基于有限元和面元法的彈性螺旋槳流固耦合特性分析

李家盛， 張振果， 華宏星

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240;2.上海交通大學(xué) 高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

船后非均勻伴流誘導(dǎo)的非定常螺旋槳軸承力是艦船振動(dòng)和聲輻射的重要影響因素，對(duì)螺旋槳載荷的準(zhǔn)確預(yù)報(bào)對(duì)于有效控制艦船振動(dòng)噪聲具有重要價(jià)值。由于螺旋槳浸沒(méi)于水下，考慮水彈性影響是非定常軸承力高精度預(yù)報(bào)的必要環(huán)節(jié)。水彈性的影響通常包括螺旋槳在流體里的附加質(zhì)量效應(yīng)和附加阻尼效應(yīng)，它們分別正比于螺旋槳振動(dòng)的加速度和速度。MacPherson等[1]給出了預(yù)測(cè)B系列槳和KCA系列槳縱向振動(dòng)以及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的附加質(zhì)量半經(jīng)驗(yàn)公式。Gaschler等[2]通過(guò)三維面元法，分別得到了在空泡和非空泡狀態(tài)下，螺旋槳整體做俯仰振動(dòng)時(shí)的附加質(zhì)量和附加阻尼，揭示出空泡對(duì)螺旋槳水彈性性質(zhì)有較大影響。Martio等[3]運(yùn)用黏流URANS方法，對(duì)縱向振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)及其耦合振動(dòng)的附加質(zhì)量和附加阻尼進(jìn)行了計(jì)算，得出了在一些參數(shù)下，流體黏性有一定影響的結(jié)論。Mao等[4]通過(guò)耦合三維升力線和二維非定常薄翼理論研究了側(cè)斜角對(duì)螺旋槳六自由度振動(dòng)水彈性性質(zhì)的影響。Lin等[5]通過(guò)耦合有限元和面元法討論了復(fù)合材料螺旋槳槳葉在水中的濕模態(tài)和濕振型，得到了濕模態(tài)比其在空氣中的干模態(tài)下降了很多，但是振型卻基本不變的結(jié)論。Yari等[6]計(jì)算了六自由度振動(dòng)螺旋槳附加質(zhì)量，分析了直徑、盤面比、厚度對(duì)附加質(zhì)量的影響規(guī)律。

從文獻(xiàn)分析看，對(duì)于螺旋槳水彈性特性的研究多基于剛性槳假設(shè)，側(cè)重于分析由船舶彈性軸系引起的螺旋槳六自由度整體性振動(dòng)對(duì)附加質(zhì)量和附加阻尼效應(yīng)的影響。由于大側(cè)斜螺旋槳的普及以及復(fù)合材料螺旋槳的興起，螺旋槳彈性和槳葉局部性振動(dòng)日益成為關(guān)注要點(diǎn)。然而，目前彈性槳葉振動(dòng)對(duì)附加質(zhì)量和附加阻尼效應(yīng)的影響尚未完全明確。為此，本文關(guān)注彈性螺旋槳振動(dòng)的水彈性特性影響。首先，基于不可穿透條件，推導(dǎo)出嚴(yán)格意義上槳雙向流固耦合的邊界條件。通過(guò)耦合頻域面元法和有限元法得到流體附加質(zhì)量和附加阻尼矩陣的表達(dá)式。其次，針對(duì)流體附加矩陣的非對(duì)稱性帶來(lái)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算量過(guò)大問(wèn)題，提出基于Wilson-θ和模態(tài)分解法的模態(tài)縮聚技術(shù)。最后，探討來(lái)流速度和側(cè)斜角等參數(shù)對(duì)于螺旋槳水彈性附加阻尼和質(zhì)量矩陣的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 螺旋槳槳葉的控制方程

