一道國(guó)際幾何競(jìng)賽試題的多種證明與教學(xué)啟示

☉北京教育學(xué)院朝陽(yáng)分院 白雪峰

第四屆伊朗幾何奧林匹克競(jìng)賽于2017年9月7日舉行，有43個(gè)國(guó)家和地區(qū)參加了此屆競(jìng)賽.我國(guó)派出了北京市、上海市、南京市、杭州市的20所學(xué)校參加了此次比賽.比賽分為三個(gè)組別：初級(jí)組（七、八年級(jí)），中級(jí)組（九、十年級(jí)），高級(jí)組（十一、十二年級(jí)）.［1］筆者基于對(duì)初級(jí)組第3題的探究，在給出多種證明方法的同時(shí)，闡述了對(duì)初中平面幾何教學(xué)的思考與啟示.

一、問(wèn)題及其分析

問(wèn)題：如圖1，在正五邊形ABCDE中，過(guò)點(diǎn)C作CD的垂線，與邊AB交于點(diǎn)F.求證：AE+AF=BE.

分析：證明的結(jié)果是兩條線段AE、AF的長(zhǎng)度之和等于第三條線段BE的長(zhǎng)度，而證明此類問(wèn)題的通性、通法是“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”.下面，筆者就利用這一方法證明本題.

為使多種證法簡(jiǎn)潔、流暢，突出對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的透視，筆者首先把在多種證明方法中反復(fù)應(yīng)用的條件一一給出證明，以便在后續(xù)證明中能夠直接應(yīng)用這些結(jié)論.

證明：如圖2，在正五邊形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB=108°.

∠ABE=∠AEB=36°.

∠DEB=∠CBE=72°.

又∠DCF=90°，所以∠BCF=18°，∠BFC=54°.

連接EC，則有EC=EB，且有∠DCE=∠DEC=∠CEB=∠EBA=36°.

所以AB//EC.

所以∠ECB=∠EBC=72°.

所以∠ECF=∠BFC=54°.

說(shuō)明：通過(guò)以上條件結(jié)論的梳理可以發(fā)現(xiàn)，在正五邊形中，各邊長(zhǎng)相等，對(duì)角線長(zhǎng)相等，添加輔助線后，還能夠生成多個(gè)頂角為108°、72°、54°、36°的等腰三角形，這些條件在問(wèn)題的證明過(guò)程中都可以充分利用.同時(shí)，要特別關(guān)注與AF相等的線段，這也是證明本題的關(guān)鍵所在.

二、兩類六種證明

“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”是初中平面幾何問(wèn)題中一種常見(jiàn)的輔助線添加方法，也是一種證明平面幾何問(wèn)題的重要方法，其中蘊(yùn)含著將幾何問(wèn)題化難為易的化歸思想.下面，筆者就利用兩類方法，即“補(bǔ)短法”和“截長(zhǎng)法”給出六種問(wèn)題的證明過(guò)程.

第一類：補(bǔ)短法.所謂“補(bǔ)短”，就是在兩條短邊中選擇一條短邊加以延長(zhǎng)，使延長(zhǎng)后所得新線段的長(zhǎng)度等于長(zhǎng)邊的長(zhǎng).

證法1：如圖3，延長(zhǎng)EA與CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.

因?yàn)椤螮AF=108°，∠AFP=∠BFC=54°，所以∠APF=54°=∠AFP.

所以AF=AP.

因?yàn)锳F//EC，所以∠ECP=∠AFP=∠APF.

所以∠ECP=∠EPC.

所以EC=EP.

所以AE+AF=AE+AP=EP=EC=BE.

證法2：如圖4，過(guò)點(diǎn)E作直線HG//FC，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H.

因?yàn)锽G//CE，所以四邊形CFGE為平行四邊形.

所以EC=FG.

注意到∠CFB=∠EGA=54°，因?yàn)椤螮AB=108°=∠EGA+∠GEA，所以∠GEA=54°.

所以AG=AE.

所以AE+AF=AG+AF=FG=EC=EB.

證法3：如圖5，過(guò)點(diǎn)C作CG//EA，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.

因?yàn)锳B//EC，所以四邊形AGCF為平行四邊形.

所以AE=GC.

所以∠ECG=∠EAG=108°.

注意到∠BFC=54°=∠FCE=54°，所以∠GFC=∠GCF.

所以FG=GC=AE.

所以AE+AF=GF+FA=GA=EC=EB.

說(shuō)明：從證法1到證法3，應(yīng)用的都是“補(bǔ)短法”，構(gòu)造等腰三角形是其中相同且核心的步驟.證法1中構(gòu)造的是以AF為一腰的等腰△APF，證法2中構(gòu)造的是以AE為一腰的等腰△AGE，證法3中構(gòu)造的則是轉(zhuǎn)化后的以GF（等于AE）為一腰的等腰三角形.雖然三種證明方法都需要添加輔助線，但是相對(duì)比較簡(jiǎn)潔、明快.

