一節(jié)會生長的數學復習課
——對人教版數學三年級“兩位數乘兩位數”單元與“面積”單元的整合復習

浙江杭州市蕭山區(qū)夾灶小學 李國良

復習課，在小學數學教學中的重要性不言而喻，它不僅能鞏固知識、提升能力，還能幫助學生對知識進行梳理，形成體系。但是，在實際教學中復習課卻成了燙手的山芋。究其原因，一是參考資料少，各類教研活動等大都回避這一課型，教師缺乏動因；二是復習與考試往往“捆綁”在一起，大量的時間花在了單調、枯燥的做題上，學生缺乏興趣。久而久之復習課就失去了生命力。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學知識的教學，應注重對所學知識的理解，體會數學知識之間的關聯；要注重知識的“生長點”與“延生點”，引導學生感受數學的整體性。這給復習教學提供了一個啟示，復習課不僅可以是一個單元的整體復習，還可以是一個知識點的系統(tǒng)復習，也可以是相關聯知識間的整合復習。人教版三年級下冊第四單元“兩位數乘兩位數”與第五單元“面積”這兩個單元，筆者認為單元可以獨立復習，也可以把這兩單元進行整合復習，上一節(jié)會生長的復習課。

一、教材知識點的梳理

要實現復習教學的最優(yōu)化，就必須實現教學過程最優(yōu)化，而教材的分析是實現教學過程最優(yōu)化的重要內容之一，它強調從學生經驗出發(fā)，遵循他們的認知規(guī)律，幫助學生有效建構系統(tǒng)性的知識。

（一）“兩位數乘兩位數單元”知識點分析

“兩位數乘兩位數”單元在整個小學階段“數與代數”的學習中有著舉足輕重的作用。該單元主要讓學生掌握兩位數乘兩位數的口算與筆算的算理與算法，在此基礎上應用這一知識進行“解決問題”的教學，即“連乘、連除問題”的學習，其核心內容是在掌握算理的基礎上學會筆算的方法。在人教版“教師教學用書”中這樣建議：讓學生經歷探索計算方法的過程，培養(yǎng)幾何直觀；注重運算規(guī)律的探索，培養(yǎng)數學思維能力。因此，該單元不僅讓學生掌握筆算的方法和筆算的算理，還應發(fā)展學生的計算能力，提高學習計算類題目的興趣。

筆者在翻閱教材中發(fā)現，教材第59頁練習十三第3題：

比較每組算式得數的大小，你發(fā)現了什么？

（1）30×30= 31×29= 32×28= 33×27=

（2）50×50= 51×49= 52×48= 53×47=

細細分析這題可以發(fā)現，這兩題中兩個因數它們的和是一定的（60和100）；而兩個因數的差是不等的，它們的差越大乘積越小；差變成0時，乘積最大。同時在省編的配套練習中也有這一類型的變式題目：

選擇下面的數字5、6、7、8，組成兩位數乘兩位數的乘法算式，使他們的乘積最大和乘積最小，可以怎么組？

筆者認為，可以抓住教材這樣細小的點進行深入的分析，與學生一起開展教學研究，從而發(fā)展學生的思維甄別力。

（二）“面積”單元知識點分析

“面積”單元的學習是學生認知上的一次飛躍，他們的認知結構從一維空間發(fā)展到二維空間。該單元主要涉及面積意義的理解和面積單位，長方形與正方形面積的計算，面積單位之間的進率和用所學的知識解決簡單的實際問題，其核心內容是對面積概念和長方形面積計算的深入理解。筆者認為在學習這兩個核心內容時，必須要強化面積與周長的辨析，明確圖形的周長與面積在描述圖形中的不同作用。

同樣，在教材中我們發(fā)現了3個密切相關的知識點，一是第65頁練習十四第7題：畫幾個長方形或正方形，使它們周長相等，然后比較面積，你發(fā)現了什么？二是第75頁練習十六第10題：兩個一樣大小的長方形長36厘米，寬18厘米，拼成長方形和正方形，它們的周長是多少？面積是多少？三是第75頁練習十六第11題：畫出面積是16平方厘米的長方形（長寬是整厘米數），并計算出這些長方形的周長。仔細比較這3題，其實是對面積與周長意義的辨別，讓學生更加清楚地理解兩個意義。同時讓學生知道，有時長方形的周長不等而面積相等，有時它們周長相等但面積不等。

