)的方法一般是用代數(shù)的方法進行分析和解決.如果在進行數(shù)列知識學(xué)習(xí)和問題分析的過程中，運用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)列和幾何圖形建立對應(yīng)的關(guān)系，往往可以起到事半功倍的效果.比如運用數(shù)形結(jié)合思想對下面的試題進行分析.

例1 已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，其中a1>0，3a8=5a13，那么，Sn最大的時候是( ).

A.S21B.S20C.S11D.S10

分析根據(jù)a1>0，3a8=5a13可以知道這個等差數(shù)列為遞減數(shù)列，那么常規(guī)的方法需要求出等差數(shù)列第一個為負數(shù)的項，這樣才能確定Sn的最大值，不僅計算麻煩，也不直觀.而運用數(shù)學(xué)結(jié)合思想，可以通過3a8=5a13，作出等差數(shù)列的直線圖形(如右圖)，然后根據(jù)相似三角形的知識可以求得直線與x軸的交點，從而直觀地得出所要求的答案.

在數(shù)列的學(xué)習(xí)中，等差數(shù)列的項一般分布在一條直線上，等比數(shù)列的項分布在指數(shù)函數(shù)圖象上，我們在學(xué)習(xí)的過程中，通過數(shù)列和函數(shù)圖象之間的對應(yīng)關(guān)系進行實際問題的分析，不僅能提高學(xué)習(xí)效率，同時也能增強思維能力，提高運用數(shù)學(xué)思想的意識.

二、集合與數(shù)形結(jié)合

在高中數(shù)學(xué)集合知識中運用數(shù)形結(jié)合思想，可以將集合抽象的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為直觀的集合圖形，從而提高集合知識的直觀性.運用數(shù)形結(jié)合思想進行集合問題的分析，可以將集合中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并且通過方程將二者對應(yīng)起來，這樣對于一些比較復(fù)雜的集合問題的解決具有良好的效果.

例2 已知集合A=(x,y)x2+y2=1，B=(x,y)kx-y-2≤0，且x,y∈R，那么A?B的時候，實數(shù)k的取值范圍是多少？

分析根據(jù)題意可知，集合A為一個圓形，并且位置固定，而集合B是一條過點(0，-2)的直線，當(dāng)A?B的時候，就需要考慮集合B直線的范圍，如果運用數(shù)形結(jié)合思想作出集合的圖象，問題就一目了然了.

三、三角函數(shù)與數(shù)形結(jié)合

三角函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的重點，同時也是高考的難點，通常情況下，通過數(shù)形結(jié)合思想的運用可以有效地解決三角函數(shù)的值域、證明等問題.將復(fù)雜的三角函數(shù)運用代數(shù)的方法構(gòu)造出新的函數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為幾何圖形，可以有效地提高問題的解決效率，達到出奇制勝的目的.

分析本題如果對三角函數(shù)直接進行計算，不僅復(fù)雜，運算量大，同時也不一定能夠計算出來，因此可以構(gòu)造兩個函數(shù)，令f(x)=sinx+cosx，g(x)=tanx，然后再作出這兩個函數(shù)的圖象，通過圖象上的交點可以輕松地解答問題.

總之，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中進行數(shù)學(xué)思想的運用，可以有效地掌握數(shù)學(xué)規(guī)律，深入到數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部，從而提高學(xué)習(xí)效率.數(shù)形結(jié)合思想是我們高中生必須要掌握的一種數(shù)學(xué)思想方法，不僅是在數(shù)學(xué)問題的探究中具有重要的作用，同樣對于我們以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展也具有重要的意義.因此，我們要在數(shù)學(xué)實際問題的分析和探究中，有效地運用數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)習(xí)效率.