巧用函數(shù)思想 妙解數(shù)學(xué)問題

王海青

（江蘇省鹽城市響水縣第二中學(xué)，江蘇響水 224600）

引 言

用函數(shù)思想解題，即利用函數(shù)概念、性質(zhì)以及相關(guān)知識(shí)思考、分析和解決數(shù)學(xué)問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中不可或缺的思想方法和解題策略[1]。近年來，“函數(shù)熱”可謂居高不下，是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)內(nèi)容，在集合、方程、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式等問題中均有著廣泛的應(yīng)用。因此，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想，開拓學(xué)生的解題思路，提高他們的解題能力。

一、巧用函數(shù)思想攻克方程問題

利用函數(shù)思想求解方程，往往是將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。有些方程問題，若直接利用解方程的方法予以解決，難度較大，不易突破，若能用函數(shù)思想求解，則可以化難為易，使問題有效獲解[2]。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意滲透函數(shù)思想，引導(dǎo)學(xué)生在分析和解決方程問題，尤其是含參數(shù)方程的個(gè)數(shù)問題時(shí)，要靈活轉(zhuǎn)換思維，拓寬思路，巧用函數(shù)圖像和性質(zhì)，攻克方程問題。

y1=的圖像是拋物線y2=2x+1（y≥0）,

二、巧用函數(shù)思想處理數(shù)列問題

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)課程至關(guān)重要的內(nèi)容，也是一大難點(diǎn)問題。數(shù)列本身就是一種離散的函數(shù)，其序號(hào)為自變量，項(xiàng)為函數(shù)值。在處理某些數(shù)列問題時(shí)，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系和共同本質(zhì)，然后利用函數(shù)思想，將數(shù)列看作特殊函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)相關(guān)知識(shí)，使數(shù)列問題得以迎刃而解。

（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即3＜ xk+1＜ xk成立。令很明顯地，f(x)在[3，+∞)上單調(diào)遞增，令f(x)=x,求得函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)是（1，1）和（3，3）。即當(dāng)n=k+1時(shí)，成立，故3＜ xn+1＜ xn成立，即（1）（2）問題得證。

在解答數(shù)列問題時(shí)，教師要注意指導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)列的特征和規(guī)律，巧用函數(shù)思想，架起函數(shù)與數(shù)列之間的橋梁，從而使數(shù)列問題快速、準(zhǔn)確地獲解。

三、巧用函數(shù)思想突破不等式問題

解不等式的實(shí)質(zhì)是等價(jià)轉(zhuǎn)化，但在轉(zhuǎn)化過程中，容易出現(xiàn)增根、漏解以及錯(cuò)解等情況。若能利用函數(shù)思想，合理構(gòu)造函數(shù)，找到解題突破口，則可以避繁就簡(jiǎn)，達(dá)到事半功倍的效果。因此，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，在解答有關(guān)不等式問題時(shí)，教師要注意啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)思想解決不等式問題，優(yōu)化解題過程，提高解題效率。

分析：考慮到所求證的不等式中含有x、y兩個(gè)量，不妨將x看作變理，y看作參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)f(x)= xlnx+ylny-(x+y)然后再利用函數(shù)單調(diào)性即可得證。

證明：當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)顯然成立。當(dāng)x≠y時(shí)，由于x、y地位相同，可以設(shè)x＞y＞0，令f(x)=xlnx+yIny-（x+y）ln1=0，所以f(x)在（y,+∞）中為增函數(shù)，故f(x)＞f(y)，又f(y)=2ylny-2ylny=0,所以f(x)＞0，即故綜上所述，可知

函數(shù)思想在解不等式問題中有著廣泛的應(yīng)用，函數(shù)與不等式的知識(shí)綜合是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。通過巧妙構(gòu)建函數(shù)，明確函數(shù)關(guān)系，既可以使問題簡(jiǎn)化，思路開闊，又可以避開煩瑣運(yùn)算，減少計(jì)算時(shí)間，在平時(shí)的教學(xué)中，教師要注意加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。

結(jié) 語(yǔ)

總之，函數(shù)是刻畫客觀世界中兩個(gè)變量之間相互關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，它貫穿于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的始終。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要不斷創(chuàng)新教學(xué)方法，幫助學(xué)生深刻理解和掌握函數(shù)知識(shí)，注意靈活滲透函數(shù)思想，并引導(dǎo)學(xué)生遷移運(yùn)用函數(shù)思想，借助函數(shù)概念、性質(zhì)、圖像等知識(shí)點(diǎn)，輕松妙解數(shù)學(xué)問題，從而夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，提高分析和解決問題的能力。