串聯(lián)基本圖形，提煉數(shù)學(xué)方法
——以三道中考圓的典型問(wèn)題剖析為例

☉山東省臨清市京華中學(xué) 齊 欣

圓的內(nèi)容頗具包容性，是中考綜合性試題重要的考查對(duì)象.從聯(lián)系的角度看，2018年中考圓的問(wèn)題更加凸顯解題思路和方法的典型性和綜合性.解決圓的問(wèn)題時(shí)，首先要熟悉圖形的性質(zhì)與判定，能從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)圖形之間的關(guān)聯(lián)；其次要能進(jìn)行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與思考，應(yīng)用圖形的性質(zhì)與判定，關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)，弄清定理的條件和結(jié)論，抓住圖形的特征；最后要能從已有知識(shí)和技能出發(fā)，通過(guò)合情推理主動(dòng)建立相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，以及對(duì)未知的問(wèn)題進(jìn)行深入探索，提煉數(shù)學(xué)方法，有效積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

一、圓的切線判定問(wèn)題，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化，突出模型

圓的切線問(wèn)題涉及其判定和性質(zhì)應(yīng)用，既是重點(diǎn)，又是中考熱點(diǎn)和?？伎键c(diǎn)，常和計(jì)算等相結(jié)合，突出考查基礎(chǔ)知識(shí)，以及基本圖形串聯(lián)能力和數(shù)學(xué)思維能力.

例1 （2018年聊城中考卷第24題）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，作ED⊥EB交AB于點(diǎn)D，⊙O是△BED的外接圓.

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）已知⊙O的半徑為2.5，BE=4，求BC、AD的長(zhǎng).

方法點(diǎn)撥：當(dāng)所判斷的直線與圓有明確公共點(diǎn)時(shí)，通常是利用切線的判定定理，即經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，應(yīng)用時(shí)需要確定這條半徑，證明垂直關(guān)系.可連接OE，再證明AC⊥OE.如果未明確直線與圓的公共點(diǎn)，則需要過(guò)圓心向這條直線作垂線段，證明其長(zhǎng)度等于圓的半徑，即利用“平面內(nèi)到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線”.

（1）證明：如圖2，連接OE.

因?yàn)镺E=OB，所以∠OEB=∠OBE.

因?yàn)锽E平分∠ABC，所以∠OBE=∠EBC.

所以∠OEB=∠EBC，所以O(shè)E∥BC，所以∠AEO=∠C.又因?yàn)椤螩=90°，所以∠AEO=90°，所以AC⊥OE.又AC經(jīng)過(guò)半徑OE的外端E，所以直線AC是⊙O的切線.

（2）解：因?yàn)椤袿的半徑為2.5，所以O(shè)E=2.5.

因?yàn)閳A周角∠DEB=90°，所以弦BD是⊙O的直徑，從而BD=5.

點(diǎn)評(píng)：此題雖然簡(jiǎn)單，卡點(diǎn)在于做第（2）問(wèn)時(shí)，學(xué)生很容易忽視應(yīng)該說(shuō)明BD為直徑；還有就是推出AC⊥OE后，沒(méi)有說(shuō)明AC經(jīng)過(guò)半徑OE的外端.有關(guān)圓的切線的判定和性質(zhì)，添加半徑，是推理計(jì)算的關(guān)鍵；構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用銳角三角函數(shù)或三角形相似、勾股定理、圖形面積、平行線分線段成比例等知識(shí)更是解決計(jì)算問(wèn)題的常用手段.最后，要形成解決這類切線問(wèn)題的常用思路，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提煉數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、借助弧、平行線等導(dǎo)角，體現(xiàn)最近聯(lián)想，展現(xiàn)合情推理

弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造.在數(shù)學(xué)創(chuàng)造中，最近聯(lián)想和合情推理能力很重要.下面以一個(gè)圓的問(wèn)題為例，挖掘條件，說(shuō)明如何導(dǎo)角.

例2 （2018年福建中考卷第24題）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，DE⊥AB交AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F.

（1）延長(zhǎng)DC、FB相交于點(diǎn)P，求證：PB=PC.

方法點(diǎn)撥：借助圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角，連接AF、CF，可以輕松解決第（1）問(wèn)，這是方法1.還可以連接BD、CF，借助BC∥DF及圓周角定理，轉(zhuǎn)化為證∠PDF=∠PFD，這是方法2.也可以利用垂徑定理的推論“兩條平行弦所夾的弧相等”得到弧CD與弧BF相等，進(jìn)而得到CD=BF，再利用平行線分線段成比例這一性質(zhì)解決，這是方法3.在第（2）問(wèn)中，四邊形BCDH是一個(gè)平行四邊形，從而BC=DH=1，借助∠BDE→∠DBE→∠DCA（連接OD）→∠DOC→∠COH（設(shè)AC、DE的交點(diǎn)為N）→∠ONH→∠ACB，結(jié)合，DH=1，轉(zhuǎn)化為在Rt△ACB中，求∠ACB的度數(shù).

