數(shù)學(xué)文化教養(yǎng)對(duì)入生的作用

編者按：本篇是徐利治先生在全國(guó)首屆數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育論壇暨數(shù)學(xué)文化節(jié)的精彩演講.徐利治先生是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、教育家，90多歲的徐老不僅精神矍爍、平易近人，而且思維敏捷、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，他結(jié)合自己從事數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育近70年的經(jīng)驗(yàn)，用生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)與生活語(yǔ)言，深入淺出地講述了數(shù)學(xué)文化教養(yǎng)對(duì)于人生的價(jià)值和意義.

我的講題是“數(shù)學(xué)文化教養(yǎng)對(duì)人生工作事業(yè)的一般作用”.

這里我所說(shuō)的“數(shù)學(xué)文化教養(yǎng)”，其涵義是指：在數(shù)學(xué)文化教育熏陶下以及在數(shù)學(xué)工作實(shí)踐中所養(yǎng)成的精神氣質(zhì)與思維方式及習(xí)慣.內(nèi)容包括：“求真精神”“真善美價(jià)值觀”以及能按“數(shù)學(xué)思維方式”進(jìn)行思維的方法與習(xí)慣.后者又可稱(chēng)之為“數(shù)學(xué)頭腦”.

大家知道，數(shù)學(xué)教育有二重功能：一是技術(shù)教育功能，二是文化教育功能.后者是指數(shù)學(xué)教育對(duì)培育人的文化素質(zhì)方面的作用.

從歷史上看，最先認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)文化教育功能的，是2000年前古希臘哲學(xué)家柏拉圖（Plato）.他在所辦學(xué)府門(mén)口曾張貼布告：“未習(xí)幾何者不許入門(mén).”意思是說(shuō)：“不明白理性思維重要意義的人，是不能成為他的門(mén)徒的.”這可能有點(diǎn)像今日海內(nèi)外大學(xué)招生時(shí)都要求報(bào)考者必須學(xué)過(guò)“中學(xué)數(shù)學(xué)課程”一樣，但在入學(xué)考試中都只偏重于測(cè)試技術(shù)性數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容.至于如何測(cè)試人的數(shù)學(xué)文化教養(yǎng)，顯然還是個(gè)未解決的問(wèn)題.

數(shù)學(xué)的文化教育功能，有廣義與狹義兩個(gè)方面.16世紀(jì)英國(guó)的一些數(shù)學(xué)教師和中學(xué)校長(zhǎng)，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)有些性格粗暴喜歡打架爭(zhēng)斗的青少年，學(xué)過(guò)一些數(shù)學(xué)課程后，性格變得溫順了，粗心大意的壞脾氣也改好了.所以當(dāng)年的一些英國(guó)教育家曾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教育不僅有制怒作用，并且有把粗心大意習(xí)性改造成細(xì)心慎重的作用.”甚至，有的學(xué)者還把數(shù)學(xué)文教功能，說(shuō)成是“數(shù)學(xué)能修飾人們的心靈（或靈魂）”.我想，一定會(huì)有不少文學(xué)家與詩(shī)人，也會(huì)把他們的專(zhuān)業(yè)說(shuō)成有同樣功能.

這里我只想就廣義方面，來(lái)談?wù)摂?shù)學(xué)文化教養(yǎng)對(duì)一般事業(yè)型人生的作用與影響.

作為舉例，又為了簡(jiǎn)短起見(jiàn)，我只提到三個(gè)歷史人物：一是拿破侖（ Napoleon），二是摩爾根（ Morgan），三是中國(guó)的老革命家陳云.

我讀過(guò)拿破侖傳.如大家所知，拿破侖青少年時(shí)代很喜歡數(shù)學(xué)，對(duì)幾何學(xué)十分著迷，后來(lái)成為軍事統(tǒng)帥，打了多次勝仗.特別是在有名的“奧斯特里茨”戰(zhàn)役中，以少勝多，打敗了奧俄聯(lián)軍，成為18世紀(jì)歐洲戰(zhàn)爭(zhēng)史上引人贊嘆的一頁(yè).恩格斯曾在著作中特別贊揚(yáng)了拿破侖的軍事運(yùn)籌智慧.

