問(wèn)題成串促思維 模式化歸顯身手

☉湖北省武漢市漢陽(yáng)區(qū)教育局教科中心 桂文通

問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的心臟，是學(xué)生思維的中心，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，需要我們教師提供有價(jià)值的問(wèn)題.“我所解決的每一個(gè)問(wèn)題都將成為一個(gè)模式，以用于解決其他相關(guān)問(wèn)題”（笛卡爾語(yǔ)），運(yùn)用模式識(shí)別，自覺(jué)化歸是問(wèn)題解決的一個(gè)有效途徑，可以很好地實(shí)現(xiàn)高效解題的目的.

問(wèn)題串是指在一定的學(xué)習(xí)范圍或主題內(nèi)，圍繞一定目標(biāo)、按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)，精心設(shè)計(jì)的一組問(wèn)題.問(wèn)題串教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生帶著任務(wù)積極地自主學(xué)習(xí)，由表及里，由淺入深地自我建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程.因此，問(wèn)題串的設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)知識(shí)與方法的過(guò)渡性，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，把教學(xué)內(nèi)容編設(shè)成一組組、一個(gè)個(gè)彼此關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，使前一個(gè)問(wèn)題作為后一個(gè)問(wèn)題的前提，后一個(gè)問(wèn)題是前一個(gè)問(wèn)題的繼續(xù)、發(fā)展或補(bǔ)充，這樣的問(wèn)題組合在一起為學(xué)生搭建了一個(gè)思維的階梯，使學(xué)生在問(wèn)題串的引導(dǎo)下，實(shí)現(xiàn)由未知向已知的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生在明確知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上獲取基礎(chǔ)知識(shí)，提升思維能力，促進(jìn)思維縱向深入的發(fā)展.

模式識(shí)別解題的心理機(jī)制是當(dāng)學(xué)生主體接觸到數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，首先要辨別題目的類型，以便與已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)發(fā)生聯(lián)系，然后確定解決問(wèn)題的思路.模式識(shí)別過(guò)程是感覺(jué)信息與長(zhǎng)時(shí)記憶中的有關(guān)信息進(jìn)行比較和分析，判斷和決策它們的最佳匹配的過(guò)程.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中，學(xué)習(xí)者所積累的知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)加工、融合，會(huì)得出具有長(zhǎng)久保存價(jià)值的或基本的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式.從解題思想的角度看，模式識(shí)別解題其實(shí)是化歸思想的運(yùn)用，具體體現(xiàn)是化陌生為熟悉，化未知為已知，化新的問(wèn)題為已經(jīng)解決的問(wèn)題，它的思維過(guò)程大致可以用圖1表示.

圖1

基于以上解題觀念，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)與正方形有關(guān)的復(fù)習(xí)示范課.

問(wèn)題1：如圖2，在正方形ABCD中，E是AD上一動(dòng)點(diǎn)，G是BE上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作BE的垂線分別交AB，CD于點(diǎn)H，F(xiàn).求證BE=HF.

學(xué)生探索思路：

經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作CM∥HF交AB于點(diǎn)M，易證四邊形CFHM是平行四邊形，由△BCM △ABE，得HF=CM=BE.

設(shè)計(jì)意圖：提出本節(jié)課的基本問(wèn)題，也是這節(jié)課的源問(wèn)題.讓學(xué)生熟悉證明線段相等的常見(jiàn)方法（全等、平行四邊形或等腰三角形等知識(shí)），由證明過(guò)程知我們可以提煉一個(gè)互逆結(jié)論：在圖2中，若BE⊥HF，則BE=HF；若BE=HF，則BE⊥HF.

問(wèn)題2：在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，且DF=2.

（1）如圖3，將正方形ABCD沿MN對(duì)折，點(diǎn)A剛好落在點(diǎn)F處，求折痕MN的長(zhǎng)；

（2）如圖4，E是AD的中點(diǎn)，在BC上找點(diǎn)G，使EG=AF，寫(xiě)出BG的長(zhǎng).