為分析槳葉振動(dòng)，建立如圖1所示的右旋笛卡爾坐標(biāo)系o-xyz。y軸正向與螺旋槳參考線重合，x軸與軸中心線重合并指向船后。在本文分析中，不考慮螺旋槳槳轂的影響，螺旋槳槳葉剛性固定在葉根處。槳葉材料假定為具有各向同性，密度均勻，線彈性性質(zhì)。材料性能參數(shù)給出如下：泊松比ν，楊氏模量E，密度ρs。采用三維線性等參單元來(lái)建立結(jié)構(gòu)有限元模型，每個(gè)單元有八個(gè)節(jié)點(diǎn)和二十四個(gè)自由度。通過(guò)有限元理論，由拉格朗日方程可以得到螺旋槳的動(dòng)力學(xué)控制方程為

(1)

1.2 流體的控制方程

圖1 固定在螺旋槳上的參考系Fig.1 The propeller-fixed coordinate system which rotates with the propeller

(2)

根據(jù)勢(shì)流理論以及槳葉上邊界條件(見(jiàn)附錄A)，為解出誘導(dǎo)速度勢(shì)，該邊值問(wèn)題的方程可以寫成

(在流體域Ω)

(3)

(4)

Δφw(Rwake,t)=Δφ(Rre,t-t′)(Morino庫(kù)塔條件)

(5)

式中:n為槳葉表面平衡處單位外法向量;δ為槳葉表面節(jié)點(diǎn)振動(dòng)位移;V0為均勻來(lái)流速度;Δφw(Rwake,t)為螺旋槳尾流處Rwake的渦片在t時(shí)刻的速度勢(shì)突躍;Δφ(Rre,t-t′)為Rwake處尾渦片對(duì)應(yīng)的螺旋槳隨邊在Rre處t-t′時(shí)刻時(shí)吸力面壓力面的速度勢(shì)突躍;t′為尾渦片從槳葉隨邊處Rre運(yùn)動(dòng)到Rwake所需要的時(shí)間。運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件式(4)(見(jiàn)附錄A)表明流體在槳葉表面不可穿透，這將導(dǎo)致Neumann類型的邊界條件。更多有關(guān)庫(kù)塔條件式(5)的說(shuō)明，可以參考Morino等[7]的論文。

參考附錄A，在線性理論框架下，螺旋槳誘導(dǎo)速度勢(shì)φ(R,t)可以由φs(R)+φv(R,t)表示。其中:φs為螺旋槳在均勻流中旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)的速度勢(shì);φv為螺旋槳在均勻流中振動(dòng)誘導(dǎo)的速度勢(shì)。因此流體力Fw分成了兩部分Fs+Fv。Fs的計(jì)算和經(jīng)典定常面元法理論一樣，由此計(jì)算出的流體力與振動(dòng)沒(méi)有關(guān)系，本文將不去計(jì)算。Fv則表示槳和周圍流場(chǎng)的相互作用，其與槳葉振動(dòng)有關(guān)，將形成流體的附加質(zhì)量矩陣和附加阻尼矩陣。為了能快速的求解問(wèn)題，本文采用頻域的面元法求解器計(jì)算流體力Fw的第二部分Fv——彈性螺旋槳在均勻流中振動(dòng)的問(wèn)題。

1.3 附加質(zhì)量矩陣和附加阻尼矩陣

彈性螺旋槳在均勻流中振動(dòng)的控制方程可以寫成如下的偏微分方程組

(在流體域Ω)

(6)

(在槳葉表面Γ)

(7)

Δφw,v(Rwake,t)=Δφv(Rre,t-t′)

(Morino庫(kù)塔條件)

(8)

式中:Δφw,v(Rwake,t)為彈性螺旋槳在均勻流中振動(dòng)時(shí)，尾流處Rwake的渦片在t時(shí)刻的速度勢(shì)突躍;Δφv(Rre,t-t′)為彈性螺旋槳在均勻流中振動(dòng)時(shí)，Rwake處尾渦片對(duì)應(yīng)的螺旋槳隨邊在Rre處t-t′時(shí)刻時(shí)吸力面壓力面速度勢(shì)突躍。由式(6)控制的擾動(dòng)速度勢(shì)φv可以由格林第三定理，寫成相應(yīng)的邊界積分方程

