例談橢圓中“點(diǎn)分弦所成比”問題的求解策略

王盈慧

圓錐曲線的弦被某一點(diǎn)分成兩段，關(guān)于這兩段長所成比發(fā)散出一類很典型、很重要的問題，我們以橢圓為例，介紹“點(diǎn)分弦所成比”問題常見題型及處理方法.

1.焦點(diǎn)分弦所成比問題，小題小做，利用統(tǒng)一定義構(gòu)造直角三角形.

填空題中“焦點(diǎn)分弦所成比”問題，可以利用網(wǎng)錐曲線的統(tǒng)一定義，將焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)弦所在直線的傾斜角歸集在以焦點(diǎn)弦為斜邊的直角三角形中，解這個直角三角形即可.此法可以大大減少運(yùn)算量.

2.解答題中非焦點(diǎn)的點(diǎn)分弦所成比問題，設(shè)而不求，“韋達(dá)定理”消參求解.

“點(diǎn)分弦所成比”問題中，當(dāng)弦不是焦點(diǎn)弦時，圓錐曲線統(tǒng)一定義的轉(zhuǎn)化不再適用.這類問題一般的解法就是聯(lián)立消元法，也即：設(shè)出弦所在的直線方程，聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)法求解.

3.點(diǎn)分弦所成比的范圍相關(guān)問題，利用函數(shù)與方程思想求解.

若弦的具體位置不確定，則“點(diǎn)分弦所成比”只能求解出相關(guān)范圍.此類問題可以先建立比值λ和刻畫弦所在直線傾斜程度的參數(shù)m之間的關(guān)系，再借助函數(shù)與方程思想求解.