（三）尋找兩個單元之間的關聯點

通過對兩個單元的分析和部分典型題目梳理、解讀后，我們發(fā)現上述這些題目既是本單元的重點知識，都圍繞著單元目標開展的一些基本練習。又是對核心知識的提升，能充分發(fā)展學生的思維能力和動態(tài)想象力。它們之間還存在著一種聯系，周長相等就是兩個數的和相等，面積不等就是這兩個數的乘積不等。當長方形變成正方形時長和寬的差就是0，它們的面積最大也就是乘積最大；反之，長方形的長和寬差變大，它們的面積就變小也就是乘積變小。

筆者認為，圍繞上述知識點把這兩個單元進行整合的復習，一是有利于加深對筆算乘法單元知識的鞏固，借助于圖形的直觀來揭示“和一定積發(fā)生變化”的規(guī)律性知識的道理；二是能鞏固面積與周長的計算方法，知道面積與周長的辯證關系，懂得圖形背后有著計算作為支撐的秘密。

二、教學實踐與思考

基于對教材的分析與思考，筆者覺得，可以從由4個數字組成兩個兩位數乘積最大和乘積最小開始進行復習，逐步引導學生對教材進行梳理與思考，尋找與此知識點相關聯的知識，體會到知識之間的聯系與生長點。

（一）自主計算，復習算理與算法，尋找知識內部之間的規(guī)律

課始，筆者出示“1、2、3、4”四個數字，要求組成兩個沒有重復數字的兩位數乘兩位數，其中乘積最小是□□×□□，乘積最大是□□×□□。學生根據已有的認知經驗很快組出乘積最大是42×31或41×32，組出乘積最小為13×24或14×23。 隨后，組織學生獨立計算4個題目，選擇一題進行兩位數筆算方法的回憶以及對算理的解釋。

接著，組織學生一組一組仔細觀察：42×31和41×32，13×24和14×23，質疑有什么發(fā)現？

生1：42×31與41×32中41×32乘積較大，13×24和14×23中13×24的乘積較小；

生2：42×31與41×32中， 兩個因數的和都是73，但它們的乘積不一樣；而13×24和14×23中，兩個因數的和都是37，但它們的乘積也不一樣；

生3：42×31與41×32中，兩個因數的差分別是11和9，差是9的兩個因數乘積較大，同樣13×24和14×23中，兩個因數的差也是11和9，差是9的兩個因數乘積較大，兩組算式中，差是11的兩個因數的乘積較小。

通過思考并討論，發(fā)現在這樣的計算中有一定的規(guī)律存在，是否在其他這樣類似的題目中還有著相同的規(guī)律？于是，教師再次出示“1、2、3、5”四個數字，組織學生列出乘積大的一組算式51×32和52×31、 乘積小的一組算式15×23和13×25進行比對，由男生與女生分別計算。通過匯報得出這組算式的規(guī)律：乘積大的一組算式中兩個因數的和均為83，差分別是19和21，差是19的算式乘積較大，而乘積小的一組算式中兩個因數的和都是38，差分別是8和12，差是8的乘積較大，差是12的乘積較小。經過驗證后可以得出一個普遍性的規(guī)律：兩個因數的和一樣，差較小的乘積較大，差較大的乘積較小。

這一環(huán)節(jié)旨在讓學生通過組數、計算，進一步熟練掌握筆算兩位數乘法的計算方法和算理，逐漸發(fā)現計算教學中在特定的規(guī)則下存在著一種規(guī)律。當然，這一規(guī)律還只是停留在計算層面上，要讓學生更加直觀地感受到還需要借助于圖形的分析來支撐，這為整合復習奠定了基礎。

（二）合作探究，復習周長與面積，尋求知識外部之間的聯系

在完成第一個環(huán)節(jié)后，筆者設疑：在其他單元的知識點中是否也存在著這樣的現象，它們的和一樣，但它們的乘積不一樣。帶著疑問組織學生翻閱書本，4人小組討論尋找類似的知識點，勾起學生的記憶。

生4：我們小組認為在面積單元也存在著這樣的規(guī)律，周長相等，正方形面積大。

生5：我們小組覺得周長相等時，長方形與正方形面積相比，正方形大長方形小。也就是長+寬的和是不變的，但是長×寬的積在發(fā)生變化，越扁的長方形面積越小，越接近正方形面積越大。

