經(jīng)歷抽象 引領(lǐng)建構(gòu)

史厚勇

（江蘇省南通市城港小學，江蘇南通 226000）

引 言

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象……經(jīng)歷圖形的抽象……”可見，抽象是數(shù)學活動中最基本的思維方法，是數(shù)學教學的主線。教師應(yīng)積極引領(lǐng)學生經(jīng)歷抽象過程，滲透抽象，體會、感悟抽象，逐漸用數(shù)學的眼光去建構(gòu)數(shù)學知識，從而提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

一、經(jīng)歷抽象，建構(gòu)數(shù)學概念

數(shù)學概念是現(xiàn)實情境數(shù)學化的產(chǎn)物，是在數(shù)學抽象的基礎(chǔ)上建構(gòu)。在小學數(shù)學概念教學中，應(yīng)引導學生嘗試經(jīng)歷數(shù)學概念的抽象過程，逐漸將數(shù)學概念從感性上升到理性，內(nèi)化數(shù)學概念，讓概念刻在學生思維深處。

例如，教學蘇教版三年級上冊“認識分數(shù)”，筆者對“1/2”的引入是從一種感性具體上升到理性思維的過程，嘗試引導學生經(jīng)歷“情境—表象—內(nèi)涵—符號”的逐步抽象。

筆者首先從具體情境引導學生觀察教材情境圖。通過對“4個蘋果”“2瓶飲料”和“1個蛋糕”的解讀幫助學生感悟“1”是自然數(shù)的單位，為后續(xù)分數(shù)單位的順利抽象積累數(shù)學活動經(jīng)驗；然后引導學生思考“把每種物品平均分成2份，每人分得多少？”學生很自然地將“4個蘋果平均分成2份，每份是2個”“2瓶飲料平均分成2份，每份是1瓶”“1個蛋糕平均分成2份，每份是半個”；學生在“平均分”的情境支撐下，對“怎樣用一個數(shù)表示半個”充滿了渴望，激活了學習動機。當學生提出用“1/2”表示時，筆者已經(jīng)在潛移默化中幫助他們將感知的對象抽象成表象，他們經(jīng)歷了從“實物”到“表象”的過程；筆者然后引導學生繼續(xù)分：把1個月餅平均分成2份，每份是多少？把一張長方形紙平均分成2份，每份是幾張？一個圓平均分成2份，每份是多少？……通過引導學生從眾多的事物中抽取共同的、本質(zhì)的特征—“1/2個月餅”“1/2張紙”“1/2個圓”，引導學生發(fā)現(xiàn)：它們的數(shù)量都是“1/2”；同時對“1/2”進行本質(zhì)思考：為什么這些“1/2”表示的東西不同，卻都可以用“1/2”表示，進一步幫助學生從數(shù)學意義的層面理解“1/2”，這樣“1/2”的內(nèi)涵在學生頭腦中自然清晰。學生從眾多的素材中經(jīng)歷“1/2”的抽象，經(jīng)歷了“1/2”的內(nèi)涵理解。凸顯學生抽象的結(jié)果符號化，建立符號“1/2”現(xiàn)實問題情境的雙向循環(huán)，使他們對“1/2”的理解更加深刻。

二、經(jīng)歷抽象，建構(gòu)算理算法

數(shù)學算理與算法在生活中并沒有與之相對應(yīng)的現(xiàn)實原型，僅僅是數(shù)學量化的表現(xiàn)，其實質(zhì)是現(xiàn)實原型的外部特征逐步抽象出的數(shù)學原理和操作程序[1]。在教學中，教師應(yīng)該嘗試引導學生將現(xiàn)實原型“直觀形象”，引領(lǐng)他們抽象直觀，讓算理算法在他們思維深處層層推進，螺旋提升。

例如，教學蘇教版三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（筆算）”。筆者創(chuàng)設(shè)了一個購買迷你南瓜的生活場景。學生在具體情境中，從搬運南瓜的活動中提取數(shù)學信息，為其算理理解提供情境支撐。學生從具體情境中抽象出數(shù)學問題，列出算式，此時的數(shù)學問題帶有很強的情境色彩，是學生初步抽象的數(shù)學問題；筆者然后引導學生嘗試結(jié)合情境，結(jié)合舊知經(jīng)驗，討論解決問題的辦法。學生從情境中發(fā)現(xiàn)：可以先計算10箱迷你南瓜的數(shù)量，再計算搬運2箱的數(shù)量，二者相加后，便是12箱迷你南瓜的數(shù)量；也可以先2箱2箱的計算，再算6個2箱，得到總數(shù)。這種情境支撐下的問題解決，實際上為學生理解算理提供了直觀模型。接著，筆者引導學生用豎式解決問題。學生在用豎式計算時，是高層次的抽象，是在脫離具體情境下進行的。此時筆者將學生的語言表達與數(shù)學符號表達緊密結(jié)合，并相互轉(zhuǎn)換，引導他們借助已有經(jīng)驗對兩位數(shù)乘兩位數(shù)進行描述。

