分?jǐn)?shù)階混沌與DNA編碼相結(jié)合的圖像加密算法?

陳秋瓊 張安清 林洪文 牛治永

（海軍大連艦艇學(xué)院信息作戰(zhàn)系 大連 116011）

1 引言

隨著網(wǎng)絡(luò)通信、云計算等技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)字圖像信息的安全傳輸成為亟須解決的重要問題，數(shù)字圖像加密技術(shù)是目前最為有效的方法之一。由于混沌系統(tǒng)具有不可預(yù)測性、偽隨機性、對初始條件的極度敏感性等特征，許多學(xué)者提出了基于混沌的數(shù)字圖像加密算法［1～8］。然而，現(xiàn)有的混沌圖像加密算法大多基于整數(shù)階混沌系統(tǒng)。研究表明，分?jǐn)?shù)階混沌動力學(xué)系統(tǒng)除具有除整數(shù)階混沌系統(tǒng)的特性外，還具有很強的記憶性，可反映系統(tǒng)歷史信息。此外，可通過非線性預(yù)測、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和回歸映射等方法重構(gòu)整數(shù)階混沌系統(tǒng)，但無法實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的重構(gòu)。因此，基于分?jǐn)?shù)階混沌的數(shù)字圖像加密算法極具研究意義。

1994年，Adleman首次提出DNA（deoxyribonu?cleic acid）計算思想，開辟了信息時代的新紀(jì)元。后續(xù)研究證明，DNA計算具有低功耗、大存儲量、高信息密度等優(yōu)點，能夠很好地解決圖像信息的安全問題，為數(shù)字圖像加密開拓了新的研究方向。近年來，國內(nèi)外學(xué)者提出了將混沌理論與DNA編碼相結(jié)合的數(shù)字圖像加密算法。其中，Wang等［10］利用DNA編碼將圖像分為4個子圖像塊，利用Logis?tic映射產(chǎn)生的混沌序列分別對其置亂加密，但是該算法密鑰空間小，無法抵御窮舉攻擊。Xue等［11］提出基于多混沌映射與DNA序列相融合的加密算法，利用DNA編碼與Logistic映射、Cubic映射相融合加密數(shù)字圖像，但是加密后的密文圖像安全性低，相鄰像素相關(guān)性高，實現(xiàn)過程復(fù)雜。Liu等［12］提出利用混沌系統(tǒng)和DNA互補規(guī)則對圖像進(jìn)行加密，同樣存在密鑰空間小、像素相關(guān)性低、抗攻擊能力弱等問題。魏廣政等［13］提出一種改進(jìn)的基于DNA編碼和混沌映射的圖像加密方法，分別對明文圖像和Logistic映射產(chǎn)生的混沌序列進(jìn)行DNA編碼，利用DNA加法法則進(jìn)行加密，但該算法的安全性完全依賴于混沌映射，與明文圖像沒有任何關(guān)系，因此可以通過選擇明文攻擊的方法破譯［14］。

基于上述分析，本文提出一種基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)與DNA計算相融合的數(shù)字圖像加密方案。該方案采用置亂和擴散技術(shù)，利用改進(jìn)的Logistic混沌映射和一種新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，結(jié)合DNA編碼規(guī)則對彩色圖像進(jìn)行加密。本文算法密鑰空間大、相鄰像素相關(guān)性弱、安全性能高，能有效抵抗各種攻擊。

2 基本理論

2.1 改進(jìn)的Logistic映射

Logistic映射表達(dá)式為

式中，xn∈［0，1］，μ∈［0，4］為系統(tǒng)參數(shù)。Logistic映射因其動力學(xué)行為復(fù)雜、結(jié)構(gòu)簡單而得到廣泛的應(yīng)用，但其映射范圍較小，僅當(dāng)μ=4時，在區(qū)間［0，1］上呈現(xiàn)滿映射狀態(tài)，有較強的混沌特性［15］。如果混沌映射范圍較小，數(shù)字量化的過程中各迭代值之間更相近，容易出現(xiàn)動力學(xué)行為退化、周期短的現(xiàn)象。為了改善Logistic映射的動力學(xué)特性，文獻(xiàn)［15］提出一種改進(jìn)的形式，即Logistic-Logistic系統(tǒng)級聯(lián)，其動力學(xué)方程如下：