師：請這組同學到黑板上來畫出草圖，其他同學看看他剛才表述的和畫出來的圖是不是一致（如下圖）。

師：這位同學畫了長是5厘米，寬是3厘米的長方形和一個邊長是4厘米的正方形，能說明剛才他的意思嗎？

生6：長方形的周長是（5+3）×2=16厘米，面積是5×3=15平方厘米，正方形的周長是4×4=16厘米，面積是4×4=16平方厘米。周長都是16，相等；面積是正方形大。

在反饋與討論過程中，不僅復習了長方形的周長與面積的計算方法，而且學生慢慢地發(fā)現面積單元中周長與面積之間確實存在著和不變、積發(fā)生變化的情況。接著，全體學生獨立研究教師提供的素材，讓學生自己量并計算周長和面積 （數據如下圖）。匯報后得出周長均是20厘米，面積分別是（9、21、25）平方厘米，也就是“長+寬”的和不變，“長×寬”的積發(fā)生變化，當長與寬的差是0時面積最大，長與寬的差越大，面積越小。

學生借助于自己尋找相關聯的知識點，動手量圖形進行驗證，從筆算乘法中規(guī)律性的知識慢慢地與圖形相結合，樹立起周長守恒觀念和周長、面積之間的辯證關系。

接著，筆者出示長23厘米、寬14厘米的長方形，面積是322平方厘米；再出示一個長24厘米、寬13厘米的長方形，面積是312平方厘米（如上圖）。把筆算乘法13×24與14×23用圖的形式進行了解釋，學生直觀發(fā)現長23厘米寬14厘米更加接近于正方形，因此這兩個數的乘積相對于24×13要大一些。在圖形的表征下，學生明確了13×24與14×23乘積的差就是23×（14-13）與13×（24-23）的差，較好地滲透了數形結合的思想與方法。

完成上述兩個教學過程后，需要對相關的知識點進行一定的梳理，讓學生更加清楚地明白看似不相關的知識是如何緊密地結合在一起的。教師設問：一個是兩位數乘兩位數，一個是長方形的周長與面積，它們之間有何種聯系？經過學生的匯報與小結，進一步明確了：兩個數的和不變，差越小乘積越大；長方形中周長不變，越接近正方形面積越大。隨后，組織學生獨立完成：一根長36cm的鐵絲，圍成一個長方形或正方形（如果邊是整厘米數），有幾種方法？怎樣圍面積最大？此時，學生能較快地知道“長+寬”的和是18厘米，圍成正方形（邊長為9厘米）面積最大是81平方厘米。

著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休?！边@一環(huán)節(jié)通過“以形助數”和“以數解形”兩個方法使抽象思維與形象思維緊密地結合：乘法中隱藏的規(guī)律用圖的形式直觀地表現出來，而長方形中周長與面積的關系又通過算式給抽象出來，真正把兩個知識點進行了有機的溝通，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到了整合復習的目的。

（三）借助微課，拓展課堂的空間，尋味數學知識之間的魅力

筆者認為，一節(jié)好的復習課猶如一篇好的文章，需要有豹頭和鳳尾。因此，課堂結束前需要對這節(jié)課整體設計的思路與背后的思考讓學生能觸摸到，不僅感知“兩位數乘兩位數”單元與“面積”單元有著一定的關聯，也能感受到數學中其他的知識點也存在著密切的聯系。

完成上述兩個主要環(huán)節(jié)后，筆者談話引入微課，旨在借助于微課的形式拓展學生學習的空間，呈現另一個知識點的網絡圖。多媒體視頻依次出示下圖并解釋，從3+4=7這一基本算式出發(fā)，一年級是怎么運用3+4=7，三、四、五年級甚至更高的年級如何運用這個算式的，這樣學生就能明白原來一個簡單的加法算式有如此強大的功能，能串聯起不同年級的知識。充分地感受到數學知識是緊密地聯系在一起的，可以從一個知識延伸拓展到另一個知識，感悟數學知識間的生長性。

筆者以為：數學學科核心素養(yǎng)是基于數學知識技能，又高于具體的數學知識技能。它反映的是數學本質與數學思想，以及學生在解決復雜現實問題過程中表現出來的綜合性運用數學的意識與能力。在教學中不僅要關注教材本身所賦予的知識，更要關注教材之外的能力體系。對“兩位數乘兩位數”和“面積”兩個單元的整合復習，正是基于這樣的考慮而設計與實踐的，它有利于在數學學習過程中讓學生形成綜合性、整體性和持久性的學習能力。因此，復習課要“面向未來”，有知識增量，有技能提升，有思維深度，充滿活力。?