(9)

式中:φv(RP,t),φv(RQ,t)分別為在槳葉表面RP,RQ處，時(shí)間為t時(shí)的誘導(dǎo)速度勢(shì);SB為槳葉表面;Sw為尾渦面;P點(diǎn)為控制點(diǎn);Q點(diǎn)為積分點(diǎn);Δφw,v(RQ,t)為尾渦面上RQ處t時(shí)的速度勢(shì)突躍;nQ為外法向量;G(RP,RQ)=1/|RP-RQ|為三維無(wú)限水域格林函數(shù)。

將式(7)代入式(9)，可得

(10)

假設(shè)激勵(lì)力F的頻率為k，則可設(shè)槳葉在節(jié)點(diǎn)振動(dòng)的位移為δ(RQ,t)=(δk(RQ)e-ikt)，表示取相應(yīng)變量實(shí)部。于是φv(RP,t)=(φk,v(RP)e-ikt)與尾渦條件式(8)一并代入式(10)，離散化可得

{φk,v}=U(ik{δkn}+E{δk})

(11)

式中:U,E為離散系數(shù)矩陣;{δkn},{δk}分別為法向位移和位移向量。對(duì)于K葉螺旋槳，為了能使計(jì)算結(jié)果迅速收斂，且不至于網(wǎng)格奇性過(guò)強(qiáng)，本文在每個(gè)槳葉表面弦向依照各個(gè)截面弧長(zhǎng)，使用從導(dǎo)邊到槳葉中心地帶以及隨邊到槳葉中心地帶的兩個(gè)等比級(jí)數(shù)網(wǎng)格總共分成Nc段，而在展向，則采取從葉梢到槳葉中心地帶以及葉根到槳葉中心地帶的兩個(gè)等比級(jí)數(shù)網(wǎng)格總共分割成Nr段。通過(guò)調(diào)節(jié)等比級(jí)數(shù)的比例系數(shù)，能使導(dǎo)邊、隨邊、葉梢、葉根等曲率變化大的槳葉幾何表面網(wǎng)格更密，而曲率變化較小的槳葉中心地帶則網(wǎng)格較疏。在這些面元上，渦和源匯強(qiáng)度都認(rèn)為是常數(shù)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，這里使用的尾渦幾何模型是預(yù)先給出的，其螺距角取螺旋槳幾何螺距角，尾渦收縮沒(méi)有考慮，網(wǎng)格上尾渦沿螺旋面方向均勻分割成Nw段。

考慮小變形振動(dòng)，采用線性伯努利方程計(jì)算壓強(qiáng)

(12)

(13)

將式(11)和式(8)代入式(13)，并離散化可得

(14)

式中:Uxl為離散系數(shù)矩陣。將式(11)和式(14)代入線性伯努利方程式(12)，可以得到彈性螺旋槳在均勻流中振動(dòng)時(shí)的壓強(qiáng)

{pv(k)}=

(15)

假設(shè){δk}=Z2uk以及{δkn}=Z1uk。其中:Z1和Z2為形函數(shù)矩陣;uk為節(jié)點(diǎn)位移向量。于是彈性螺旋槳在均勻流中振動(dòng)受到的流體力可以表示為

Fv(k)=

(16)

(17)

式中:MW(k)和CW(k)分別為流體的附加質(zhì)量和附加阻尼矩陣，具體展開(kāi)為

MW(k)=

(18)

CW(k)=

(19)

1.4 控制方程的數(shù)值算法

(20)