式中，xn∈［0，1］，μ1，μ1∈［0，4］。圖1（a）、（b）分別為Logistic映射和級聯(lián)系統(tǒng)的分岔圖，圖2給出了級聯(lián)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜。從圖1（a）、（b）可以看出，級聯(lián)系統(tǒng)的混沌映射參數(shù)范圍約擴展為［1.53，4］，是Logistic混沌映射參數(shù)范圍的5.86倍。因此，Logistic-Logistic級聯(lián)系統(tǒng)可以提供較大的密鑰空間，增強破譯難度。其次，級聯(lián)系統(tǒng)的混沌滿映射范圍擴展為1.7，而Logistic映射只有在μ=4時才是滿映射。其三，級聯(lián)混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)成倍提高，從而增加了系統(tǒng)對初始值的敏感性。

圖1 Logistic映射和級聯(lián)系統(tǒng)的分叉圖

綜上，Logistic-Logistic級聯(lián)混沌系統(tǒng)明顯改善了系統(tǒng)的動力學(xué)特性，可以產(chǎn)生隨機性良好、安全性較高的混沌偽隨機序列，因此適合用于信息加密或混沌保密通信。

2.2 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

分?jǐn)?shù)階Qi系統(tǒng)［16］的動力學(xué)方程為

其中，（a，b，c）T是系統(tǒng)的控制參數(shù)向量，（x，y，z）T是系統(tǒng)的狀態(tài)向量。當(dāng)系統(tǒng)的階次q1、q2、q3∈［0.91，1］，且（a，b，c）=（35，8/3，80）時，該分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。圖2給出了分?jǐn)?shù)階Qi系統(tǒng)的初始變量（x0，y0，z0）=（0.21，0.2，0.011）下的混沌吸引子圖。

圖2 分?jǐn)?shù)階Qi混沌系統(tǒng)的相軌跡圖

2.3 DNA序列

2.3.1 DNA編解碼

一個DNA序列是由腺嘌呤（A）、胞嘧啶（T）、胸腺嘧啶（C）和鳥嘌呤四個不同的核酸基組成，其中A與T、C與G形成堿基互補對。二進(jìn)制中1和0互補，故11和00，10和01也分別互補。因此，如果用A、T、C、G分別表示二進(jìn)制數(shù)11、00、10和01，則可以得到24種編碼方案，其中僅有8種滿足Wat?son-Crick規(guī)則，即堿基互補規(guī)則，如表1。

表1 滿足Watson-Crick規(guī)則的8種DNA編碼

一副彩色圖像由R、G、B三個通道組成，每個通道的像素值可表示為一個8位二進(jìn)制序列，其中每兩位用一個DNA堿基表示，則8位二進(jìn)制像素值可用一個長度為4的DNA序列表示。例如，某個單通道的像素值為108，其8位二進(jìn)制序列為01101100，當(dāng)它通過表1中的DNA編碼規(guī)則2進(jìn)行編碼以后，得到的DNA序列為CGTA。解碼時利用同一種規(guī)則即可恢復(fù)原始二進(jìn)制像素值。但如果采用表1中的其它編碼規(guī)則，例如編碼規(guī)則5，則得到二進(jìn)制序列00111001。顯然，它屬于DNA編解碼中一種簡單的加密方法。

2.3.2 DNA加減法運算

DNA序列加減法運算的理論依據(jù)為二進(jìn)制序列的加減法運算法則。8種DNA編碼方法分別對應(yīng)8種DNA加法運算和減法運算。表2和表3給出了編碼規(guī)則3對應(yīng)的加法和減法運算法則。從表中可以看出，DNA序列的運算結(jié)果有且僅有一個。

