由一道課本題巧解一道高考題和三道大學(xué)自主招生題

甘志國(guó)

全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）《數(shù)學(xué)·第一冊(cè)（下）》（2006年人民教育出版社）第46頁(yè)的第15，17題分別是：

（l）已知α+β+γ=nπ（”∈Z），求證：tanα +tanβ +tanγ）=tan α tanβtanγ.（提示：在等式α+β=nπ-γ），兩邊同時(shí)取正切.）

（2）求證：tan（x-y）+tan（y-z） +tan（z-x）=tan（x-y）tan（y-z） tan（z-x）.

在題（1）中可令α=x-y，β=y-z，γ=z -x，n=O，便得題（2）成立.由此可見(jiàn)，題（1）是一個(gè)有用的結(jié)論.不過(guò)，在使用題（1）這個(gè)結(jié)論時(shí)，要注意tanα，tanβ，tanγ），均要有意義.

由題（1）還可得下面的結(jié)論：

定理 在不是直角三角形的△ABC中，有tan A+tan B+tan C=tan Atan B tan C.

該定理也即普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)4.必修.B版》（人民教育出版社）第154頁(yè)“鞏固與提高”的第7題.

所有的考題都是源于教材的，自主招生試題也不例外.但好的考題會(huì)對(duì)教材知識(shí)重新整合、綜合、拓展、加工，形成“源于課本，高于課本”的創(chuàng)新程度高的考題，

這四道題都源于課本上的一道典型基礎(chǔ)題f該題結(jié)論的一個(gè)伴隨結(jié)論用途也很廣：在△ABC中，∑tanA/2tanB/2=1，但它們?cè)陔y度、知識(shí)考查上還有差異：

題1題干簡(jiǎn)潔但解法靈活、技巧性強(qiáng).解題的策略有二：一是用換元法變多元函數(shù)為一元函數(shù)，再求最值；二是用均值不等式求多元函數(shù)最值.

題2常規(guī)基礎(chǔ)，但要使用小學(xué)生經(jīng)常使用的“在比例分配中設(shè)一份是K”的小技巧，若忽視了這一點(diǎn)，難以順利解答本題，

題3難度大，題中使用了競(jìng)賽知識(shí)高斯函數(shù)符號(hào)且不作說(shuō)明（體現(xiàn)了部分自主招生試題的競(jìng)賽性質(zhì)），解題的切人點(diǎn)就是使用兩邊夾法則化不等式為等式，再由不等式取等號(hào)的條件得出三個(gè)等式，增加了已知條件；而后是解不定方程，要使用大部分考生都感到陌生的知識(shí)放縮技巧、減元思想、整數(shù)性質(zhì)（因數(shù)、倍數(shù)）來(lái)求解.

題4不難但高于高考，要求考生能熟練使用和差化積、積化和差公式（而這八個(gè)公式記不住的考生很多，原因是高考不用）.而高考中不會(huì)用到它們嗎？按高考要求，不用它們也能解答相應(yīng)的高考題，這八個(gè)公式均是課本上的例題或習(xí)題，整體記憶是容易的，很多考題，用它們兩三步即可簡(jiǎn)潔求解，不用它們須七八步才能求解，這說(shuō)明我們的學(xué)習(xí)要扎實(shí)、鞏固，對(duì)待自主招生更是如此.本題還有陷阱：角的取值范圍容易弄錯(cuò)，導(dǎo)致答案不全或漏掉.