這里，

2 程序收斂分析及驗(yàn)證算例

2.1 收斂分析

這里選用4381槳的單個(gè)葉片做強(qiáng)迫振動(dòng)非定常軸向力網(wǎng)格依賴性分析，4381槳幾何數(shù)據(jù)可以參考文獻(xiàn)[11-12]。該例進(jìn)速系數(shù)J=0.8，來(lái)流速度V=10 m/s,楊氏模量E=210 GPa，結(jié)構(gòu)密度ρs=7 800 kg/m3，泊松比ν=0.3，流體密度ρf=1 000 kg/m3。激勵(lì)頻率為1 300 Hz，大小1 N，作用位置在槳葉葉梢導(dǎo)邊吸力面處，方向指向x軸正向。表1中:Nmode,Nw,Nt,Nr與Nc分別為濕模態(tài)階數(shù)、尾渦方向網(wǎng)格數(shù)、厚度網(wǎng)格數(shù)、展向網(wǎng)格數(shù)及弦向網(wǎng)格數(shù);|Fx|為軸向非定常力的幅值。從表1可以看出，隨著網(wǎng)格數(shù)及選擇的濕模態(tài)截?cái)鄶?shù)目增加，數(shù)值結(jié)果迅速的收斂。具體分析如下：由網(wǎng)格1,2,3，可以得出Nmode=400能滿足收斂要求；由網(wǎng)格2,4,5，可以得出Nw=800能滿足收斂要求；由網(wǎng)格2,6,7，可以得出Nt=3能滿足收斂要求；由網(wǎng)格2,8,9,10,11，可以得出Nr=26和Nc=20可以滿足收斂要求。由此，表1表明網(wǎng)格400×800×3×26×20可以滿足工程需要，下面的分析都是在該網(wǎng)格下進(jìn)行的。

表1 非定常軸向力網(wǎng)格依賴性分析Tab.1 Comparisons of unsteady axial reactions in water with varying grid sizes

2.2 槳葉做彈性振動(dòng)附加矩陣驗(yàn)證

由于在靜止流體里，螺旋槳的流固耦合問(wèn)題和聲固耦合問(wèn)題有一定的聯(lián)系，見(jiàn)附錄B。這個(gè)聯(lián)系能間接驗(yàn)證MW(k)的正確性，本文的驗(yàn)證是與商業(yè)軟件ANSYS-Virtual.Lab Acoustics的聲固耦合計(jì)算在聲學(xué)波數(shù)為零時(shí)的結(jié)果進(jìn)行的對(duì)比。這里選用的螺旋槳4119的一個(gè)葉片，4119槳幾何數(shù)據(jù)可以參考文獻(xiàn)[11-12]，該葉片根部固定，幾何圖形見(jiàn)圖2。結(jié)構(gòu)阻尼忽略。有限元網(wǎng)格在結(jié)構(gòu)表面和面元法網(wǎng)格重合，厚度方向采用均勻分割。分別用本文的流固耦合程序和商業(yè)軟件計(jì)算了該葉片在水里的前五階模態(tài)(見(jiàn)圖3)，前五階振型(見(jiàn)圖4)。由圖3和圖4可知，本文方法和程序在預(yù)報(bào)螺旋槳濕模態(tài)和振型上是正確的。

圖2 ANSYS里4119槳單個(gè)葉片離散模型Fig.2 Discretization of one blade of propeller 4119 in ANSYS

圖3 水中模態(tài)對(duì)比圖Fig.3 Comparisons of natural frequencies in water

圖4 水振型對(duì)比圖Fig.4 Comparisons of mode shapes in water

為了進(jìn)一步驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)響應(yīng)部分是否正確，這里在螺旋槳的葉梢部分加了一個(gè)x方向的簡(jiǎn)諧激勵(lì)力，該力表達(dá)式為f=sin(2πf0t)，其中激勵(lì)頻率f0=1 000 Hz，計(jì)算了葉根固定處支反力的三個(gè)方向幅值(見(jiàn)圖5)。從圖5上看，和ANSYS-Virtual.Lab Acoustics的聲固耦合計(jì)算結(jié)果符合的很好。這說(shuō)明本文的流固耦合程序是合理的。

