一類組合數(shù)問題酌多種解法

單奕陽

我對組合數(shù)這類問題“情有獨(dú)鐘”，不僅因?yàn)樗兄S富的現(xiàn)實(shí)意義，而且其解法常常會呈現(xiàn)多樣化的特征，能使我的數(shù)學(xué)思維更加靈活.前些天我就遇到了如下的這道證明題：

以前遇到的有關(guān)組合數(shù)的證明問題，一般都是每項(xiàng)的系數(shù)為1，這道題中待證等式左邊的每一項(xiàng)的系數(shù)是呈自然數(shù)列搭配，怎樣能“變”個(gè)系數(shù)出來呢？求導(dǎo)！

解法一先求導(dǎo)，再賦值，將n項(xiàng)的組合數(shù)問題與二項(xiàng)式定理連用，再利用賦值法求得結(jié)果.

將“求導(dǎo)”與組合數(shù)、二項(xiàng)式定理相結(jié)合，我以前也從未想過還可以這樣操作；“變”出系數(shù)，完全出于靈光一閃，這也許就是數(shù)學(xué)中的厚積薄發(fā)吧.回頭想想，其實(shí)求導(dǎo)不太容易想到.

方法二倒序錯(cuò)位法.將數(shù)列中常用的“倒序相加”與“錯(cuò)位相減”相融合，再嫁接到組合數(shù)問題的求解中來.

另外，我還利用我的“小資料庫”中的一個(gè)結(jié)論，找到了一個(gè)簡潔巧妙的辦法：

當(dāng)然，對于我們理科生來說，遇到有關(guān)正整數(shù)的證明問題，還得經(jīng)常記得數(shù)學(xué)歸納法這位“仁兄”的威力：

方法四數(shù)學(xué)歸納法.

所以n=k+l時(shí)，結(jié)論成立.

綜合①②可知：結(jié)論成立，

除了對多樣方法的靈活運(yùn)用外，一些常見的組合數(shù)公式也是解題的關(guān)鍵.

當(dāng)遇到不易處理的結(jié)構(gòu)時(shí)，可以設(shè)法構(gòu)造出以上的常見結(jié)構(gòu)，以便利用相關(guān)公式對條件式進(jìn)行化簡，從而使問題更加簡化.解決組合數(shù)問題時(shí)，還要注意聯(lián)想，比如在二項(xiàng)式定理、數(shù)列等中的常用方法可以進(jìn)行借鑒.當(dāng)然，利用組合數(shù)的原始定義——階乘表示式對結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形，得到所需也是不可忽略的重要手段.