談?wù)剶?shù)學(xué)解題的得與失

趙新澳

作為一名高三黨，解數(shù)學(xué)題是家常便飯，但我以為不能只是簡(jiǎn)單刷題，有時(shí)候解完題后再多問(wèn)幾個(gè)為什么，或許會(huì)“別有滋味”，在我們沉浸于“原來(lái)如此”的喜悅的同時(shí)，可以在解題的思路更新和能力創(chuàng)新方面得到真實(shí)的歷練.最近在學(xué)習(xí)向量的時(shí)候，我就遇到了一道題，在老師的鼓勵(lì)和幫助下，嘗試對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式推廣，頗有些得意，特記錄下來(lái)與同學(xué)們一起分享.

一、就題論題，問(wèn)題解決

原題 在等腰直角△ABC中，∠BAC =90°，AB =AC =2，M，N分別為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足MN=√2，則AM.AN的取值范圍為_(kāi)___.

一般情況下，向量問(wèn)題有三種處理思路，即直接法、坐標(biāo)法和基向量轉(zhuǎn)換法.考慮到這道題沒(méi)有給出向量長(zhǎng)度和夾角，從而用定義直接處理的思路就首先否定了；然后又因?yàn)轭}目中有垂直，因?yàn)槲以谔幚頃r(shí)選擇的是坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)、AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，其解題過(guò)程如下：

因BC的直線(xiàn)方程為y=2 z，故而設(shè)M（m，2-m）.N（n.2-n）（0≤m

MN=√2 （n-m）2+[（2-n）-（2-m）]2=2 n-m=1.

有AM.AN=（m.2-m）.（n，2-n）=mn+（2-m）（2-n）=2m2-2m +2，m∈[0，1].

由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)m=1/2時(shí)，AM.AN有最小值3/2；當(dāng)m-0或1時(shí)，有最大值2.

所以取值范圍就為[3/2，2].

當(dāng)然類(lèi)似地，以AB，AC為基向量，然后將AM，AN轉(zhuǎn)化為基向量的線(xiàn)性表達(dá)式，因?yàn)榛蛄恳阎?，這樣就可以把AM.AN表示出來(lái)，于是同樣也可求出相應(yīng)數(shù)量積的范圍，

本來(lái)題目做到這兒就可以結(jié)束了，但我發(fā)現(xiàn)m=1/2時(shí)，MN恰好處于線(xiàn)段BC的中間位置（MN的中點(diǎn)即為BC的中點(diǎn)）；而m=0或1時(shí)，MN偏向線(xiàn)段BC的一側(cè)（有一個(gè)端點(diǎn)與線(xiàn)段BC的端點(diǎn)重合）；加之本題的背景是等腰直角三角形，從圖形的對(duì)稱(chēng)性上也能解釋特殊法的合理性，于是我就想，這樣的結(jié)論是否可以推廣到一般的等腰三角形中呢？

順著這個(gè)思路我對(duì)題目做了個(gè)推廣，∠BAC=θ（θ為常數(shù)），AB=AC=a，MN設(shè)為定長(zhǎng)6（

二、眾里尋它，方得始終

第二天帶著問(wèn)題求教老師，老師帶我用GeoGebra軟件做了推廣驗(yàn)證（如圖1），改變M點(diǎn)的位置，得到數(shù)量積的計(jì)算值；而以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)、數(shù)量積的計(jì)算值分別為橫縱坐標(biāo)構(gòu)造E點(diǎn)后，然后以M點(diǎn)為主動(dòng)點(diǎn)、E點(diǎn)為從動(dòng)點(diǎn)構(gòu)造軌跡（如圖2）；軌跡圖象有力地支持了我的猜想，而這樣的圖象特性（在中點(diǎn)處取得最小值、在端點(diǎn)處取得最大值）恰與θ角的大小無(wú)關(guān)，真是“有圖有真相”，這一驗(yàn)證讓我頓時(shí)信心百倍.

而回首我昨晚的證明過(guò)程，經(jīng)過(guò)討論我們發(fā)現(xiàn)，之所以沒(méi)證出來(lái)關(guān)鍵是題設(shè)字母設(shè)的不合理，MN這一定值不應(yīng)設(shè)為絕對(duì)值，而應(yīng)設(shè)為相對(duì)值（可設(shè)為MN =tBC，t∈[0，l]），這樣計(jì)算起來(lái)應(yīng)該方便些.再者，考慮到書(shū)上有關(guān)于三點(diǎn)共線(xiàn)的一個(gè)結(jié)論：P點(diǎn)在直線(xiàn)AB上，則有OP=mOA+nOB且m+n=1.于是在老師的鼓勵(lì)下，我修正了原來(lái)的解法，整理推廣過(guò)程如下：

因?yàn)镸N在BC上，所以有MN =t BC，t∈[0，1].