2.3 槳做剛體運(yùn)動(dòng)附加矩陣驗(yàn)證

圖5 水中位移響應(yīng)對(duì)比圖Fig.5 Comparisons of displacement amplitudes in water

這里進(jìn)一步將螺旋槳流體附加質(zhì)量式(18)和阻尼矩陣式(19)退化到和其做六自由度剛體振動(dòng)時(shí)的附加質(zhì)量和附加阻尼進(jìn)行了比對(duì)。由于附加質(zhì)量和附加阻尼矩陣?yán)锏拿總€(gè)元素，代表槳葉表面某一節(jié)點(diǎn)在x,y,z某一方向做單位加速度或者速度時(shí)，對(duì)另一節(jié)點(diǎn)在x,y,z某一方向的水動(dòng)力。由于文中是按照x,y,z順序進(jìn)行排列的，這樣MW(k)的第一個(gè)行第五列元素代表第二個(gè)節(jié)點(diǎn)y方向做單位加速度時(shí)，對(duì)于第一個(gè)節(jié)點(diǎn)x方向產(chǎn)生的水動(dòng)力。因此，對(duì)于附加質(zhì)量矩陣式(18)和附加阻尼矩陣式(19)分別做如下變換，即可得到螺旋槳做整體縱向振動(dòng)時(shí)誘導(dǎo)的軸向附加質(zhì)量和阻尼

m軸=ΛMW(k)ΛT

(21)

c軸=ΛCW(k)ΛT

(22)

式中:Λ=[1,0,0,…,1,0,0]。同理可以得到螺旋槳做整體扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)誘導(dǎo)的扭轉(zhuǎn)附加質(zhì)量和阻尼m扭，c扭。

下面以4381槳作為算例進(jìn)行比對(duì)，該例進(jìn)速系數(shù)J=0.889，螺旋槳轉(zhuǎn)速n=11.519 rad/s，激勵(lì)力頻率k=57.596 rad/s。表2給出了與Mao等，Parsons等[13],Schwanecke[14]計(jì)算結(jié)果的比對(duì)。其中，Mao等是使用三維數(shù)值升力線耦合有限元方法給出的結(jié)果，Parsons等及Schwanecke均是采用經(jīng)驗(yàn)公式給出的結(jié)果。由于升力線理論難以考慮螺旋槳拱面形狀和厚度對(duì)于性能的影響，而Parsons等及Schwanecke的經(jīng)驗(yàn)公式均引入了不同程度的簡(jiǎn)化，因此四者之間的結(jié)果差別在所難免。由于面元法是比升力線方法及經(jīng)驗(yàn)公式更高精度的算法，能較好考慮槳葉拱面形狀和厚度的影響，因此本文面元法耦合有限元法給出的結(jié)果可能更加準(zhǔn)確。另外參考Mao等論文中圖10對(duì)于1374螺旋槳附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)的對(duì)比結(jié)果，可以得出本文同前人結(jié)果誤差屬于合理范圍的結(jié)論。這樣進(jìn)一步說(shuō)明了本文程序的有效性。

表2 附加系數(shù)不同計(jì)算模型的對(duì)比Tab.2 Comparisons of the added coefficients by different models

3 附加質(zhì)量和附加阻尼特性分析

3.1 附加質(zhì)量特性分析

將已檢驗(yàn)的耦合頻域面元法和有限元法的計(jì)算程序用于分析來(lái)流速度和側(cè)斜角對(duì)于不同螺旋槳附加質(zhì)量的影響，這里選用第一階模態(tài)(彎曲模態(tài))和第二階模態(tài)(扭轉(zhuǎn)模態(tài))做為指標(biāo)，考慮三個(gè)側(cè)斜角分別為0°,36°,72°的三個(gè)螺旋槳4381,4382,4383的單個(gè)葉片。圖6給出了三個(gè)槳的示意圖，槳的幾何數(shù)據(jù)可以參考Kerwin等和Greeley等的論文，三個(gè)螺旋槳直徑均是0.25 m,楊氏模量E=210 GPa，結(jié)構(gòu)密度ρs=7 800 kg/m3，泊松比ν=0.3，流體密度ρf=1 000 kg/m3，進(jìn)速系數(shù)J=0.8，來(lái)流速度分別為0 m/s,2 m/s,6 m/s,10 m/s,20 m/s,50 m/s,100 m/s,200 m/s，激勵(lì)頻率為1 300 Hz。從圖7和圖8可以得出：