事實(shí)上，拿破侖的運(yùn)籌智慧來(lái)源于他的“數(shù)學(xué)頭腦”，他較精確地估計(jì)了雙方軍隊(duì)布陣的態(tài)勢(shì)和敵方的進(jìn)軍時(shí)間與路線，正確設(shè)定了法軍的進(jìn)軍計(jì)劃（實(shí)際上符合數(shù)學(xué)上“關(guān)系映射反演”原理），致使奧俄聯(lián)軍徹底潰敗，投降求和.

我對(duì)摩爾根知之甚少，只從小傳中得知他的青年時(shí)代，攻讀數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)，顯示出很大興趣和很高才能，由于他以慧眼洞察到當(dāng)年美國(guó)的“銀行業(yè)”大有發(fā)展前途，就立志投身于銀行事業(yè).他運(yùn)用卓越的數(shù)學(xué)頭腦，分析估算資金運(yùn)行規(guī)律，并利用符合優(yōu)化法則的管理方法……終于成為美國(guó)銀行業(yè)界“摩爾根財(cái)團(tuán)”的首創(chuàng)者與奠基人.

最近我以很大的興趣和敬仰的心情看完了中央一臺(tái)黃金時(shí)間播出的30集《陳云傳》，感到很受啟發(fā).聯(lián)系數(shù)學(xué)的“文教功能”主題，我立即聯(lián)想到陳云在領(lǐng)導(dǎo)全國(guó)財(cái)經(jīng)事業(yè)上的卓越成就和功勛，是與他具有一個(gè)很好的“數(shù)學(xué)頭腦”分不開(kāi)的（雖然他并未學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)）.

陳云出身貧寒，高小畢業(yè)后就進(jìn)入上海商務(wù)印書(shū)館當(dāng)學(xué)徒工.小學(xué)讀書(shū)時(shí)喜歡珠算與算術(shù)，能熟練地在算盤(pán)上操作加、減、乘、除等運(yùn)算.可以想見(jiàn)，如果他晚出生50年，一定是一位善于操作電子計(jì)算機(jī)的能手.

陳云進(jìn)入商務(wù)印書(shū)館后，曾努力勤奮自學(xué)，所以他后來(lái)能具有很高的文化水平（甚至?xí)ㄋ揭埠芨撸?

陳云的“數(shù)學(xué)頭腦”，主要表現(xiàn)在對(duì)待全國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)有關(guān)的各項(xiàng)數(shù)據(jù)，能進(jìn)行宏觀的估算與精細(xì)的運(yùn)作及規(guī)劃等方面.在電視傳記中曾顯示了幾個(gè)例子.由于他常用算盤(pán)做估算，所以黨內(nèi)老同志常稱(chēng)他為“鐵算盤(pán)”.事實(shí)上他所作的多次估算與經(jīng)濟(jì)計(jì)劃都是符合生產(chǎn)與消費(fèi)的客觀規(guī)律的.可惜的是，全國(guó)“文化大革命”一開(kāi)始，他就被貶黜下放到江西省去蹲點(diǎn)勞動(dòng)了.后來(lái)“四人幫”橫行霸道若干年，搞得全國(guó)民不聊生.

在必須解決“四人幫”問(wèn)題之前，他曾采用“統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)”中的樣本估算方法，仔細(xì)研究了當(dāng)年中國(guó)共產(chǎn)黨“中央委員會(huì)”與“候補(bǔ)委員會(huì)”名單中不同派別的政治力量的對(duì)比狀況.經(jīng)過(guò)估算得出的結(jié)論是，“通過(guò)合法斗爭(zhēng)勝算較小”.因而當(dāng)葉劍英元帥訪問(wèn)他商討對(duì)策時(shí)，一致同意必須采用“非常手段”——即抓捕方法以解決問(wèn)題.后來(lái)果然一舉成功，很快為全國(guó)人民除掉了中國(guó)現(xiàn)代史上的一個(gè)大禍害.