學(xué)生模式解決：

（1）由折疊的性質(zhì)知AF⊥MN，直接回到問(wèn)題1的模式，所以由問(wèn)題1的結(jié)論得

（2）根據(jù)問(wèn)題1的結(jié)論，可過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AF交BC于點(diǎn)G，則有EG=AF，再求BG的長(zhǎng).此時(shí)過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AD，垂足為點(diǎn)M，可求出BG=AM=AE-ME=AE-DF=3-2=1.另外，點(diǎn)G關(guān)于BC邊的中垂線的對(duì)稱點(diǎn)G′也滿足條件，此時(shí)BG′=5.所以滿足條件的G點(diǎn)有兩個(gè)，故BG=1或BG=5.

設(shè)計(jì)意圖：（1）改變問(wèn)題的呈現(xiàn)方式，用折疊代替垂直，要求學(xué)生能夠根據(jù)條件自覺(jué)地將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）提供了一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，要求學(xué)生克服思維定式的影響，關(guān)注學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.在無(wú)圖的情況下，當(dāng)EG=AF時(shí)，EG與AF不一定滿足垂直關(guān)系，不止有一條線段，而是一組對(duì)稱線段.

問(wèn)題3：在問(wèn)題1中，如圖，平移HF，使DE=DF，若EG=4，F(xiàn)G=6，求四邊形DFGE的面積.

學(xué)生探索思路：

方法2：（旋轉(zhuǎn)法，將四邊形轉(zhuǎn)化為正方形）如圖6，連接DG，過(guò)點(diǎn)D分別作DP⊥EG，DH⊥GF，垂足分別為點(diǎn)P，H.易證△PDE △HDF；△PDG △HDG.于是PE=HF，PG=GH，且四邊形PDHG是正方形，.

因?yàn)镋G=4，F(xiàn)G=6，所以GH=5.于是S四邊形DFGE=S四邊形DPGH=52=25.

方法3：（旋轉(zhuǎn)法，將四邊形轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形）如圖7，延長(zhǎng)GF至點(diǎn)M，使MF=EG.可證△GDE △MDF；△MDG是等腰直角三角形.于是5=25.

設(shè)計(jì)意圖：將基本問(wèn)題特殊化，提煉一個(gè)基本圖形：一組鄰邊相等，且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形.圖5中的四邊形DEGF的四個(gè)頂點(diǎn)其實(shí)在同一個(gè)圓上.在圖8中，我們可以得到一組互逆命題：若DE=DF，則GD平分∠EGF；若GD平分∠EGF，則DE=DF；并探討了這個(gè)不規(guī)則四邊形面積的求法.

問(wèn)題4：如圖9，正方形EFGH的頂點(diǎn)E與正方形ABCD的中心O重合，當(dāng)正方形OFGH繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，OF，OH分別交直線BC，CD于M，N兩點(diǎn).

（1）討論正方形OFGH在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形OMCN的面積的變化情況；

（2）討論線段OM、ON的數(shù)量關(guān)系；

（3）討論線段CN、CM、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生模式解決：

分析問(wèn)題條件，四邊形OMCN具有圖8的特征，由問(wèn)題3的解決思路可知：

（1）S四邊形OMCN=S△OBC，所以正方形OFGH在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形OMCN的面積不變；

（2）OM=ON；

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自覺(jué)地尋找熟悉的基本圖形，運(yùn)用已經(jīng)學(xué)會(huì)的方法解決新情境下的問(wèn)題.