解：（1）如圖5，連接AF、CF.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于⊙O，所以∠BCP=∠BAD.同理，∠CBP=∠CAF.

因?yàn)镈E⊥AB，所以∠AED=90°，從而∠BAD+∠ADF=90°.

因?yàn)锳C為直徑，所以∠AFC=90°，所以∠CAF+∠ACF=90°.

又∠ADF=∠ACF，所以∠BAD=∠CAF，所以∠BCP=∠CBP，所以PB=PC.

（2）如圖6，連接OD.

因?yàn)锳C是⊙O的直徑，所以∠ADC=90°.

因?yàn)锽G⊥AD，所以∠AGB=90°.

所以∠AGB=∠ADC，所以BG∥DC.

同理，BC∥DE.

所以四邊形BCDH為平行四邊形，所以BC=DH=1.

因?yàn)锽C∥DE，所以∠ONH=∠ACB=60°.又∠OHD=80°，所以∠COH=40°，所以∠DOC=40°，所以∠DCO=70°，所以∠DBE=70°，從而∠EDB=20°.

點(diǎn)評(píng)：既然直徑AC=2，那么半徑OD=OC=1，而DH=1，所以DO=DH，從而∠ODH=20°，因此對(duì)于第（2）問(wèn)，還可以利用方程來(lái)解決.設(shè)∠EDB=x度，則∠DAO=∠ADO=60-x-20=（40-x）度，從而∠DOC=2（40-x）度.而∠ODC=∠OCD=∠DBE=（90-x）度，在△ODC中，由三角形內(nèi)角和定理，得2（40-x）+2（90-x）=180，解得x=20.事實(shí)上，第（2）問(wèn)把、DH=1換成DH，仍可以求出∠EDB的度數(shù)，以此揭示問(wèn)題的本質(zhì).

三、挖掘問(wèn)題數(shù)學(xué)本質(zhì)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中關(guān)注核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考.史寧中教授指出數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本路徑是把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過(guò)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生在掌握知識(shí)和技能的同時(shí)，形成和提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例3 （2018年武漢（中考卷第10題）如圖7，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D.若⊙O的半徑為，AB=4，則BC的長(zhǎng)是（ ）.

方法點(diǎn)撥：本題考查的是圓周角的等量代換，三角形和四邊形問(wèn)題.明確這個(gè)很重要，它是解題時(shí)思考的方向和關(guān)鍵.根據(jù)過(guò)“AB的中點(diǎn)D”聯(lián)想到“垂徑定理”（連接OD，則OD⊥AB），再連接OA，由勾股定理求得OD=1.所在的兩個(gè)圓是等圓，聯(lián)想“同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等”可知圓周角∠BCD所對(duì)的兩條弧相等，連接AC、CD，可得AC=CD.接下來(lái)，可以作CE⊥AB，求得BE=3，AE=DE=1，在直角梯形CEDO中知道上底和兩腰，如何求下底？利用“加高法”作OF⊥CE即可（如圖8）.

還可以連接OD，并延長(zhǎng)DO交BC于E，作直徑AD′，則∠ABD′=90°，OD=1，連接BD′，作OF⊥BC，得BC=2BF.易求BD′=BD=2，所以弧BD=弧BD′，從而弧CD=弧CD′，∠ABC=∠CBD′=45°.在Rt△EDB中，ED=BD=2，EB=，從而OE=1，所以，所以BC=

點(diǎn)評(píng)：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，試題要注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查，考查學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，考查學(xué)生能否在具體情境中合理應(yīng)用.畫圖，在圖形上標(biāo)上數(shù)據(jù)，這是很重要的一個(gè)環(huán)節(jié).本題有多少種解法并不重要，你需要知道的是有多少知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)多少路可走，然后選擇下意識(shí)想走的那一條即可！壓軸題并不意味著它有多復(fù)雜，有多少條輔助線，有多少技巧性的解法，它更多要考查的是考生的素養(yǎng).基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，要把握知識(shí)本質(zhì)、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，基于核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)更關(guān)注思維品質(zhì)、注重考查思維過(guò)程.

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用過(guò)程中.數(shù)學(xué)教師要站在聯(lián)系、發(fā)展的角度探尋數(shù)學(xué)中典型問(wèn)題的生長(zhǎng)點(diǎn)、延伸點(diǎn)，以數(shù)學(xué)思想方法為核心，以能力考查為目標(biāo)，創(chuàng)造更多源于課本的，給人以啟迪，讓每個(gè)學(xué)生都得到充分發(fā)展的好的數(shù)學(xué)問(wèn)題.