萬有引力公式中r的含義辨析

胡宏

一、五種表達式中r的物理意義

1.萬有引力定律中的r

萬有引力定律的內(nèi)容是：宇宙間一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們間的距離的平方成反比.

萬有引力定律的公式是：

萬有引力定律的適用條件是：嚴(yán)格來說公式只適用于質(zhì)點間的相互作用，r表示兩質(zhì)點間的距離.當(dāng)兩個物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身大小時公式也近似適用，但此時它們間距離r應(yīng)為兩物體質(zhì)心間距離.

2.開普勒行星運動定律中的r

開普勒第三定律（周期定律）：各個行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方和它們的橢網(wǎng)軌道的半長軸的立方成正比.若用r表示橢網(wǎng)軌道的半長軸，用T表示行星的公轉(zhuǎn)周期，則有k= r³/T²是一個與行星無關(guān)的常量.式中的r表示橢網(wǎng)軌道的半長軸，如果軌跡是圓，則表示網(wǎng)軌道的半徑.

3.體積中公式中的r

二、典型例題

例1 世界上第一顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運行軌道的長軸比第二顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球軌道的長軸短8 000 km，第一顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)的周期是96.2 min，求第一顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球軌道的長軸和第二顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)的周期（已知地球質(zhì)量M=5. 98×10²⁴ kg）.

解析 本題中第一顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球軌道的長軸與第二顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)的周期均是待求量，僅由開普勒行星運動定律難以求解.因此可以假想有一顆近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運行，由萬有引力提供向心力的關(guān)系求出衛(wèi)星的R³/T²，又由開普勒第三定律知，所有繞地球運行的衛(wèi)星的r³/T²值均相等，只要把假想衛(wèi)星的R³/T²題中的二衛(wèi)星的r³/T²值相比較即可求得結(jié)論.

假想有一顆近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運行，由于萬有引力提供向心力，則

再設(shè)第一顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球軌道的長軸為a，第二顆人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運轉(zhuǎn)的周期為T，由開普勒第三定律得

例2 飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T，如果飛船要返回地面，可在軌道上某一點A處將速率降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行，橢圓與地球表面在B點相切，如圖1所示，求飛船由A點運動到B點所需要的時間.（已知地球半徑為Ro）

例3現(xiàn)根據(jù)對某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測量確定，該雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是M，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點做圓周運動.萬有引力常量為G.求：

（1）試計算該雙星系統(tǒng)的運動周期T

（2）若實驗上觀測到運動周期為T'，且T'：T=1：√N（N>1），為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測不到的物質(zhì)——暗物質(zhì)，作為一種簡化的模型，我們假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，而不考慮其他暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀測結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度.

解析 “雙星”系統(tǒng)中的兩個天體共同圍繞其中心天體連線上的一點而做的勻速網(wǎng)周運動.不存在“環(huán)繞”與“被環(huán)繞”的關(guān)系，與地球“繞”太陽和月球“繞”地球的運轉(zhuǎn)情形截然不同.因此，明確地區(qū)分“雙星”之間的距離L與雙星運轉(zhuǎn)的軌道半徑r的本質(zhì)不同于內(nèi)在關(guān)系就更為重要.

“雙星系統(tǒng)”是一種比較特殊化、理想化的天體運動的模型，求解“雙星”問題時必須注意到雙星之間的距離L與兩球體各自做勻速網(wǎng)周運動的軌道半徑r的本質(zhì)區(qū)別與內(nèi)在關(guān)系，并建立雙星的空間運動模型，然后依據(jù)萬有引力定律與勻速網(wǎng)周運動的規(guī)律求解即可.

（1）由于“雙星”的兩個星體之間的萬有引力提供二者的向心力，且因二者的質(zhì)量相等，故各自的運動半徑均為L/2，設(shè)各自的運行速度為v，由萬有引力定律得

此題中出現(xiàn)的“雙星”“暗物質(zhì)”均是很新穎的名詞，是天文學(xué)的一種模型.求解“雙星”問題必須把握幾個要點：

①運用等效抽象的思維建立“雙星”運行的空間物理情景；

②運用邏輯思維的方法，依據(jù)萬有引力定律和勻速網(wǎng)周運動的規(guī)律以及密度公式進行求解.