高考中的數(shù)學(xué)文化：欣賞數(shù)學(xué)的真、善、美

任念兵

數(shù)學(xué)文化是國家文化素質(zhì)教育的重要組成部分，2017年高考數(shù)學(xué)考綱的一個重大變化就是明確提出要加大數(shù)學(xué)文化的考查力度.有關(guān)高考中的數(shù)學(xué)文化的研究，目前正呈現(xiàn)如火如荼之態(tài).值得關(guān)注的傾向是，目前的相關(guān)研究常常泛化數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，甚至將所有考查數(shù)學(xué)能力的高考題都納人數(shù)學(xué)文化的范疇，如此就顯得“數(shù)學(xué)文化”早就在高考中占有重要地位了，何來考綱中提出的“變化”？所以，需要正本清源，明確高考中的數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，有針對性地進(jìn)行扎實(shí)穩(wěn)妥的高考復(fù)習(xí)，

教育部考試中心陳昂、任子朝認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化的最主要內(nèi)涵是一種理性思維方式在實(shí)踐過程中的不斷探索，形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用，數(shù)學(xué)具有真、善、美三個層次的表現(xiàn)力，數(shù)學(xué)文化應(yīng)包含對數(shù)學(xué)的科學(xué)性和理性精神的認(rèn)同，對數(shù)學(xué)的價值和功用的肯定，對數(shù)學(xué)的藝術(shù)性的感悟，高考中的數(shù)學(xué)文化試題，是以數(shù)學(xué)史作為試題背景，主要包括數(shù)學(xué)家生平故事、數(shù)學(xué)史事件、數(shù)學(xué)名著等，通過創(chuàng)設(shè)新的情境、改變設(shè)問方式等多種方法欣賞數(shù)學(xué)的真、善、美.在滲透數(shù)學(xué)文化的同時，高考題特別注重與數(shù)學(xué)知識的有機(jī)結(jié)合，著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化素材中理性思維的本質(zhì)內(nèi)涵.

高考中的數(shù)學(xué)文化試題，從試題背景看，其主要類型有涉及數(shù)學(xué)史料中的古算題、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)家人物及優(yōu)秀成果、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的文化聯(lián)系等.從試題的具體內(nèi)容看，可以分為數(shù)學(xué)發(fā)展史（或數(shù)學(xué)名著）上的經(jīng)典問題（如阿波羅尼斯圓、米勒問題等）、重要結(jié)論（如楊輝三角、祖咂原理等）、重要思想方法（如算法思想、極限思想等）三個層次.從問題呈現(xiàn)方式看，可以分為顯性和隱性兩種形式，前者直接給出數(shù)學(xué)文化背景作為試題的情景或者引子，解答與背景基本無關(guān)，后者則不直接給出背景，而是隱含考查與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的知識和思想方法.從試題難度看，欣賞數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之善（應(yīng)用價值）的試題較易，欣賞數(shù)學(xué)之真（理性精神）的試題較難；以顯性背景呈現(xiàn)的試題較易，隱含數(shù)學(xué)文化背景的試題較難.

一、欣賞數(shù)學(xué)之真

例1 （2013年高考上海卷）在xOy平面上，將兩個半圓?。╔-1）2+y2 =1（x≥1）和（x-3）2+y2 =1（x≥3）、兩條直線y=l和y=-1圍成的封閉圖形記為D，如圖1中陰影部分.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω，過（0，y）（|y|≤1）作Q的水平截面，所得截面面積為4π√（1-y2）+8π，試?yán)米胬苍?、一個平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體枳值為______.

解 根據(jù)提示，一個半徑為1，高為2π的圓柱平放，一個高為2，底面面積為8π的長方體，這兩個幾何體與Ω放在一起，根據(jù)祖咂原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即Q的體積值為丌.12·2π +2·8π =2π2 +16π.

例2（2016年上海閔行區(qū)一模）我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為b/a和d/a（a，b，c，d∈N*），則（b+d）/（a+c）是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道π=3.14159…，若令31/10<π<49/15，則第一次用“調(diào)日法”后得萼是π的更為精確的過剩近似值，即31/10<π<49/15，若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，那么第四次用“調(diào)日法”后可得π的近似分?jǐn)?shù)為_____.

解 第二次用“調(diào)日法”后得47/15是π的更為精確的不足近似值，即47/15<π<16/5；第三次用“調(diào)日法”后得63/20是π的更為精確的過剩近似值，即47/15<π<16/5；第四次用“調(diào)日法”后得22/7是π的更為精確的過剩近似值，即47/15<π<16/5；故答案為22/7.

點(diǎn)評 例1考查祖暅原理的靈活運(yùn)用，由于祖暅原理是教材中的內(nèi)容，因此在試題中不再復(fù)述；例2則以閱讀材料的形式介紹“調(diào)日法”，考查即時學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生體會我國古代數(shù)學(xué)的精髓——算法思想.無論是顯性還是隱性呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化背景，在高考題中欣賞數(shù)學(xué)之真，關(guān)鍵是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化背景下的重要原理（如祖暅原理為求體積的依據(jù)）、重要思想方法（如調(diào)日法所反映的算法思想）中所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)理性精神.

二、欣賞數(shù)學(xué)之善

點(diǎn)評 例1是基于荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計的機(jī)械橢圓規(guī)命制的，這是橢圓方程知識的實(shí)際應(yīng)用的例證，至于圓錐曲線知識在天文、航海等方面的應(yīng)用更是不勝枚舉，而這些實(shí)際問題正是推動解析幾何思想萌芽和發(fā)展的原始動力.例2則是以信息論的基本概念為背景的，1948年克勞德·香農(nóng)創(chuàng)立了數(shù)學(xué)信息論，用對數(shù)來刻畫信息量的概念.在看起來“沒有數(shù)學(xué)問題”的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解決問題，乃是數(shù)學(xué)之善的深刻表現(xiàn).

三、欣賞數(shù)學(xué)之美

點(diǎn)評 例5考查了圖形的對稱性，而數(shù)學(xué)概念、定理、公式本身的形式之美，正體現(xiàn)在對稱、統(tǒng)一、簡潔、奇異等方面，欣賞數(shù)學(xué)之美、享受數(shù)學(xué)文化的熏陶也是素質(zhì)教育的重要環(huán)節(jié).

最后，回到日常學(xué)習(xí)和高三復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)該重視教材中隱含的數(shù)學(xué)文化素材.許多高考數(shù)學(xué)文化題都來源于教材，比如“阿波羅尼斯圓”“三角形數(shù)”“割圓術(shù)”等均出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中.保持旺盛的求知欲望，凡事問個“為什么”，鉆研教材、延伸閱讀，是應(yīng)對高考數(shù)學(xué)文化題的基本策略.