萬有引力重點知識梳理和分析

顧國富

例1 1798年，英國物理學(xué)家卡文迪許測出萬有引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質(zhì)量的人.若已知萬有引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個晝夜的時間T1（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時間T2（地球公轉(zhuǎn)周期），地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽中心的距離L2.你能計算出 （）

估算天體質(zhì)量和密度時應(yīng)注意的問題：

（1）利用萬有引力提供天體做網(wǎng)周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量.

2.極地衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星

（1）極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球白轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋.

（2）近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速網(wǎng)周運動的衛(wèi)星，其運行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運行線速度約為7.9 km/s.

（3）同步通信衛(wèi)星與地面保持相對靜止，同步通信衛(wèi)星的軌道平面一定與地球的赤道平面重合，同步通信衛(wèi)星的周期與地球白轉(zhuǎn)周期相同為24 h，為一定值，所以同步通信衛(wèi)星的軌道半徑也是一個定值，離開地球表面的距離約為36 000 km.同步通信衛(wèi)星的軌道半徑是一個定值，有關(guān)同步通信衛(wèi)星運動學(xué)的量速率、角速度、向心加速度均為定值.

（4）各種衛(wèi)星的軌道平面一定通過地球的球心.

例2 （2013.廣東）如圖1，甲、乙兩顆衛(wèi)星以相同的軌道半徑分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運動，下列說法正確的是

A.甲的向心加速度比乙的小

B.甲的運行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙的大

D.甲的線速度比乙的大

答案A

例4 2013年12月2日，我國探月探測器“嫦娥三號”在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射升空，此飛行軌道示意圖如圖2所示，地面發(fā)射后奔向月球，在P點從圓形軌道I進入橢圓軌道Ⅱ，Q為軌道Ⅱ上的近月點.下列關(guān)于“嫦娥三號”的運動，正確的說法是

（）

A.發(fā)射速度一定大于7.9 km/s

B.在軌道Ⅱ上從P到Q的過程中速率不斷增大

C.在軌道Ⅱ上經(jīng)過P的速度小于在軌道I上經(jīng)過P的速度

D.在軌道Ⅱ上經(jīng)過P的加速度小于在軌道I上經(jīng)過P的加速度

解析“嫦娥三號”探測器的發(fā)射速度一定大于7.9 km/s，A正確.在軌道Ⅱ上從P到Q的過程中速率不斷增大，選項B正確.“嫦娥三號”從軌道I上運動到軌道Ⅱ上要減速，故在軌道Ⅱ上經(jīng)過P的速度小于在軌道I上經(jīng)過P的速度，選項C正確.在軌道Ⅱ上經(jīng)過P的加速度等于在軌道I上經(jīng)過P的加速度，D錯.

答案 ABC

例5 如圖3所示，搭載著“嫦娥二號”衛(wèi)星的長征三號丙運載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，衛(wèi)星由地面發(fā)射后，進入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)多次變軌最終進入距離月球表面100 km、周期為118 min的工作軌道，開始對月球進行探測，則

（）

A.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的運動速度比月球的第一宇宙速度小

B.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的速度比在軌道I上經(jīng)過P點時的大

C.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運行周期比在軌道I上短

D.衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的運行周期比在軌道I上長

解析 月球的第一宇宙速度是指環(huán)繞月球表面運行的月球衛(wèi)星速度，軌道Ⅲ的半徑大于月球半徑，所以衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的運動速度比月球的第一宇宙速度小，A對.衛(wèi)星在P點從軌道I變軌進入軌道Ⅲ上需要減速，所以衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過P點的速度比在軌道I上經(jīng)過P點時的小，B錯.由于軌道Ⅲ的半徑小于軌道I的半長軸，所以衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運行周期比在軌道I上短，C對D錯.

答案AC

2.第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速網(wǎng)周運動時具有的速度.

3.第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度.

注意（1）兩種周期——白轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期的不同.

（2）兩種速度——環(huán)繞速度與發(fā)射速度的不同，最大環(huán)繞速度等于最小發(fā)射速度.

（3）兩個半徑——天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r的不同.

（4）第二宇宙速度（脫離速度）：v2=11.2 km/s，使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度.

（5）第三宇宙速度（逃逸速度）：V3=16.7 km/s，使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度.

例6 “伽利略”木星探測器，從1989年10月進入太空起，歷經(jīng)6年，行程37億千米，終于到達木星周圍.此后在t秒內(nèi)繞木星運行Ⅳ圈后，對木星及其衛(wèi)星進行考察，最后墜入木星大氣層燒毀.設(shè)這Ⅳ圈都是繞木星在同一個圓周上運行，其運行速率為v，探測器上的照相機正對木星拍攝整個木星時的視角為θ（如圖4所示），設(shè)木星為一球體.求：

（1）木星探測器在上述圓形軌道上運行時的軌道半徑：

（2）木星的第一宇宙速度.

例7 宇宙中，兩顆靠得比較近的恒星，只受到彼此之間的萬有引力作用相互繞轉(zhuǎn)，稱之為雙星系統(tǒng).在浩瀚的銀河系中，多數(shù)恒星都是雙星系統(tǒng).設(shè)某雙星系統(tǒng)A、B繞其連線上的（）點做勻速圓周運動，如圖6所示.若AO >OB，則

（）

A.星球A的質(zhì)量一定大于星球B的質(zhì)量

B.星球A的線速度一定大于星球B的線速度

C.雙星間距離一定，雙星的質(zhì)量越大，其轉(zhuǎn)動周期越大

D.雙星的質(zhì)量一定，雙星之間的距離越大，其轉(zhuǎn)動周期越大

答案BD

例8 宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用.設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上.已知引力常量為G.關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是（）