基于高精度差分法的線性常微分方程邊值問題研究

陳鐵軍

（益陽醫(yī)學高等專科學校，湖南 益陽 413001）

0 引言

常微分方程在科學和工程領域被廣泛應用，隨著生產實踐快速發(fā)展，常微分方程逐漸演變成數(shù)學學科中聯(lián)系實際最為重要的分支。常微分方程最基本問題是確定一個方程是否存在既定解，針對既定解的研究可分成三部分，分別初值問題、邊值問題和特征值問題，很多偏微分方程既定解的問題不能使用解析形式進行表達[1]。因此，為了構造誤差階差分格式，利用參數(shù)樣條函數(shù)代替未知函數(shù)，通過不同配置條件，引進迭代方法求解常微分方程邊值問題。采用傳統(tǒng)方法對邊值問題進行研究，其計算結果都是不準確的，不能較好適應線性常微分方程，構造差分格式計算量相對較大。鑒于此，提出了基于高精度差分法的線性常微分方程邊值問題研究[2]。利用差分法對微分方程邊值問題進行研究時，其邊界條件處理方式直接影響著差分解的精準度，針對處理過程中出現(xiàn)的差分解發(fā)散問題，使用邊界近似方法不僅保證了差分解的收斂，還可使研究結果具有較高精準度。

1 線性常微分方程邊值問題研究

1.1 線性常微分方程的邊值問題

線性常微分方程是確定常微分方程是否存在既定解，通常給出一個常微分方程，當需要滿足特定條件時，就會得到既定解[3]。針對線性常微分方程邊值問題的研究，根據(jù)求解條件設置的不同，對邊界問題相關導數(shù)在自變量上取值進行限定，即為邊界條件。設線性常微分方程為：

最為常見的三種邊界條件為：

將公式（1）與第一種邊界條件組合在一起，構成第一邊值問題；將公式（1）與第二種邊界條件組合在一起，構成第二邊值問題；將公式（1）與第三種邊界條件組合在一起，構成第三邊值問題[5]。

1.2 差分格式建立

高精度差分法是利用有限數(shù)量的離散點構成網(wǎng)格代替形式，具有連續(xù)性定解區(qū)域[6]。在有限個離散點中，使用離散函數(shù)近似代替具有定解屬性區(qū)域內的連續(xù)變量函數(shù)，根據(jù)函數(shù)計算結果構成差分方程，該方程的邊界問題解在各個節(jié)點上都被視為近似值，即為問題的數(shù)值解[7]。針對線性常微分方程邊值問題研究，提出了高精度差分法，其使用原理為：通過離散方法，將常微分方程邊值問題轉化為各個離散函數(shù)數(shù)值所構成的線性方程，即為差分格式。一般情況下，要求線性方程組的系數(shù)矩陣是對角矩陣，差分格式階段誤差是判定差分格式數(shù)值解精準度標識之一，也為差分格式相容性[8]。

1.3 邊界條件處理

公式（2）中，h表示階段誤差，相比于微分方程的誤差相對較低。

1.4 高精度差分法求解設計

高精度差分法是一種新興的隨機搜索算法，具有收斂速度快優(yōu)勢。由于需要求解的優(yōu)化問題并不是一個簡單變量問題，是由三種邊界條件共同組成的[10]。因此，利用高精度差分法直接利用目標函數(shù)作為適應度函數(shù)，而具有變量屬性的作為各個個體分量，雖然近似函數(shù)是具有多項式的，但是由于線性常微分方程邊值問題比較麻煩，因此利用MAPLE符號計算目標函數(shù)表達式，進而提高整體求解效率[11]。

采用大正數(shù)K來將不同變量限制在[-K,K]以內，方便求解的快速進行，具體求解步驟如下所示：

1）數(shù)據(jù)初始化：初始化數(shù)據(jù)的規(guī)模，其中包括數(shù)據(jù)位置和速度。針對每個數(shù)據(jù)的研究都是在允許范圍內進行的，其隨機產生的數(shù)據(jù)具有初始位置和速度[12]。設隨機產生的[-K,K]之間大正數(shù)為P，第n個數(shù)據(jù)的第z維初始位置為：

2）計算適應度值：針對不同邊界條件，應按照構建的差分格式構造適應度函數(shù)，由于不同邊界條件所對應的函數(shù)2n-2是一個變量，并且為最小化問題，因此可直接將該變量代入函數(shù)值之中，即為適應度值。

3）獲取最好邊界條件：針對每個邊界條件，將其適應度值和經歷過最好的最優(yōu)值進行對比分析，進而選出目前最好邊界條件的最優(yōu)解。

4）差分算子：在搜索過程中，利用權重法對速度進行控制。此時的速度計算公式為：

公式（5）中：i表示進行第i次迭代；w表示最大迭代次數(shù)；d1,d2為隨機數(shù)；表示搜索到第i次時最優(yōu)位置；表示整體搜索到第i次時最優(yōu)位置。根據(jù)上述公式對位置進行實時更新，并進化。