第二類：截長(zhǎng)法.所謂“截長(zhǎng)”，就是將長(zhǎng)邊（或與其相等的線段）截成兩段，使截得的兩條線段的長(zhǎng)等于已知兩條短邊的長(zhǎng).

證法4：如圖6，過(guò)點(diǎn)F作FG//AE，與EC交于點(diǎn)G.

所以四邊形AEGF為平行四邊形.

所以AE=FG，AF=EG.

所以∠EAF=∠EGF=108°.

所以∠FGC=72°.

注意到∠ECF=54°，所以∠GFC=54°，所以GC=GF=EA.

所以AE+AF=GC+EG=EC=EB.

證法5：如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AG//FC，與EC交于點(diǎn)G.

注意到AB//EC，所以四邊形AGCF為平行四邊形.

所以GC=AF，∠FCE=∠AGE=54°.

又∠AEG=∠AEB+∠CEB=72°，所以∠EAG=54°.

所以EA=EG.

所以AE+AF=EG+GC=EC=EB.

證法6：如圖8，連接EC、BD，設(shè)交點(diǎn)為H.

根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，則有EH//AB，BH//AE.

又因?yàn)锳B=AE，所以四邊形ABHE為菱形.

所以AE=EH.

連接AH，則有AH⊥EB.

又因?yàn)镃F⊥EB，所以AH//FC.

又因?yàn)镠C//AF，所以四邊形AHCF為平行四邊形.

所以HC=AF.

所以AE+AF=EH+HC=EC=EB.

說(shuō)明：從證法4到證法6，應(yīng)用的都是“截長(zhǎng)法”.證法4和證法5依然基于轉(zhuǎn)化思想，在轉(zhuǎn)化后構(gòu)造了以AE為一腰的等腰三角形.證法6則獨(dú)樹(shù)一幟，簡(jiǎn)潔漂亮，證明過(guò)程一氣呵成.首先，通過(guò)充分利用正五邊形的性質(zhì)，獲得菱形AEHB；進(jìn)而利用已知條件CF⊥EB，得到平行四邊形AHCF，最終，殊途同歸，應(yīng)用與EB相等的對(duì)角線EC使問(wèn)題得證.

回顧上述兩類六種證明，我們可以看到，在問(wèn)題證明的過(guò)程中，越是能快速利用已知條件，證明過(guò)程就越簡(jiǎn)單.事實(shí)上，證明越簡(jiǎn)單，也就越能反映數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).同時(shí)，簡(jiǎn)潔的證明始終是數(shù)學(xué)推理的追求，簡(jiǎn)單化原則也是數(shù)學(xué)科學(xué)不斷發(fā)展的生命.就像著名數(shù)學(xué)家丘成桐所說(shuō)：數(shù)學(xué)家都希望用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)語(yǔ)言將這些自然現(xiàn)象的本質(zhì)表現(xiàn)出來(lái).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師也要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生這種不斷追求、不斷超越、永不服輸、永不言棄的精神，這也是數(shù)學(xué)的精神.

三、教學(xué)啟示

啟示1：深刻認(rèn)識(shí)平面幾何教學(xué)的教育價(jià)值

美國(guó)數(shù)學(xué)教育家波利亞（G.Polya）對(duì)“為什么要進(jìn)行幾何證明”做過(guò)如下闡述：“如果一個(gè)學(xué)生不了解這個(gè)或者那個(gè)特殊的幾何事實(shí)，并不要緊，因?yàn)樵谒院蟮纳钪?，也許很少用到這些事實(shí).但是，如果他沒(méi)有學(xué)會(huì)幾何證明，他就沒(méi)學(xué)到真實(shí)論據(jù)的最好和最簡(jiǎn)單的例子，也錯(cuò)過(guò)了獲得嚴(yán)格推理概念的最好機(jī)會(huì).”［2］我國(guó)數(shù)學(xué)家王元院士認(rèn)為：幾何的學(xué)習(xí)不是說(shuō)學(xué)完了這些知識(shí)有什么用，而是針對(duì)它的邏輯推導(dǎo)能力和嚴(yán)密的證明，而這一點(diǎn)對(duì)一個(gè)人成為一個(gè)科學(xué)家，甚至成為社會(huì)上素質(zhì)很好的公民都是非常重要的.這個(gè)能力若能在中學(xué)里得到有效訓(xùn)練，會(huì)終身受益無(wú)窮.［3］

由此可見(jiàn)，平面幾何問(wèn)題的推理證明是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維品質(zhì)、發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和理性思維精神的有效載體.作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該十分重視并充分發(fā)揮平面幾何教學(xué)的教育價(jià)值.