(a)槳4381,側(cè)斜角0°(b)槳4382,側(cè)斜角36°(c)槳4383,側(cè)斜角72°

圖6 4381,4382,4383槳幾何示意圖Fig.6 Model propeller 4381, 4382 and 4383

(1)第一、二階干模態(tài)隨著槳的側(cè)斜增大而減小，這是由于側(cè)斜角越大，螺旋槳葉片越軟導(dǎo)致的。

(2)由于流固耦合的影響，螺旋槳的濕模態(tài)均比干模態(tài)有一個(gè)明顯的減小。槳葉模態(tài)的降低，將導(dǎo)致外力激勵(lì)頻率可能與濕模態(tài)接近，從而發(fā)生共振。這說(shuō)明流固耦合效應(yīng)即使在槳葉做小變形振動(dòng)時(shí)，也是不容忽視的。

(3)第一階模態(tài)上，槳葉濕模態(tài)相比干模態(tài)隨著側(cè)斜角越大，降的越多，第二階模態(tài)上，槳葉濕模態(tài)相比干模態(tài)隨著側(cè)斜角越大，降的越少。

圖8 一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)隨來(lái)流速度變化圖Fig.8 The first torsional modes predicted by various inflow velocities

(4)來(lái)流速度大小對(duì)槳葉模態(tài)影響較小，可以用流速為零時(shí)的模態(tài)進(jìn)行代替。

3.2 附加阻尼特性分析

本節(jié)選用與3.1節(jié)里相同的槳和來(lái)流條件，通過(guò)計(jì)算接近槳一階固有頻率時(shí)，單位激勵(lì)誘導(dǎo)的槳葉非定常軸向軸承力響應(yīng)探討螺旋槳流固耦合附加阻尼特性。討論中，槳自身結(jié)構(gòu)阻尼忽略不計(jì)。為了避免濕模態(tài)變化對(duì)問(wèn)題造成的影響，本節(jié)里忽略流體附加質(zhì)量，僅僅考慮流體附加阻尼。為避免共振時(shí)，因振幅過(guò)大導(dǎo)致計(jì)算可能失真，本文激勵(lì)力頻率選為各槳一階固有頻率的116%附近討論槳葉非定常軸向軸承力響應(yīng)。這樣，由于4381,4382,4383槳的第一階干模態(tài)分別為：1 094 Hz,1 076 Hz,845 Hz，為了使得激勵(lì)頻率在各自共振區(qū)域情況類似，激勵(lì)力頻率分別取為1 300 Hz,1 300 Hz,1 000 Hz，大小為1 N，作用位置在槳葉葉梢導(dǎo)邊吸力面處，方向指向x軸正向。從圖9可以看出：

(1)來(lái)流速度對(duì)螺旋槳附加阻尼特性有顯著影響，流速較低時(shí)可能出現(xiàn)負(fù)阻尼現(xiàn)象，流速V≥10 m/s后，流速越大，阻尼越大。

(2)側(cè)斜對(duì)于螺旋槳附加阻尼影響復(fù)雜，并沒(méi)有單一的關(guān)系。

圖9 非定常軸向力隨來(lái)流速度變化圖Fig.9 Comparisons of the unsteady axial forces predicted by various inflow velocities