以上的三個(gè)歷史故事，說(shuō)明了兩點(diǎn)事實(shí)：一是所謂“數(shù)學(xué)頭腦”，就是泛指能遵循數(shù)學(xué)科學(xué)的思想方法與規(guī)律去處理問(wèn)題和解決問(wèn)題的才智；二是“數(shù)學(xué)頭腦”甚至能有助于解決軍事、經(jīng)濟(jì)和政治斗爭(zhēng)中的重大問(wèn)題，這一事實(shí)也就可以幫助說(shuō)明，英國(guó)在培養(yǎng)高級(jí)律師的院校中，以及美國(guó)在培養(yǎng)將帥的西點(diǎn)軍校中，為什么都要把“高等數(shù)學(xué)”作為學(xué)員必修科目的理由了（1993年旅美期間，我曾應(yīng)邀訪問(wèn)西點(diǎn)軍校，做了兩次講座，聞知該校重視數(shù)學(xué)的情況）.20世紀(jì)80年代后，中國(guó)的某些高等院校中為文科大學(xué)生也開(kāi)設(shè)“高等數(shù)學(xué)”課程，說(shuō)明國(guó)內(nèi)已有不少高教界人士開(kāi)始重視數(shù)學(xué)文化教養(yǎng)的普遍作用了.

事實(shí)上，數(shù)學(xué)頭腦是數(shù)學(xué)文化教養(yǎng)的一個(gè)重要組成部分，而且是受到文化教養(yǎng)中的精神素質(zhì)支配的，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化教養(yǎng)的主要精神素質(zhì)（或品質(zhì)）有二，一是求真精神，就是追求真理、堅(jiān)持真理和去偽存真的精神.認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以致喜愛(ài)數(shù)學(xué)，就容易養(yǎng)成這種精神，并能在爾后的工作、實(shí)踐乃至斗爭(zhēng)中強(qiáng)固這種可貴的精神品質(zhì).二是真、善、美價(jià)值觀念.它驅(qū)使人樂(lè)愿去發(fā)現(xiàn)具有真、善、美特性的客觀事物，又會(huì)努力去創(chuàng)造具有真、善、美特征的新穎事物，故成為人的創(chuàng)造性動(dòng)力.這種能引發(fā)創(chuàng)造動(dòng)力的價(jià)值觀念，也是可以在認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步生成并強(qiáng)固起來(lái)的.（當(dāng)然在“數(shù)學(xué)美學(xué)”中，真、善、美都有其特殊涵義）

這里需要補(bǔ)加說(shuō)明的一點(diǎn)是，看來(lái)這是一種屬于心理學(xué)范疇的客觀現(xiàn)象規(guī)律：凡是人們?cè)谔厥鈼l件下形成的思想、觀念、情感與信念等，往往具有延拓（拓展）與外推的本能；所以，人們?cè)诰哂刑厥獾那笳婢竦纫氐臄?shù)學(xué)教育熏陶下，就會(huì)獲得對(duì)待一般事物而言的求真精神等.

閱讀科學(xué)發(fā)展史，就能發(fā)現(xiàn)許多作出重要貢獻(xiàn)的科學(xué)家與科學(xué)工作者，都是具有堅(jiān)定的“求真精神”與“真、善、美價(jià)值觀”的人物.

在現(xiàn)實(shí)生活中也常常能見(jiàn)到，凡有著“求真精神”的人，往往都是明辨是非、客觀公正、辦事認(rèn)真、為人正直的人.所以他們往往是受人尊敬和信賴(lài)的人.這一事實(shí)，也能幫助理解一種并非偶然的社會(huì)現(xiàn)象，即海內(nèi)外的許多中學(xué)校長(zhǎng)，為什么大多是高等數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出來(lái)的人才（甚至有不少大學(xué)校長(zhǎng)，也出身于數(shù)學(xué)工作者）.具有數(shù)學(xué)教養(yǎng)的精神品質(zhì)，加上數(shù)學(xué)頭腦，這樣的人才與工作干部，自然就能為社會(huì)人群做出有益的貢獻(xiàn).一個(gè)人從小學(xué)、中學(xué)到大學(xué)，要學(xué)習(xí)許多門(mén)數(shù)學(xué)，即就必須享受義務(wù)教育的廣大學(xué)生來(lái)說(shuō)，也要學(xué)很多門(mén)數(shù)學(xué)，很顯然，數(shù)學(xué)教育的一個(gè)偉大目標(biāo)，就是要為和諧的現(xiàn)代化社會(huì)，培育大量有著不同水準(zhǔn)的數(shù)學(xué)文化教養(yǎng)的職業(yè)公民與專(zhuān)業(yè)工作者.