設(shè)BM =λBC，BN=μBC，0≤λ<μ≤1，

于是MN =BN-BM=（μ-λ）BC =tBC μ-λ=t，

BM =λBC， BN=μBC AM=（1-λ） AB+λAC， AN=（I-μ）AB+μAC，

所以AM.AN =（1-λ）AB +λAC].[（1-μ）AB+μAC]

=（1-λ）（1-μ）AB2+[（1-λ）μ+λ（1-μ）]AB.AC +λμAC2

=[1-（λ+μ）+2μλ]a2+[（λ+μ）-2λμ]a2cosθ

=a2+[2λμ-（λ+μ）]a2（1-cOsθ）.

說(shuō)實(shí)在題目解到這兒已是不易，接下來(lái)往哪兒走卻很關(guān)鍵.冷靜再冷靜回頭看，我發(fā)現(xiàn)題中有M，N兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們分別對(duì)應(yīng)著變量λ和μ，這樣四個(gè)字母中就λ和μ是變量了；于是只需要重點(diǎn)考慮2μ-（λ+u）即可，結(jié)合兩限制條件0≤λ<μ≤1，μ-λ=t，可以想到消元，于是想到干脆提取出λ為未知元建立函數(shù)進(jìn)行研究：設(shè)f（λ） =2λμ-（λ+μ），由μ-λ=t，消元得f（A） =2λ22（1-t）λ -t，λ∈[0，1-t].

二次函數(shù)f（λ）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為λ=（1-t）/2，這樣結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，可得出結(jié)論：當(dāng)A=（1-t）/2時(shí)，f（λ）取得最小值（此時(shí)μ=（1+t）/2，MN恰好在BC的中間位置）；λ=0或1-t時(shí)，f（λ）取得最大值（此時(shí)M，B重合或N，C重合）；于是猜想得證.這樣，我們就可從原題得到一推廣命題：

在等腰三角形ABC中，∠BAC=θ（θ為常數(shù)），AB =AC =a，M，N分別為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足MN =t BC，t∈[0，1].當(dāng)MN位于BC中間位置時(shí)，AM -AN取得最小值a2 丟（t2 +l）a2（1-cosθ）；當(dāng)MN偏向線(xiàn)段BC一側(cè)（有一端點(diǎn)與線(xiàn)段BC端點(diǎn)重合）時(shí)，AM.AN取得最大值a2-ta2（1-cOsθ）.

這次探究經(jīng)歷，于我而言，“得”遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于“失”，“失”的是寶貴的時(shí)間（過(guò)程很費(fèi)周章），“得”的卻是對(duì)數(shù)學(xué)解題滿(mǎn)滿(mǎn)的體驗(yàn)：

1.對(duì)數(shù)學(xué)解題的全新思考.通過(guò)題目特殊位置特殊值的分析，猜想一般化的結(jié)論，繼而證明猜想，從而發(fā)現(xiàn)一有關(guān)數(shù)量積范圍的推廣命題，我覺(jué)得這才是日常做數(shù)學(xué)的感覺(jué).

2.數(shù)學(xué)解題需要有一定的想象和思維發(fā)散，在推廣過(guò)程中我的發(fā)散思維得到了鍛煉，我對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)更加清晰，事實(shí)上原題中MN=√2即相當(dāng)于推廣題中t=1/2，這樣只要將推廣題的證明稍作改動(dòng)就得到原題的基向量的證法（事實(shí)上據(jù)我調(diào)查，原題的基向量的證法，我們班還沒(méi)幾個(gè)同學(xué)可以得出，原因還在于他們不會(huì)處理√2這個(gè)條件）.

3.數(shù)學(xué)解題需要明辨方向、梳理思路，原來(lái)我之所以會(huì)陷入困境，主要還是忽視了書(shū)上的三點(diǎn)共線(xiàn)性質(zhì)，看來(lái)回歸課本在高三復(fù)習(xí)中不僅重要還很必要；而有了這次經(jīng)歷，下次再遇到含多個(gè)字母的試題，我會(huì)更有底氣與毅力.