4 結(jié) 論

本文建立了一種基于三維頻域面元法和三維有限元法的螺旋槳流固耦合模型。其中，頻域面元法用于估計(jì)流固耦合附加質(zhì)量矩陣和附加阻尼矩陣，有限元法用于進(jìn)行結(jié)構(gòu)建模和載荷計(jì)算。應(yīng)用基于Wilson-θ和模態(tài)疊加法的數(shù)值方法克服了附加矩陣非對(duì)稱性帶來(lái)的數(shù)值效率過(guò)低的問(wèn)題。通過(guò)本文數(shù)值結(jié)果與商業(yè)軟件及文獻(xiàn)結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證了方法的有效性。最后，探討了來(lái)流速度和側(cè)斜角對(duì)于螺旋槳水彈性矩陣的影響，研究表明：

(1)考慮附加水質(zhì)量時(shí)，側(cè)斜角越大，彈性槳的第一階彎曲模態(tài)頻率降低越多；而第一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)頻率規(guī)律相反。

(2)來(lái)流速度對(duì)螺旋槳附加阻尼特性有顯著影響，在相對(duì)高的流速范圍里，流速越大，阻尼越大。但來(lái)流速度大小對(duì)槳葉濕模態(tài)頻率影響較小，甚至能用流速為零時(shí)的模態(tài)進(jìn)行代替。

附錄A振動(dòng)槳葉流固耦合邊界條件

在如圖1所示固定在槳上的非慣性系上看，槳只有振動(dòng)，設(shè)槳表面點(diǎn)(x,y,z)的振動(dòng)位移是(δx(x,y,z,t),δy(x,y,z,t),δz(x,y,z,t))，由于振動(dòng)該點(diǎn)會(huì)偏移，則振動(dòng)后該點(diǎn)坐標(biāo)為

(1)

設(shè)在不考慮振動(dòng)時(shí)，槳表面滿足的曲面方程為n(x,y,z)=0，則振動(dòng)時(shí)，螺旋槳表面滿足方程

(2)

(3)

(4)

假設(shè)振動(dòng)很小，將式(4)代入式(3)中，只要有兩個(gè)及其以上δ相乘的項(xiàng)忽略掉，可以得到

(5)

在振動(dòng)槳葉面上，考慮邊界不穿透條件

(6)

(7)

由于誘導(dǎo)速度和來(lái)流中非均勻部分是小量，將式(5)和式(7)代入式(6)中，計(jì)算整理得到邊界條件為

(8)

(9)

在線性理論下，為了方便計(jì)算，這個(gè)式子可以分成兩部分

(10)

(11)

式中:φr為剛體螺旋槳在非均勻流中旋轉(zhuǎn)誘導(dǎo)的速度勢(shì);φv為彈性螺旋槳在均勻流中振動(dòng)誘導(dǎo)的速度勢(shì)。

附錄B振動(dòng)槳葉流固耦合與聲固耦合的聯(lián)系

(1)

式中:k=ω/c0,c0是聲速。為了通過(guò)式(1)求解聲壓幅值p(R)，將該方程用積分方程代替，在槳表面有

(2)

在槳表面處需滿足聲固耦合邊界條件，也即流體與結(jié)構(gòu)在接觸點(diǎn)必須滿足速度相等和加速度相等，因此

(3)

式(3)可以重新寫成

(4)

(5)

將邊界式(5)代入積分式(2)，并離散化后，可得

(6)

于是，聲壓在結(jié)構(gòu)振動(dòng)中的節(jié)點(diǎn)力為

(7)

經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推導(dǎo)，可以發(fā)現(xiàn)

僅僅當(dāng)k=0(c0=∞)時(shí)，靜止水域里，Mw=Ma，Cw=Ca=0其他情況下，無(wú)明顯相關(guān)性。

由以上推導(dǎo)可知，當(dāng)聲學(xué)波數(shù)為零時(shí)，在靜止水域里，聲學(xué)附加質(zhì)量和流體附加質(zhì)量是相等的，且此時(shí)聲學(xué)附加阻尼和流體附加阻尼都為零，也即在這種情況下，由聲固耦合計(jì)算的結(jié)果和由流固耦合計(jì)算的結(jié)果是一致的。