啟示2：深刻認(rèn)識(shí)添加輔助線的思維培養(yǎng)作用

解決平面幾何問(wèn)題常常需要添加輔助線，恰當(dāng)、準(zhǔn)確地添加輔助線，不僅可以使問(wèn)題迎刃而解，還可以使問(wèn)題的解決過(guò)程簡(jiǎn)化，論證表述簡(jiǎn)潔.事實(shí)上，添加輔助線的作用就是將內(nèi)隱在問(wèn)題中的幾何圖形的特征和性質(zhì)外顯出來(lái)，將題設(shè)條件和結(jié)論之間建立起邏輯關(guān)系，進(jìn)而創(chuàng)造利用幾何定理解決問(wèn)題的條件，達(dá)到推證結(jié)論的目的.

因此，平面幾何的教學(xué)要特別注重幾何直觀，要基于對(duì)幾何圖形特征的深入觀察分析，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)想象，直覺(jué)或邏輯地提出一些問(wèn)題解決的設(shè)想、聯(lián)想或猜想，并以此為線索初步勾畫(huà)出解決問(wèn)題的方案，進(jìn)而經(jīng)過(guò)精細(xì)的邏輯加工得出問(wèn)題的完整解答.［4］同時(shí)，在課堂教學(xué)中，教師要特別關(guān)注添加輔助線對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的作用，不斷引導(dǎo)學(xué)生追問(wèn)添加輔助線的思路是如何想到的，認(rèn)真指導(dǎo)學(xué)生回顧不同添加輔助線的思路對(duì)證明過(guò)程的影響，在回顧反思和對(duì)比研究的過(guò)程中驅(qū)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探究更加簡(jiǎn)潔的思路和簡(jiǎn)明的方法，從而促進(jìn)學(xué)生不斷梳理和掌握添加輔助線的一般思路和基本規(guī)律，深刻體會(huì)蘊(yùn)含于幾何問(wèn)題解決過(guò)程中的數(shù)學(xué)思維之美、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)之美和表達(dá)簡(jiǎn)潔之美.

啟示3：深刻認(rèn)識(shí)平面幾何教學(xué)改進(jìn)的意義

圖形與幾何是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，在課堂教學(xué)過(guò)程中，作為數(shù)學(xué)教師，要不斷改進(jìn)課堂教與學(xué)的方式，通過(guò)合理創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形的定義、理解圖形的性質(zhì)與判定，全程經(jīng)歷觀察猜想、推理證明、得到結(jié)論的研究過(guò)程；通過(guò)精選幾何問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的已知條件進(jìn)行深入理解、適度演變，指導(dǎo)學(xué)生在探求幾何圖形本質(zhì)、拓寬幾何思維空間的過(guò)程中，理性認(rèn)識(shí)動(dòng)態(tài)幾何圖形在變化過(guò)程中的不變量或不變性；通過(guò)營(yíng)造深度體驗(yàn)交流活動(dòng)的時(shí)空，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)幾何問(wèn)題證明思路的深刻分析和對(duì)證明過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)把握幾何問(wèn)題中條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問(wèn)題和數(shù)學(xué)地表達(dá)交流.

在平面幾何教學(xué)中，教師要善于選材，要充分利用那些“有意義且不復(fù)雜”的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)對(duì)這些問(wèn)題的一題多證（解）、一題多問(wèn)和一題多變等途徑，引領(lǐng)學(xué)生深入挖掘幾何圖形的重要特征，深刻把握幾何問(wèn)題內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)，充分發(fā)揮幾何問(wèn)題內(nèi)在的思維力量，驅(qū)動(dòng)學(xué)生從多個(gè)角度探索解題的思路，促進(jìn)他們系統(tǒng)把握平面幾何的有關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用科學(xué)、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言正確地表達(dá)邏輯思維過(guò)程.［4］

綜上所述，在課堂教學(xué)中，教師要通過(guò)精良的幾何問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)圖形直觀發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的幾何特征，正確運(yùn)用圖形記號(hào)、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和邏輯推理的方法表達(dá)平面幾何中的演繹推理過(guò)程.這樣做，便可將數(shù)學(xué)之大道自然融入問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決的全過(guò)程之中，把學(xué)生獲得解題能力的眼前利益和提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的長(zhǎng)期利益有機(jī)融合起來(lái)，讓學(xué)生通過(guò)“一道道門(mén)戶”，走進(jìn)一個(gè)完整的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，體驗(yàn)探索發(fā)現(xiàn)的生命意義，切實(shí)發(fā)揮平面幾何教學(xué)的育人價(jià)值.［5］