三角恒等變換學(xué)習(xí)漫談

端木彥

從整體上看，三角變換是對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的重要組成部分，是利用三角函數(shù)解決問(wèn)題的工具.掌握了三角變換，就能有效地發(fā)揮三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用價(jià)值.

一、從知識(shí)體系構(gòu)建來(lái)看

本章我們將掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式等，在三角恒等公式的推導(dǎo)過(guò)程中，我們能夠體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過(guò)程，能夠體會(huì)向量與三角函數(shù)之間的密切聯(lián)系，還能夠發(fā)展運(yùn)算和推理能力.

例如，推導(dǎo)余弦差角公式的方法有很多.如何選擇一個(gè)簡(jiǎn)捷有效的思路呢？這里有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是，能否用α與β的三角函數(shù)來(lái)表示α-β的三角函數(shù)？二是，如何形象地表達(dá)α-β的三角函數(shù)？三角函數(shù)的學(xué)習(xí)幫助我們想到利用單位圓來(lái)表示α與β的三角函數(shù)值，向量的知識(shí)又幫助我們將角α-β聯(lián)想成兩個(gè)向量的夾角.兩者相結(jié)合，不難想到，用向量的數(shù)量積來(lái)作研究工具，

根據(jù)三角函數(shù)的周期性，我們只需考慮0≤α-β≤π的情況.

從數(shù)學(xué)知識(shí)體系的內(nèi)部來(lái)看，三角函數(shù)不僅是一種重要的數(shù)學(xué)模型，還是一類基本初等函數(shù)，它與其他數(shù)學(xué)知識(shí)具有豐富的聯(lián)系.三角變換作為三角函數(shù)的運(yùn)算，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ).比如后續(xù)學(xué)習(xí)解三角形、解析幾何、立體幾何等章節(jié)時(shí)，我們將會(huì)深刻體會(huì)到三角函數(shù)非凡的應(yīng)用價(jià)值.

二、從數(shù)學(xué)思想運(yùn)用來(lái)看

在上面對(duì)本章公式的獲得過(guò)程中，化歸轉(zhuǎn)化思想被多次運(yùn)用.其中，既有從已知到未知的化歸，也有從一般到特殊的化歸.化歸轉(zhuǎn)化思想可謂三角恒等變換的主導(dǎo)思想，在它的引導(dǎo)下，我們實(shí)現(xiàn)新問(wèn)題向舊問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，未知問(wèn)題向已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化，抽象問(wèn)題向具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化等.

1.通過(guò)角的化歸消除差異，實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)

例1 已知cos（α+β）=3/15，cosβ=4/5，α，β均為銳角，求sinα的值.

這是三角恒等變換章節(jié)中最常見(jiàn)的題型之一.有的同學(xué)會(huì)直接運(yùn)用公式C _（α+β），展開(kāi)已知條件，化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)于sinα，COS α的一次方程，再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系建立方程組求解.這個(gè)想法很簡(jiǎn)單，但在具體操作過(guò)程中卻會(huì)被繁瑣的方程組運(yùn)算所困擾.

其實(shí)，分析題目不難發(fā)現(xiàn)，該題的本質(zhì)是已知兩個(gè)角的三角函數(shù)值，求第三個(gè)角的三角函數(shù)值.如果把所求角α看成是已知角α+β與β的差，即α=（α+β）-β，再用兩角差的正弦公式求解，既是對(duì)S_（α-β）公式的直接運(yùn)用，又避免了復(fù)雜的運(yùn)算.

“拆角”，是三角變換中的常用技巧，它體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想.具體在例1中就是用已知角α+β，盧表示所求角α的思想.

2.通過(guò)局部向整體轉(zhuǎn)化，尋求解題途徑

例2 已知在△ABC中，tan A，tan B是方程3x2- 7x+2 =0的兩根，求tan C的值.

這道題的解答，當(dāng)然可以直接求解出tan A，tan B的值，再代人T_（α+β）公式.但是公式結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)引導(dǎo)我們，tan（A +B）可以由tan A，tan B的和與積來(lái)整體表示.這樣的話，即使方程的求解較為復(fù)雜，我們也可以借助韋達(dá)定理快速求解.

本題中充分運(yùn)用了一般與特殊的轉(zhuǎn)化，將一般函數(shù)通過(guò)三角公式轉(zhuǎn)化為特殊函數(shù)y =Asin（ωx+ψ）進(jìn)行解決，這也是一般三角函數(shù)模型常見(jiàn)的一種轉(zhuǎn)化思路.

三、從數(shù)學(xué)方法應(yīng)用來(lái)看

在應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，總要經(jīng)歷這樣幾個(gè)環(huán)節(jié)：

高中數(shù)學(xué)對(duì)周期現(xiàn)象的研究也是按照上述程序進(jìn)行的.為了突出三角函數(shù)的主干內(nèi)容，特別是突出三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)，三角變換的學(xué)習(xí)也是放在對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行研究的大背景下進(jìn)行的.加上與向量知識(shí)的呼應(yīng)，就構(gòu)成了一個(gè)相對(duì)完整的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用的過(guò)程，從而為同學(xué)們從總體上理解周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型起到了關(guān)鍵作用.

作為由三角函數(shù)定義推出的邏輯結(jié)論，三角變換公式之間也存在著密切的邏輯聯(lián)系.三角恒等變換公式的推導(dǎo)既可以看成是一種三角函數(shù)運(yùn)算，也可以看成是一種演繹的論證方式.所以三角恒等變換的學(xué)習(xí)，會(huì)使同學(xué)們更好地感受公理化方法和推理論證在數(shù)學(xué)研究中的作用，體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義，領(lǐng)會(huì)運(yùn)算推理在探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論以及建立數(shù)學(xué)體系中的作用，進(jìn)而使自己的運(yùn)算能力和推理能力得到發(fā)展.