表2 DNA編碼規(guī)則3的加法法則

表3 DNA編碼規(guī)則3的減法法則

3 算法描述

圖像加密流程圖如圖3所示。

圖像加密算法具體過程如下。

步驟一 讀入大小為M×N的三維彩色圖像，分離R、G、B三基色，形成三個單一的灰度圖像矩陣R1、G1、B1。

步驟二 分別將灰度圖像矩陣R1、G1、B1的十進(jìn)制灰度值轉(zhuǎn)換為M×N×8的二進(jìn)制序列。同時，隨機生成整數(shù)r1∈［1，8］，根據(jù)表1中與r1對應(yīng)的DNA編碼規(guī)則，將三個二進(jìn)制灰度矩陣轉(zhuǎn)換為三個大小為M×N×4的DNA編碼矩陣。

步驟三 利用改進(jìn)的Logistic方程（2），設(shè)置3組初始值密鑰x0及混沌狀態(tài)下的參數(shù)μ1，μ2分別生成3個混沌序列。將所生成的混沌序列按升序重新排列成三個有序序列，得到3個不同的置亂地址集合。

步驟四 利用步驟三所產(chǎn)生的置亂地址集合，分別對三個DNA編碼矩陣進(jìn)行灰度值置亂操作，記為R2、G2、B2。

步驟五 給定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)（3）的三個不同初始值（x0，y0，z0），設(shè)置混沌系統(tǒng)的控制參數(shù)（a，b，c）和分?jǐn)?shù)階次（q1、q2、q3），迭代若干次后分別產(chǎn)生3個長度為M×N的混沌序列矩陣，并作離散化處理，使混沌序列所有值均在0～255之間，記為S1、S2、S3。

步驟六 將S1、S2、S3中的每一個數(shù)值轉(zhuǎn)換為8位二進(jìn)制序列。同時，根據(jù)r1轉(zhuǎn)換成3個DNA編碼序列。

步驟七 將步驟六得到的分?jǐn)?shù)階混沌DNA編碼矩陣，與置亂后的DNA編碼圖像R2、G2、B2進(jìn)行DNA序列加法運算，得到R3、G3、B3。

步驟八 隨機生成整數(shù)r3∈［1，8］，由r3對應(yīng)的編碼規(guī)則確定R3、G3、B3的DNA解碼，得到三個二值矩陣，合并R、G、B三個通道，得到彩色加密圖像E（M，N，3）。

解密過程是加密過程的逆運算，確定與加密過程相同的密鑰，即可恢復(fù)原始圖像。

4 仿真結(jié)果及安全性分析

4.1 仿真結(jié)果

選取大小為256×256×3的Lena標(biāo)準(zhǔn)彩色圖像進(jìn)行測試，如圖3（a）所示。Logistic-Logistic級聯(lián)系統(tǒng)（2）的控制參數(shù)和初始變量分別為μ1=4，μ2=0.7，x01=0.1003，x02=0.2403，x03=0.5001。分?jǐn)?shù)階 Qi系統(tǒng)（3）的控制參數(shù)為a=35，b=8/3，c=80；初始變量設(shè)定為 x0′=2.421150004000001，y0′=-3.560590000301，z0′=2.478340005001；分 數(shù) 階 次 選 取 ：q1=0.98001000031， q2=0.9722104005001， q3=0.9920300110001。DNA編碼規(guī)則的編號r1、r2隨機生成。本文算法以（μ1，μ2、x01、x01、x01、x0′、y0′、z0′、q1、q2、q3、r1、r2）作為密鑰。仿真后的密文圖像如圖 3（b）所示。由圖3（b）可知，加密后的密文圖像雜亂無章，完全不同于明文圖像。圖3（c）為正確解密后的圖像，與原始明文圖像完全相同。

