一道高考題的改編題之初中解法

☉江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校 李玉榮

這是2008年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷第13題，時下最值問題是中考的熱門題型，于是有熱心的網(wǎng)友在某初中數(shù)學(xué)教師教研群里曬出了由它簡單改變的一道題：

題2：△ABC中，AB=4，AC=2BC，求△ABC的面積的最大值.

作為一名初中數(shù)學(xué)教師，筆者看到了一些高中解法，總覺得不夠簡潔，此題能用初中知識求解嗎？筆者饒有興趣地作了研究，竟有一些意外收獲，撰寫此文與大家分享.

解法1：如圖1，設(shè)BC=x，AC=2x.

評注：此解法依據(jù)海倫公式，直接利用配方法求解，方法自然.

解法2：如圖2，作CD⊥AB，垂足為D.

設(shè)AD=x，BD=|x-4|，CD=y.

根據(jù)勾股定理，得AC2=x2+y2，BC2=（4-x）2+y2.

因?yàn)锳C=2BC，所以x2+y2=4［（4-x）2+y2］，解得y2=-x2+

評注：△ABC中，AB為定值，故只需求AB邊上的高的最大值即可，此解法利用勾股定理建立關(guān)系，借助配方法確定y的最大值解決問題.

解法3：如圖3，作CD⊥AB，垂足為D.

評注：此解法與解法2類似，不同點(diǎn)在于利用勾股定理得到面積與x的關(guān)系，再借助一元二次方程根的判別式直接求得最大值.

解法4：如圖4，分別作∠ACB及其外角的角平分線，交AB及AB的延長線于點(diǎn)D、E，則∠DCE=90°，且=2.

因?yàn)椤螪CE=90°，所以點(diǎn)C在以DE為直徑的圓上.

評注：△ABC中，AB為定值，故只需求AB邊上的高的最大值即可，此解法巧作兩條角平分線，獲知點(diǎn)C在一個定圓上，從而確定高的最大值，問題得解.

解法5：如圖5，在AC上取點(diǎn)D，使得∠DBC=∠BAC.又因?yàn)椤螧CD=∠ACB，所以△BCD △ACB.

由于AB=4，BD=2，所以當(dāng)DB⊥AB時，△ABD的面積最大，最大值為

評注：此解法巧構(gòu)相似三角形，轉(zhuǎn)化為求△ABD的面積的最大值.而△ABD有兩條邊的大小確定，故當(dāng)其夾角為直角時面積最大，問題輕松得解，令人拍案叫絕.

解法6：如圖6，在AB的延長線上取點(diǎn)D，使得∠DCB=∠DAC.又因?yàn)椤螧DC=∠CDA，所以△BDC△CDA.

設(shè)BD=x，則 CD=2x，AD=4+x.

可得（2x）2=x（x+4），解得，所以

評注：△ABC中，AB為定值，故只需求AB邊上的高的最大值即可，此解法巧構(gòu)相似三角形求出CD，進(jìn)而解決問題，解法獨(dú)具匠心.

學(xué)習(xí)在于思考，解題更要勤于思考、善于思考.盡管受初中數(shù)學(xué)知識的局限，能用來求解的高考題稀少，但如果題目僅僅涉及平面幾何知識，大可讓學(xué)生挑戰(zhàn)自我，放手一試，一旦成功，必將增強(qiáng)他們解題的自信心，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，起到意想不到的教學(xué)效果.令人欣慰的是，筆者從2018年江蘇省數(shù)學(xué)考高試卷又?jǐn)孬@一例：

題3：（2018年江蘇省高考數(shù)學(xué)Ⅰ第13題）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為______.

解：如圖6，作DE∥AB交BC于點(diǎn)E.

則∠EDB=∠ABD=∠EBD=60°.所以△BDE為等邊三角形.

從而BE=DE=BD=1，CE=a-1（a＞1）.

令y=4a+c.

由Δ=（y+3）2-16y≥0，解得y≥9，故4a+c的最小值為9.