小問題，大智慧

梁燕

我們從一個小問題說起.

問題 解方程：（1） sinx+√3 cosx=O； 2） sinx+√3 cosx=1

一、發(fā)現(xiàn)特性，多方切入

對于這個問題，文墨、宇軒、思遠三個好朋友進行了一番熱烈的討論，苦思冥想仍存在些許疑惑，于是找到了老師.

文墨：式子（1）左右兩邊同除以COSx，轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)名，得tanx√3=o.

宇軒：你的方法對齊次式是可行的，對非齊次式不可行.如（2）式，同除以COS z后會出現(xiàn)1/cosx與tanx，不能達到消元的目的.因此這個方法不具備一般性.

宇軒：對于式子（2），既然是關(guān)于sin x與COSx的方程，我想到了同角三角函數(shù)關(guān)系公式，可以聯(lián)立方程組，通過解方程組求出sinx與COS x

思遠：宇軒的方法具有一般性，可是解方程組計算量大，我有更簡單的方法.化簡等式左邊，sinx+√3cosx=2（1/2sinx+√3cosx/2）=2（sinx cOsπ、3+COS xinπ/3）一2sin（x+π/3），方程即為2sin（x+π/3）=1，sin（x+π/3）=1/2，從而可得解.

文墨：厲害！首先“乘2除2”構(gòu)造特殊角三角函數(shù)值，再逆用兩角和的正弦公式化為和角的三角函數(shù)式.你是怎么想到“乘2除2”的呢？

思遠：觀察等式，聯(lián)想到剛學(xué)過的兩角和的正弦公式sin（x+y） = sin xcosy+COSxsin y，發(fā)現(xiàn)sinx+√3cosx與公式右邊的結(jié)構(gòu)相似，公式中sin x與COS x前面的系數(shù)分別是cosy和siny，兩者平方和為1，而“1”與“√3”不滿足要求，但如果是“1/2”與“√3/2”就可以實現(xiàn)公式的逆用，于是我提取2.

宇軒：原來是兩角和與差的正弦公式的逆向變形，看來以后要學(xué)會逆向思維.不過剛才的“1”與‘√3”比較特殊，可以湊出平方和為1，那3cosx+4sinx怎么辦？形如asin0 +bcos0，是否都可以寫成y =Asin（ωx+ψ的形式呢？

文墨：解方程問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，對于特殊情形，我借助幾何畫板，在同一坐標系下作出f（ x）=sinx，g（x） =√3cosx.h（x）=sinx+√3cos x的圖象，如下：

觀察到合成的函數(shù)圖象接近正弦型函數(shù)圖象y=A sin（ωx+ψ），對于其他asin臼+bcosθ，我覺得應(yīng)該都可以寫成y=Asin（ωx+ψ的形式，

老師：針對這個小問題，大家提出的想法都別具匠心！思遠提出的“乘2除2”的方法，很是奇妙！他把同角的兩個不同的三角函數(shù)合成一個三角函數(shù)，這種“分”、“合”的辯證關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問題的重要思想，而逆向思考問題也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的思維方式.除此之外，文墨還提出了利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化為畫函數(shù)圖象去分析問題，都值得表揚，

二、挖掘本質(zhì)，提煉升華

三、靈活運用，鞏固提升

點評

輔助角公式的目的在于將三角式化為一個三角函數(shù)的形式，由此可以展開對三角式相關(guān)性質(zhì)的研究，比如單調(diào)性、周期性、有界性，它在解決問題時起到一個重要的橋梁作用，它是我們解決與三角有關(guān)的函數(shù)問題的重要變換手段.輔助角公式的目的是化簡三角函數(shù)式，在實際中結(jié)果是化正弦還是余弦要具體問題具體分析，不必拘于結(jié)論的形式，搭配好對應(yīng)的三角函數(shù)公式.如該題還可以化簡為f（x）=-2cos （2x+π/6）+√3-1.

“輔助角公式”能夠合二為一，解決了不少三角函數(shù)問題.所謂“二合一”，就是利用輔助角公式把同角的兩個不同的三角函數(shù)“合成”一個三角函數(shù).其本質(zhì)的特征就是通過轉(zhuǎn)化，化為一個三角函數(shù)，再根據(jù)換元法，轉(zhuǎn)化為基本三角函數(shù)問題，為進一步研究其性質(zhì)（周期性、對稱性、單調(diào)性、值域）打下基礎(chǔ).大家可不能小瞧它的作用！

鞏固練習(xí)

1.已知2cos2x +sin 2x =A sin（ωx+ψ）+b（A>0），則A=_____，b=_____.

2.函數(shù)y=sinx-√3cosx圖象可由函數(shù)y=2sinx的圖象至少向右平移______個單位長度得到.

參考答案

1.√2，1. 2.π/3