隨機(jī)應(yīng)變求最值

曾秀云

摘 要：在初中數(shù)學(xué)中，最值問題是較為常見的一類問題，學(xué)生遇到求最值方面的問題時(shí)，常感到較為困難，這是因?yàn)橐环矫鎸W(xué)生對(duì)求最值的常用方法不能從整體上把握，另一方面轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)學(xué)建模能力有所欠缺。因此，教師應(yīng)注重求最值的常用方法的介紹和培養(yǎng)學(xué)生靈活、綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。在教學(xué)實(shí)踐中對(duì)這類問題進(jìn)行了匯總、分類，歸納出如下幾種求最值的基本方法：構(gòu)造不等式模型求最值，構(gòu)造函數(shù)模型求最值，利用軸對(duì)稱思想求最值，構(gòu)造輔助圓求最值等。希望學(xué)生能掌握求最值的基本思想方法，做到隨機(jī)應(yīng)變求最值。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；輔助圓；對(duì)稱；基本不等式

在初中數(shù)學(xué)中，求實(shí)際問題或圖形中某種量的最值是一種常見的題型，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在遇到這類問題時(shí)，常感到無從下手，找不到解決問題的思路、方法。這類問題，可考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況，及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，同時(shí)也展示了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的差異。如果說數(shù)學(xué)中函數(shù)與圖形的性質(zhì)是一頂皇冠，那么最值問題就是皇冠上最璀璨的一顆明珠！有鑒于此，筆者認(rèn)為，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生求最值方面的能力，讓學(xué)生切身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和獨(dú)特魅力，逐步培養(yǎng)學(xué)生愛數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的思想意識(shí)，踐行新課程改革的精神。

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)最值問題的表現(xiàn)形式多種多樣，數(shù)的方面，有求實(shí)際問題中某種量的最值；圖形方面有求最短距離，線段的長(zhǎng)的最值，有求封閉圖形周長(zhǎng)和面積的最值等。不同的題型，不同的條件，求解類似的結(jié)果。這就要求學(xué)生能依據(jù)問題的特點(diǎn)，靈活選擇解決問題的途徑和方法。在教學(xué)實(shí)踐中，我對(duì)這類問題進(jìn)行匯總、分類、解析，歸納出如下幾種類型，與業(yè)內(nèi)同行交流，不足之處還請(qǐng)斧正。

一、構(gòu)造不等式模型求最值

生活中同類的量之間有相等的情況，和相等的情況相比，不等的情況更為普遍，不等式（組）是刻畫不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)實(shí)際問題中的某種量受到一些不等關(guān)系的約束時(shí)，我們可以建立不等式（組）模型，求出該種量的最值。

例1.某舞臺(tái)劇在市藝術(shù)中心舉行，觀眾在門口等候檢票進(jìn)入大廳，且排隊(duì)的觀眾按一定的速度增加。檢票的速度是一定的，當(dāng)開放一個(gè)大門時(shí)，需用半小時(shí)待檢觀眾才能全部進(jìn)入大廳；當(dāng)開放兩個(gè)大門時(shí)，只需十分鐘；現(xiàn)在想提前開演，必須在五分鐘內(nèi)全部檢完票，問至少需同時(shí)開放多少個(gè)大門？

答：至少需同時(shí)開放4個(gè)大門。

二、構(gòu)造函數(shù)模型求最值

我們生活在一個(gè)變化的世界中，世間萬物皆有關(guān)聯(lián)，初中階段函數(shù)是刻畫兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，也是難點(diǎn)之一，函數(shù)是最值問題和圖形最值問題的重要載體，構(gòu)造函數(shù)模型求實(shí)際問題中某種量的最值是中考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，這類問題主要有如下兩種情況：

1.求實(shí)際問題中某種量的最值

這種類型以銷售類的實(shí)際問題較為常見，可構(gòu)造的函數(shù)模型涵蓋一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等，解決問題的思想方法較為成熟，限于篇幅不再列舉。

2.最優(yōu)化問題

在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)中，有諸如“材料最省”“利潤(rùn)最大”“成本最少”“造價(jià)最省”等，這類問題可稱之為“最優(yōu)化問題”，可考慮構(gòu)建二次函數(shù)模型解決。

例2.為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫(kù)的岸堤（岸堤足夠長(zhǎng)）為一邊，用總長(zhǎng)為80m的圍網(wǎng)在水庫(kù)中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等，設(shè)BC邊的長(zhǎng)為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2。

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）x為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？

解析：本題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解第（1）小題。

解（略）

三、利用軸對(duì)稱思想求最值

生活中處處都有對(duì)稱美，精致的窗花、壯觀的天安門、和諧的樹葉、翩翩的蝴蝶等?？梢哉f我們生活在一個(gè)對(duì)稱的世界中，對(duì)稱顯得端莊、沉穩(wěn)，讓人有踏實(shí)感；對(duì)稱能讓我們由局部認(rèn)識(shí)整體，由已知認(rèn)識(shí)未知，見微知著，一葉知秋。在我們數(shù)學(xué)領(lǐng)域，對(duì)稱思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，在解決幾何最值方面有強(qiáng)大的威懾力，我們研究的函數(shù)圖象，特殊四邊形，圓和正多邊形無不具有軸對(duì)稱性，運(yùn)用軸對(duì)稱思想既可求幾何問題的最值，還具有確切的經(jīng)濟(jì)價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

前面列舉了初中數(shù)學(xué)中求最值的幾種常用方法，以期同學(xué)們能夠從整體上把握求最值的思想方法，誠(chéng)然，最值問題類型繁多，表現(xiàn)形式各異，有構(gòu)造三角函數(shù)求最值，有曲面上的最值問題，有視圖方面的最值和坐標(biāo)平面內(nèi)某一平面圖形面積的最值等。最值問題既像龍宮里奪目的夜明珠，又像深山中最珍貴的草藥，若隱若現(xiàn)，若即若離，它激勵(lì)我們?nèi)プ非笈c采擷。我們要不畏艱辛，奮力進(jìn)取，學(xué)會(huì)隨機(jī)應(yīng)變求最值，切身體會(huì)最值的唯美特質(zhì)，進(jìn)而學(xué)會(huì)在生活中去發(fā)現(xiàn)美、鑒賞美、創(chuàng)造美，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)美學(xué)理念。

參考文獻(xiàn)：

[1]胡炯濤.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].廣西教育出版社，1996-01.

[2]莫由著.90年代的數(shù)學(xué)教育：國(guó)際性展望的綜述[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1989（3）.