圖3 算法中的明文、密文及正確解密的圖像

4.2 安全性分析

4.2.1 密鑰安全性分析

本文算法密鑰為μ1、μ2、x0、x0′、y0′、z0′、q1、q2、q3、r1、r2和r3。如果以計算精度為1015作估計，密鑰空間至少可以達(dá)到（1015）12=10180，由此可見，本文算法密鑰空間足夠大，能夠較好地抵抗窮舉攻擊。此外，如果對算法密鑰作微小的改變，例如將初始變量x0′修改為2.421150004000002，其它參數(shù)不變，運用本文算法得到的解密圖像仍然雜亂無序，不包含任何明文圖像信息，如圖4（a）所示。又如，分?jǐn)?shù)階次q1作輕微擾動，令q1=0.98001000030002，其它密鑰不變，解密圖像如圖4（b）所示，仍然得不到正確的明文圖像。因此，本文提出的算法具有極強的密鑰敏感性。

圖4 錯誤解密的圖像

4.2.2 灰度直方圖分析

圖5所示為明文圖像的R、G、B分量直方圖；圖6為密文圖像的R、G、B分量直方圖。從圖5和圖6可以看出，密文圖像的灰度直方圖趨于均勻化分布，完全不同于明文圖像的分布規(guī)律，這表明密文圖像的像素灰度值在區(qū)間范圍內(nèi)取值概率是均等的，從而驗證了本文算法具有良好的擾亂性和統(tǒng)計特性，達(dá)到擴散和混亂的目的。

圖5 明文灰度直方圖分析

圖6 密文灰度直方圖

4.2.3 差分攻擊

分別通過像素變化率（NPCR）和歸一化平均變化強度（UACI）［13］來判斷本文算法的抗差分攻擊能力。其中，NPCR表示對明文圖像某一像素作微小改變，密文圖像所改變的像素數(shù)占總像素值的比例。UACI表示明文圖形和密文圖像對應(yīng)像素點平均強度的變化率，式（5）和式（6）分別為NPCR和UACI的計算公式。

其中，J1（i，j）和J2（i，j）表示只有一個像素之差的兩個密文圖像 J1、J2在（i，j）處的像素值，定義矩陣 D是一個和J1、J2同樣大小的二值矩陣，若J1（i，j）=J2（i，j），則 D（i，j）=1；否則，D（i，j）=0。

改變明文圖像的B層第一個像素值，由式（5）和（6）可以計算：NPCR=94.28%，UACI=34.27%。對于一個理想的加密算法，像素變化率應(yīng)足夠大，而歸一化平均變化強度應(yīng)盡可能小。而針對上面所求NPCR和UACI的結(jié)果可知，明文圖像改變一位像素值，可以引起密文圖像幾乎完全改變，所以本文加密算法的抗差分攻擊能力強。

4.2.4 相鄰像素點的相關(guān)性分析

相鄰像素點的相關(guān)性越小，表明其抵御攻擊能力越強。為了測試算法的抗攻擊能力，分別從明文圖像和密文圖像中隨機選取3000對像素點，按照式（7）～（10）計算兩相鄰像素點的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)rxy結(jié)果如表1所示。

表2 明文和密文中兩相鄰像素點之間的相關(guān)系數(shù)

由表2可知，明文圖像在各個方向上的相關(guān)度趨于1，表明相鄰像素點密切相關(guān)；而密文圖像的相關(guān)度幾乎接近0，鄰近像素點間幾乎不相關(guān)。這表明明文圖像的統(tǒng)計特性已被擴散到密文圖像當(dāng)中，從而驗證了加密算法良好的擴散特性。

5 結(jié)語

基于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)和DNA編碼技術(shù)，本文提出一種新的圖像加密算法。首先利用級聯(lián)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌系列置亂彩色圖像；然后利用分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)和DNA運算法則對置亂圖像進(jìn)行像素的混亂和擴散，得到密文圖像。算法仿真結(jié)果表明，該算法不僅與密鑰相關(guān)，且與明文圖像相關(guān)，因而隨機特性大大增加，且可以抵御各種攻擊。因此，本文算法具有很高的安全性，適合于彩色圖像的安全實時傳輸。