5）終止條件：設置最大迭代次數(shù)，當?shù)螖?shù)達到最大值時，可結束進化。

根據(jù)上述設計結果，可得到線性常微分方程邊值最優(yōu)解，由此實現(xiàn)基于高精度差分法的線性常微分方程邊值問題研究。

2 實驗

針對基于高精度差分法線性常微分方程邊值問題研究，設計實驗進行驗證分析。

2.1 實驗參數(shù)設置

實驗參數(shù)設置如表1所示。

表1 實驗參數(shù)設置

2.2 實驗結果與分析

根據(jù)上述實驗參數(shù)，對實驗內容進行對比分析。采用傳統(tǒng)方法受到靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差影響，導致研究結果精準度較低，而采用高精度差分法對線性常微分方程邊值問題進行研究，具有收斂速度快的優(yōu)勢，不會受到靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差影響，具有較高精準度。針對這兩種方法在靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差條件下進行對比分析，結果如下所示。

2.2.1 靜態(tài)誤差

靜態(tài)誤差是線性常微分方程邊值期望輸出值與實際輸出值的差值，如果靜態(tài)誤差較小，那么說明邊值問題研究結果精準度就越高。以靜態(tài)誤差作為衡量方程邊值問題的標準，將傳統(tǒng)方法與高精度差分法研究結果精準度進行對比分析，結果如圖1所示。

圖1 兩種方法靜態(tài)誤差研究結果精準度對比

根據(jù)圖1所示對比結果可知：當計算時間為50s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度最高為45%，而采用高精度差分法研究結果精準度最高為91%；當計算時間為100s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度最高為43%，而采用高精度差分法研究結果精準度最高為90%；當計算時間為150s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度最高為50%，而采用高精度差分法研究結果精準度最高為85%；當計算時間為200s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度最高為49%，而采用高精度差分法研究結果精準度最高為90%；當計算時間為250s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度最高為55%，而采用高精度差分法研究結果精準度最高為95%；當計算時間為300s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度最高為50%，而采用高精度差分法研究結果精準度最高為98%；當計算時間為350s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度最高為55%，而采用高精度差分法研究結果精準度最高為90%。由此可知，在靜態(tài)誤差下，采用高精度差分法對線性常微分方程邊值問題研究結果精準度比傳統(tǒng)方法研究結果精準度較高。

2.2.2 動態(tài)誤差

動態(tài)誤差是以研究線性常微分方程邊值的時間變量為函數(shù)，提供研究相對穩(wěn)定變化規(guī)律。如果動態(tài)誤差較小，那么說明邊值問題研究結果精準度就越高。以動態(tài)誤差作為衡量方程邊值問題的標準，將傳統(tǒng)方法與高精度差分法研究結果精準度進行對比分析，結果如圖2所示。

圖2 兩種方法動態(tài)誤差研究結果精準度對比

根據(jù)圖2所示對比結果可知：當計算時間為50s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度為79%，而采用高精度差分法研究結果精準度為72%；當計算時間為100s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度為75%，而采用高精度差分法研究結果精準度為74%；當計算時間為150s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度為75%，而采用高精度差分法研究結果精準度為75%；當計算時間為200s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度為73%，而采用高精度差分法研究結果精準度為77%；當計算時間為250s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度為70%，而采用高精度差分法研究結果精準度為78%；當計算時間為300s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度為69%，而采用高精度差分法研究結果精準度為72%；當計算時間為350s時，采用傳統(tǒng)方法研究結果精準度為60%，而采用高精度差分法研究結果精準度為72%。由此可知，在動態(tài)誤差下，采用高精度差分法對線性常微分方程邊值問題研究結果精準度比傳統(tǒng)方法研究結果精準度較高。

2.3 實驗結論

根據(jù)上述實驗內容，可得出實驗結論：

①靜態(tài)誤差分析結果：當計算時間為50s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高46%；當計算時間為100s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高47%；當計算時間為150s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高35%；當計算時間為200s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高41%；；當計算時間為250s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高40%；當計算時間為300s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高48%；當計算時間為350s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高35%。因此，在靜態(tài)誤差下，高精度差分法對線性常微分方程邊值問題研究效果較好。

②動態(tài)誤差分析結果：當計算時間為50s時，采用傳統(tǒng)方法比高精度差分法研究結果精準度高7%；當計算時間為100s時，采用傳統(tǒng)方法比高精度差分法研究結果精準度高1%；當計算時間為150s時，兩種方法研究結果精準度一致；當計算時間為200s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高4%；；當計算時間為250s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高8%；當計算時間為300s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高3%；當計算時間為350s時，采用高精度差分法比傳統(tǒng)方法研究結果精準度高12%。因此，在動態(tài)誤差下，高精度差分法對線性常微分方程邊值問題研究效果較好。

綜上所述，采用高精度差分法線性常微分方程邊值問題研究是具有合理性的。

3 結束語

采用高精度差分法是求解線性常微分方程邊值問題最常用的方法之一，利用差分法研究邊值問題，提出了三種邊界條件，根據(jù)邊界條件對線性常微分方程進行求解分析，通過實驗結果表明，該方法獲取的研究結果具有較高精準度。

利用高精度差分法進行求解所得誤差比其他方法所獲得誤差較小，但是針對節(jié)點增加問題，還有待研究，因為在計算微分方程時，如果方程誤差不同，那么獲取的最終結果都是以最小誤差為標準，針對邊值計算出現(xiàn)的誤差，會影響整體計算結果，因此，對于線性常微分方程的穩(wěn)定性需進一步研究，為今后其他方程計算提供支持。