問(wèn)題5：如圖10，在問(wèn)題1中，分別延長(zhǎng)FH，DA交于點(diǎn)M.若AM=CF，請(qǐng)你試著發(fā)現(xiàn)圖中結(jié)論！

學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論：

（1）△ABM △CBF；

（2）△FBM是等腰直角三角形；

（3）∠EBF=45°；

（4）△EBM △EBF；

（5）BE平分∠AEF，BF平分∠CFE；

（6）點(diǎn)B到直線EF的距離等于正方形的邊長(zhǎng)；

（7）AE+CF=EF；

（8）△DEF的周長(zhǎng)是一個(gè)定值，且等于正方形周長(zhǎng)的一半；

……

設(shè)計(jì)意圖：“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L(zhǎng)的”（波利亞語(yǔ)）.在基本圖形中強(qiáng)化條件，綜合問(wèn)題1、3中的基本圖形，開(kāi)放結(jié)論，要求學(xué)生根據(jù)條件合理聯(lián)想與推理，發(fā)現(xiàn)基本圖形與基本結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

問(wèn)題6：（1）如圖11，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=4，AD=6，求直角梯形ABCD的面積.

學(xué)生模式解決：

根據(jù)已知條件，可以將梯形ABCD補(bǔ)成正方形ABCF.又因?yàn)椤螪CE=45°，由學(xué)生的發(fā)現(xiàn)7可知BE+DF=ED.

設(shè)BC=x，則AE=x-4，DF=x-6.

由BE+DF=ED，BE=4，得DE=（x-6）+4=x-2.

本次研究以2015—2017年的衛(wèi)生人才數(shù)量作為基礎(chǔ)，預(yù)測(cè)2019—2021年?yáng)|麗區(qū)衛(wèi)生人才的需求情況，預(yù)測(cè)東麗區(qū)2021年衛(wèi)生人才的數(shù)量將超過(guò)2 250人，見(jiàn)（表2）。

在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，所以62+（x-4）2=（x-2）2，解得x=12.

于是S梯形ABCD=+12）×12=108.

（2）如圖12，在問(wèn)題2（1）中，AB的對(duì)應(yīng)邊FR交BC邊于點(diǎn)E，若任意改變點(diǎn)F的位置，試研究△CEF的周長(zhǎng)的變化情況.

學(xué)生模式解決：

由折疊的性質(zhì)知∠BAF=∠AFE.又因?yàn)锳B∥CD，所以∠BAF=∠AFD，故∠AFD=∠AFE（類似問(wèn)題5中的結(jié)論5）.

過(guò)點(diǎn)A作AP⊥EF，則AP=AD=AB（類似問(wèn)題5中的結(jié)論6）.

于是可證△ABE △APE，△ADF △APF，得BE=PE，DF=PF.

所以△CEF的周長(zhǎng)=CE+CF+EF=CE+CF+PE+PF=CE+BE+DF+CF=BC+CD=2BC（定值）（類似問(wèn)題5中的結(jié)論8）.

設(shè)計(jì)意圖：（1）直接根據(jù)條件將特殊直角梯形轉(zhuǎn)化為正方形，由特征角“∠DCE=45°”聯(lián)想到基本結(jié)論“BE+DF=ED”，再運(yùn)用方程知識(shí)設(shè)元求解；（2）挖掘折疊對(duì)稱圖形中隱藏的結(jié)論“AF平分∠DFE”，再自覺(jué)地運(yùn)用問(wèn)題5的方法求解.

至此，本節(jié)課的問(wèn)題結(jié)構(gòu)關(guān)系與解決的過(guò)程可以用圖13呈現(xiàn)：

圖13

從課堂教學(xué)效果看：設(shè)置具有價(jià)值的問(wèn)題串是數(shù)學(xué)課堂的靈魂，有效的問(wèn)題串的設(shè)計(jì)和運(yùn)用決定著我們的教學(xué)方向，關(guān)系到學(xué)生思維活動(dòng)開(kāi)展的深度和廣度，實(shí)現(xiàn)了解題教學(xué)的高效.數(shù)學(xué)是一種模式，我們應(yīng)該幫助學(xué)生識(shí)別這種模式，堅(jiān)持模式識(shí)別教學(xué)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，帶領(lǐng)學(xué)生走出題海，真正學(xué)會(huì)解題，讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)解題的快樂(lè)！