向量解題十二招式理論與實(shí)踐

薛超群

（福建省寧德市高級(jí)中學(xué)，福建寧德 352101）

引 言

向量是高中數(shù)學(xué)教材重要的教學(xué)內(nèi)容，在近年的全國(guó)高考中考查力度和比例逐漸加大。在教學(xué)中，教師在課堂中結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，總結(jié)形成有效的“招式”，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)靈活解決向量的平移、伸縮、合成、分解等變換問(wèn)題，正確地進(jìn)行有效運(yùn)算，深化對(duì)向量的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，逐步培養(yǎng)起善于運(yùn)用解題方法來(lái)分析解決向量有關(guān)問(wèn)題的能力和素質(zhì)[1]。筆者通過(guò)教學(xué)實(shí)踐摸索，對(duì)教材進(jìn)行歸納總結(jié)，節(jié)選某些數(shù)學(xué)向量章節(jié)教學(xué)案例，形成向量解題十二招式。現(xiàn)做簡(jiǎn)要介紹。

一、向量解題十二招式理論

招式一：“向往自由”，向量是自由的，即向量可以自由平移，但自由是有限的，即向量只能平移[2]。

招式二：“走路規(guī)則”，即三角形法則，如從A點(diǎn) 走到B點(diǎn) ，再?gòu)腂點(diǎn) 走到C點(diǎn) ，相當(dāng)于A從點(diǎn) 走到C點(diǎn) ，即

招式三：“力的合成”，即平行四邊形法則。在平行四邊形ABCD中，

招式四：“銅（同）頭指被”，兩個(gè)向量相減，一要同起點(diǎn)，二要指向被減數(shù)。

招式五：“平行——藍(lán)菲靈”，向量與非零向量平行，等價(jià)于平行，意為一起走；藍(lán)菲靈，意為女子，音為藍(lán)，乘以菲靈（非零向量）。當(dāng)λ＞0時(shí)向量與向量同向，當(dāng)λ＜0 時(shí)向量與向量反向。

招式六：“雞爪理論”，向量不共線，是一組基底，形如雞爪，則平面內(nèi)的任一向量可以表示為的線性組合，即其中λ,μ是唯一的。

招式七：“做功”，即

招式八：“說(shuō)誰(shuí)就是誰(shuí)”，向量在向量方向上的投影為其中θ為向量與向量的夾角。

招式九：“揪住尾巴向前減”，則字母B是尾巴。

招式十一：“看到夾板就轟炸”，求的值，可用公式冪指數(shù)2形如轟炸機(jī)。

招式十二：“ 平 行 閃出強(qiáng)盜”，平行，意為四個(gè)人一起走，閃出強(qiáng)盜，意為遇上強(qiáng)盜，等價(jià)于

二、向量解題實(shí)踐

學(xué)生妙用以上十二個(gè)向量解題招式，來(lái)解決向量實(shí)際問(wèn)題，可以達(dá)到事半功倍的成效。

例1 .求

分析：要求用招式二“走路規(guī)則”，即得

例2 .在ΔABC中，點(diǎn)M為BC邊靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)用表示

分析：在ΔABC中，要用表示先用招式二“走路規(guī)則”，可得而用招式五“平行——藍(lán)菲靈”，可得要求用招式四“銅（同）頭指被”，可得故這個(gè)結(jié)論即為招式六“雞爪理論”。

分析：要求用招式十一“看到夾板就轟炸”，由得

例4 .已知當(dāng)k為何值時(shí)：（1）垂直？（2）平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？

分析：已知要求當(dāng)k為何值時(shí)：

（1）垂直，因?yàn)橛谜惺绞氨鴮?duì)兵來(lái)將對(duì)將”，即可得解得

（2）平行，用招式十二“平行閃出強(qiáng)盜”。即等價(jià)于可得解得用招式五“平行—藍(lán)菲靈”，向量與非零向量平行，等價(jià)于得知平行，平行時(shí)它們是反向。

例5.平面向量點(diǎn)X為直線OP上動(dòng)點(diǎn)。（1）當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)。（2）當(dāng)點(diǎn)X滿足（1）中條件和結(jié)論時(shí)，求cos∠AXB的值。

分析：（1）向量可得直線OP方程點(diǎn)X為直線上OP動(dòng)點(diǎn)，取最小值，要求的坐標(biāo)，點(diǎn)X為直線OP上動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)X(2t,t)，向量用招式九“揪住尾巴向前減”，可得用用招式十“兵對(duì)兵來(lái)將對(duì)將”，可得當(dāng)t=2時(shí)，即時(shí)，取最小值。

（2）當(dāng)點(diǎn)X滿足中條件和結(jié)論時(shí)，可得要求cos∠AXB的值，用 招式七“ 做功”，即可得

例6.已知求向量在向量方向上的投影。

分析：要求向量在向量方向上的投影，用招式八“說(shuō)誰(shuí)就是誰(shuí)”，即向量在向量方向上的投影為可得

結(jié) 語(yǔ)

總之，師生一起巧用“招式”，優(yōu)化向量教學(xué)，對(duì)促進(jìn)課堂效果、提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力都產(chǎn)生積極的影響。只要教師堅(jiān)持從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，從學(xué)生激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的角度去設(shè)計(jì)更多更有效的向量教學(xué)“招式”，我們的數(shù)學(xué)課堂必將更加生動(dòng)有趣。

[1]中華人民共和國(guó)教育部.全日制普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

[2]李艷.新課改下高中數(shù)學(xué)向量的教學(xué)研究[D].大連：遼寧師范大學(xué)，2014.

[3]姬梁飛.高中數(shù)學(xué)向量研究之芻議[J].貴州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，32(6)：71-74.