最后，我樂(lè)愿談一點(diǎn)我從事數(shù)學(xué)教學(xué)與教育的個(gè)人經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn)與體會(huì)，供有興趣者參考.

我進(jìn)大學(xué)前，讀過(guò)六年師范學(xué)校.前三年讀的是江蘇省立洛社鄉(xiāng)村師范，后三年在抗日戰(zhàn)爭(zhēng)初期（流亡到大后方）肄業(yè)于貴州省銅仁國(guó)立第三中學(xué)高師部.我曾教過(guò)小學(xué)，在昆明西南聯(lián)大學(xué)習(xí)時(shí)曾在中學(xué)兼過(guò)課.1945年畢業(yè)后，就一直在大學(xué)任教，所以在我60余年的數(shù)學(xué)生涯中教過(guò)小學(xué)、中學(xué)和大學(xué)，特別對(duì)師范教育，始終懷有深厚感情.

我教數(shù)學(xué)時(shí)，總希望學(xué)生不必害怕數(shù)學(xué)，總是努力要把教材中最簡(jiǎn)單、最直觀、最易懂的內(nèi)容首先教會(huì)學(xué)生，常常努力設(shè)法（有時(shí)借助于繪圖）讓學(xué)生從客觀的“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”中直觀地弄明白數(shù)學(xué)題材內(nèi)容.我常對(duì)他們說(shuō)：“由觀察可發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象中的客觀規(guī)律.”“直觀上懂了，才是真正懂了.我自己的經(jīng)驗(yàn)就是如此.”

我看重做題，而題量較少，并且不看重考試.所以學(xué)生跟我學(xué)數(shù)學(xué)并不感到壓力和負(fù)擔(dān).而有些學(xué)生還很快能對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣.事實(shí)上興趣能幫助獲得文化教養(yǎng).

對(duì)數(shù)學(xué)題材，我一貫堅(jiān)持“化繁為簡(jiǎn)、化難為易”.面對(duì)例習(xí)題，總是鼓勵(lì)學(xué)生要努力學(xué)會(huì)“化簡(jiǎn)”的本事，并且還鼓勵(lì)他們要按個(gè)人興趣去選讀課外讀物（例如數(shù)學(xué)小叢書(shū)或參考書(shū)等）.

在中學(xué)與大學(xué)教學(xué)中，我特別強(qiáng)調(diào)“對(duì)應(yīng)”（包括“關(guān)系對(duì)應(yīng)”）的概念是數(shù)學(xué)中最最重要的核心思想（例如，數(shù)、量對(duì)應(yīng)，坐標(biāo)與位置點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，函數(shù)關(guān)系，映射變換關(guān)系，曲線軌跡與坐標(biāo)變量的動(dòng)態(tài)對(duì)應(yīng)，相似形比例對(duì)應(yīng)，反映事物實(shí)在關(guān)系的數(shù)學(xué)模型、種種物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)的微分方程模型，等等）.此外，有關(guān)隨機(jī)性現(xiàn)象的“頻率估算”也是重要的數(shù)學(xué)思想方法（包括概率、統(tǒng)計(jì)模型的建立以及各種“統(tǒng)計(jì)量”的分析處理等等）.學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想和方法，就能養(yǎng)成一個(gè)會(huì)處理高端科技問(wèn)題的數(shù)學(xué)頭腦了.

最后需要補(bǔ)充提到的是，對(duì)于連系著數(shù)學(xué)文化教養(yǎng)的“數(shù)學(xué)審美意識(shí)”，要重視兩點(diǎn)作用：一是它具有引發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思想與形成重要概念的作用（可參閱Hadamard的《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》），二是審美意識(shí)的恒久保持有助于健康長(zhǎng)壽.數(shù)學(xué)界有不少例子，我個(gè)人也很有體會(huì).

我相信，懷有“審美意識(shí)”從事與數(shù)學(xué)有關(guān)的任何工作，都是有利于健康長(zhǎng)壽的工作.因此，我祝愿數(shù)學(xué)教師與研究工作者們都和我一樣，將能在數(shù)學(xué)的工作事業(yè)中享有高壽！