中考中“數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度”

徐愛華

關(guān)于本章內(nèi)容，中考常從以下幾方面考查同學(xué)們的學(xué)習(xí)情況.

一、根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的意義直接解題

例1 （2018·浙江杭州）測試5位學(xué)生的“一分鐘跳繩”的成績，得到5個各不相同的數(shù)據(jù)，在統(tǒng)計時，出現(xiàn)了一處錯誤：將最高成績寫得更高了.計算結(jié)果不受到影響的是（ ）.

A.方差 B.極差

C.中位數(shù) D.平均數(shù)

【答案】C.

【解析】平均數(shù)、方差、極差與各個數(shù)據(jù)大小都有關(guān)系.而中位數(shù)是指將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么處于中間位置的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).顯然，中位數(shù)只受數(shù)據(jù)排列順序的影響，最大的數(shù)更大不影響處中間位置數(shù)的大小.

故選：C.

例2（2017·山東棗莊）下表記錄了甲、乙、丙、丁4名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數(shù)與方差：

由表中數(shù)據(jù)，從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)該選擇（ ）.

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

【答案】A.

【解析】∵甲=丙＞乙=丁，從平均數(shù)看跳高成績，越高越好，因此從甲和丙中選擇一人參加比賽.又因為s甲2＜s丙2，所以選擇甲參賽.

故選：A.

當平均數(shù)相同時，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定；平均數(shù)不同時，一般情況下，先由平均數(shù)來決定成績的好與不好.

二、從表格或圖形中獲取有用信息

例3 （2018·四川瀘州）某校對部分參加夏令營的中學(xué)生的年齡（單位：歲）進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：

17 1年齡人數(shù)13 1 14 2 15 2 16 3

則這些學(xué)生年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）.

A.16，15 B.16，14

C.15，15 D.14，15

【答案】A.

【解析】由表可知，人數(shù)最多的年齡是16歲，因此年齡的眾數(shù)為16歲；總共有9人，因此中位數(shù)為第五個人的年齡，由表可知，第五個人的年齡為15歲，因此中位數(shù)為15歲.

本題要從表格中獲取信息，根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)意義求出相關(guān)數(shù)值.

甲乙丙丁平均數(shù)（cm）185 180 185 180方差3.6 3.6 7.4 8.1

故選：A.

例4 （2017·重慶A卷）某班體育委員對本班學(xué)生一周鍛煉時間（單位：小時）進行了統(tǒng)計，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則該班這些學(xué)生一周鍛煉時間的中位數(shù)是 小時.

【答案】11.

【解析】由統(tǒng)計圖可知，一共有：6+9+10+8+7=40（人），

∴該班這些學(xué)生一周鍛煉時間的中位數(shù)是第二十個和第二十一個學(xué)生對應(yīng)的數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

∴該班這些學(xué)生一周鍛煉時間的中位數(shù)是11.

細心觀察，從圖表中獲取有用信息是解題關(guān)鍵.

例5 （2017·甘肅慶陽）中華文明，源遠流長；中華漢字，寓意深廣.為傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校團委組織了一次全校3000名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽.為了解本次大賽的成績，校團委隨機抽取了其中200名學(xué)生的成績作為樣本進行統(tǒng)計，制成如下不完整的統(tǒng)計圖表：

頻數(shù)、頻率分布表

根據(jù)所給信息，解答下列問題：

（1）m=________，n=________.

（2）補全頻數(shù)分布直方圖.

（3）這200名學(xué)生成績的中位數(shù)會落在______分數(shù)段.

（4）若成績在90分以上（包括90分）為“優(yōu)”等，請你估計該校參加本次比賽的3000名學(xué)生中成績是“優(yōu)”等的約有多少人？

【解析】（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：10÷0.05=200（人），則m=200×0.35=70，n=40÷200=0.2.

（2）頻數(shù)分布直方圖如下圖所示：

（3）200名學(xué)生成績的中位數(shù)是中間兩個學(xué)生成績的平均數(shù)，而中間兩個數(shù)均落在80≤x＜90中，∴這200名學(xué)生成績的中位數(shù)會落在80≤x＜90分數(shù)段.

（4）該校參加本次比賽的3000名學(xué)生中成績“優(yōu)”等的約有：3000×0.25=750（人）.

例6 （2018·湖南長沙）為了了解居民的環(huán)保意識，社區(qū)工作人員在光明小區(qū)隨機抽取了若干名居民開展主題為“打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)”的環(huán)保知識有獎問答活動，并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如下條形統(tǒng)計圖（得分為整數(shù)，滿分為10分，最低分為6分）.

請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查一共抽取了_____名居民.

（2）求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).

（3）社區(qū)決定對該小區(qū)500名居民開展這項有獎問答活動，得10分者設(shè)為“一等獎”.請你根據(jù)調(diào)查結(jié)果，幫社區(qū)工作人員估計需準備多少份“一等獎”獎品？

【解析】（1）由條形統(tǒng)計圖可得：4+10+15+11+10=50（人）.

（2）平均數(shù)=（4×6+10×7+15×8+11×9+10×10）÷50=8.26（分）.

眾數(shù)：由圖可知得8分的人數(shù)最多，為15人，故眾數(shù)為8分.

中位數(shù)：調(diào)查一共抽取了50人，排序后，第二十五名和第二十六名的平均數(shù)為中位數(shù)，即（8+8）÷2=8（分）.

（3）50名居民的分數(shù)是總體的一個樣本，由50人中有10人獲得“一等獎”，可以得到中獎的頻率，以此再來估計概率，進而可以計算出500名居民在活動中獲得“一等獎”的獎品數(shù)量.

例7 （2018·山東青島）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的折線圖如下圖，設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為s甲2，s乙2，則s甲2_________s乙2（填“＞”“=”“＜”）.

【答案】＞.

【解析】方法1：

方法2：由折線統(tǒng)計圖，我們可以看出甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)分散，故s甲2＞s乙2.

同學(xué)們在處理有關(guān)數(shù)據(jù)集中程度或離散程度問題時，首先要明確相關(guān)概念，了解它們的意義，知道它們在實踐中的應(yīng)用，還要學(xué)會從表格、圖形中獲取有用信息.