三、經(jīng)歷抽象，建構(gòu)公式規(guī)律

數(shù)學公式的推導和規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學對象在抽象過程中邏輯的建構(gòu)，是數(shù)學思維構(gòu)造性活動。在教學中，教師要引導學生經(jīng)歷數(shù)學對象的抽象過程，經(jīng)歷數(shù)學思維的“自由創(chuàng)造”過程；并在抽象過程中凸顯公式推導、規(guī)律發(fā)現(xiàn)，讓公式推導、規(guī)律發(fā)現(xiàn)烙印于學生思維深處。

例如，教學蘇教版五年級上冊“平行四邊形的面積”，筆者首先借助于不規(guī)則圖形與規(guī)則圖形的大小比較，引導學生利用割補的方法，將不規(guī)則圖形等積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，感受圖形形狀的變化；其次在此基礎(chǔ)上，引導學生將方格紙中的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，同時筆者提供操作活動，鼓勵他們動手實踐，在圖形直觀、圖形變換的基礎(chǔ)上積極開展形象思維，引導他們將具體問題“數(shù)學化”，實現(xiàn)數(shù)學知識的“再創(chuàng)造”，學生在操作中感知和體驗圖形之間的本質(zhì)聯(lián)系，感悟到平行四邊形的面積、底、高這三個量的內(nèi)在關(guān)系，從而實現(xiàn)外在的形狀抽象到內(nèi)在的關(guān)系抽象的飛躍；再次筆者運用推理，利用類比和轉(zhuǎn)化等思想，引導學生溝通平行四邊形的面積與長方形的面積，經(jīng)歷等積推理，實現(xiàn)平行四邊形面積計算的感悟；最后再引導學生將內(nèi)在的關(guān)系抽象為符號，用數(shù)學符號表述平行四邊形的面積，實現(xiàn)平行四邊形面積推導的再次提升。

學生在筆者的引導下，經(jīng)歷具體問題—數(shù)學問題—圖形關(guān)系—內(nèi)在關(guān)系—符號表征的逐步抽象過程，讓平行四邊形面積公式深深烙印在他們的思維中，他們在思維的再創(chuàng)造、再經(jīng)歷中體會抽象的價值與魅力。

四、經(jīng)歷抽象，建構(gòu)數(shù)學模型

數(shù)學模型是“采用形式化的數(shù)學語言，概括地或近似地表示出來的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)”。在小學數(shù)學教學中，數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的抽象表達雖然還不能說是嚴格意義上的數(shù)學模型，但顯然已經(jīng)蘊含了一定的數(shù)學模型的雛形；同時在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中也指出：數(shù)學活動“應(yīng)體現(xiàn)‘問題情境—建立模型—求解驗證’的過程”。這種抽象經(jīng)歷對于小學生而言，有助于他們積累更多的數(shù)學思維活動經(jīng)驗，提升他們的數(shù)學思維能力，感悟模型，為后續(xù)數(shù)學模型的建構(gòu)提供感性和理性的雙重支撐。

例如，在教學蘇教版六年級下冊“解決問題的策略”時（例2：全班42人去公園劃船，租10只船正好坐滿。每只大船坐5人，每只小船坐3人，租的大船、小船各有多少只？），筆者引導學生提出假設(shè)猜想：假設(shè)10只都是大船，假設(shè)9只大船、1只小船，假設(shè)8只大船、2只小船……學生提出的假設(shè)往往不是問題的答案，船上的總?cè)藬?shù)不是比42人多，就是比42人少，需要調(diào)整大船、小船的只數(shù)……學生在假設(shè)、調(diào)整中逐漸逼近正確的結(jié)果；筆者通過引導學生對問題解決方法進行回顧與發(fā)現(xiàn)，感悟到解決同一個問題雖然在方法上是多樣的，但其實質(zhì)都是以假設(shè)為起點，都是在假設(shè)中通過適當?shù)恼{(diào)整得到正確的結(jié)果，從而初步幫助學生建立假設(shè)模型；接著，筆者引導學生對假設(shè)策略進行“二次發(fā)現(xiàn)”，引導他們體驗到在假設(shè)過程中，數(shù)量之間的變化關(guān)系，在變化中尋找變化緣由，形成解題模型，巧妙解題。

學生在筆者層層引領(lǐng)中，在假設(shè)模型的逐步建構(gòu)中，逐漸理解、完善對假設(shè)模型的認知結(jié)構(gòu)，其數(shù)學能力、數(shù)學思想逐漸得到提升、得到升華。

結(jié) 語

在數(shù)學教學活動中，要在學生已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，在具體數(shù)學情境中引導他們經(jīng)歷抽象過程，促進他們抽象意識的形成，從而讓他們品味數(shù)學抽象的魅力，感悟抽象、建構(gòu)抽象，進而促進抽象素養(yǎng)的提升。